锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c
2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 那么∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A
90B 90∠-︒=∠︒
=∠+∠得
B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 对边
邻边
C
αsin
0 2
1 2
2 2
3 1 αcos
1 23 2
2
2
1 0 αtan 0 3
3 1 3 不存在 αcot
不存在
3
1
3
3 0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：
当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量防止使用中间数据和除法)
2、应用举例：
(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l
=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l
α==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

:i h l
=h
l α
如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°〔东北方向〕，南偏东45°〔东南方向〕，南偏西60°〔西南方向〕，北偏西60°〔西北方向〕。

锐角三角函数〔1〕
根底扫描
1.求出以下图中sinD，sinE的值．
2.把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，
那么锐角A、A′的正弦值的关系为〔〕．
A．sinA＝sinA′B．sinA＝2sinA′C．2sinA＝sinA′D．不能确定
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，假设AB＝5，AC＝4，那么sinB的值是〔〕
A．3
5
B．
4
5
C．
3
4
D．
4
3
4.如图，△ABC中，AB=25，BC=7，CA=24．
求sinA的值．
5．计算：sin30°·sin60°+sin45°．
能力拓展
6．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线上取一点P，连
接AP、PB，使sin∠APB=1
2，那么满足条件的点P的个数是〔〕
8
5
F E
D
25
24
7
C
B
A
P
A 1个
B 2个
C 3个
D 不存在
7．等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinA、sinB．
创新学习
8.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，那么sin∠BAC 等于〔〕
A ．
2
3B．
5
5C ．
10
5D．
1
3
锐角三角函数〔2〕
根底扫描
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，假设b=3a，那么tanA= ．
2．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝
3
4，c＝4，那么a＝_______．
3．如果a
∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cosα的值是〔〕
Ａ．1
2Ｂ．
2
2Ｃ．1Ｄ．2
4．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为〔2，3〕，
那么sinα=_______，cosα=_________，tanα=______ ．
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，假设56
AC=，65
AB=，那么tan∠ACD的值为〔〕
Ａ．5Ｂ．
5
5Ｃ．
30
6Ｄ．6
6．α是锐角，且cosα=3
4，求sinα、tanα的值．
α
y
x
P(2,3)
O
A
能力拓展
7．假设α为锐角，试证明：
sin tan cos ααα=
．
8．如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，
AC=b 〔b ＞a 〕，假设tan ∠DCE=12，求
a
b 的值．
创新学习
9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，
求cosA 与tanA 的值．
锐角三角函数〔3〕
根底扫描
1． sin α
1
2=
，那么锐角α=度． 2．假设tan 1α=，那么2
cos α= ．
3．计算tan 602sin 452cos30+-的结果是〔〕
A ．2
B ．1
D ．
1．
4．如图，等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，那么此梯形的周长为〔〕
A ． 25
B ． 26
C ． 27
D ． 28．
5．计算： 〔
1〕计算：
()0
13sin 452007tan 30
-+-
(2) 先化简，再求值:
()22
2
1x x
x x +-÷+1，其中，tan 60x =．
b
a
E D C
B
A
〔第8题图〕
C
B
A
D
D C B
A
能力拓展
6．如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为1.6m 〔即小明的眼睛距地面的距离〕，那么这栋楼的高是〔〕
A ．〔81035+
〕m B ．21.6m C ．103m D ．103835⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
m
7．如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，假设∠DPB=α，那么CD
AB 等于〔〕
A ．sin α
B ．COS α
C ．tan α
D ．1tan α
8．如图，⊙O 的半径为3，弦AB 的长为5．求cosA 的值．
创新学习
9．如图，∠C=90°，∠DBC=45°，AB=DB ，利用此图求tan22．5°的值．
10、如图10，Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥
AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，那么CA 1=，=5
55
4C A A C
E D C
B A 第6题图 αP
D C
B
A O 第7题图
C
B
A
11、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，那么∠ABC的度数为〔〕A．90°B．60°C．45°D．30°
12.如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点
M，CN⊥AN于点N．那么DM+CN的值为〔用含a的代数式表示〕( )
A．a B．a
5
4C．a
2
2D．a
2
3
13、如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，台风移动的速度为30千米/时，受
影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P
(1) 说明本次台风会影响B市；
〔2〕求这次台风影响B市的时间．
答案或提示
1．sin sin
D E
==2．A 3．B 4．证明：由22
25625
AB==，22
749
BC==，22
24576
CA==，得222
AB BC CA
=+∴又∠C=90°，∴
7
sin
25
BC
A
AB
==．
5．原式=1
2224
⨯+=．6． B
7．证明：作CD⊥AB于D，那么CD=AC·sinA ∴11
22
sin
ABC
AB CD AB AC A
S
∆
==
8．解：如图，作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∵AB=AC ∴BD=1
2
BC=3 ∴4
=
∴4
sin
5
AD
ABC
AB
∠==由11
22
ABC
BC AD AC BE
S
∆
==
得6424
55
BC AD
BE
AC
⋅⨯
===∴
24
sin
25
BE
BAC
AB
∠==
9．B
答案或提示
1．1
3
23．B 4，3
2
5． A
D
P
北
E
D C
B
A
B
6．解：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，设∠A=α，
∵3
cos 4
AC AB α==
∴设AC=3k ，AB=4k 〔k ＞0〕，那么
k ．
∴sin tan BC AB αα=
== 7．证明：如图，Rt ABC ∆中，∠C=90°，设∠A=α，
那么sin ,cos BC AC AB AB αα==∴sin cos BC
AC αα=
又∵tan BC AC α=∴sin tan cos α
αα
=.
8．解：如图，∵1
tan 2
DE DCE DC ∠==，
∴设 DE=k ，DC=2k 〔k ＞0
〕那么CE =. 又CE 是Rt △ABC 斜边上的中线∴
∴1),BD k =
∴1
tan 2
BD BCD CD ∠=
= ∵A BCD ∠=∠∴tan tan A BCD ∠=∠
∴
a b = 9．解：在Rt △DBC 中，∠C=90°，∠DBC=30°，
∴tan 3
DC DBC BC ∠=
=． ∴可设DC=k ，
〔k ＞0〕．
在Rt △ABC 中，由勾股定理知：222BC CA AB +=．
∴
)
()2
2
319k ++=．整理得()()2510k k +-=．∴k=1．
∴
CA=4
．∴cos tan A A =
= 答案或提示
1．30 2．
1
2
3．C 4．C 5．〔1〕．原式
=111223+= 〔2〕原式=()()()
()2
21111111x x x x x x x x x
+-+=-+=
-++
．
当tan 603x ===2
14=
〔3〕∠A ≈66° 6． A 7． B
8．解：作OC ⊥AB ，垂足为C ．那么1522AC AB =
=．∴5cos 6
AC A OA ==． C
B
A
b
a
E D C
B
A C B
A
D
9．解:∵∠C=90°，∠DBC=45°，且AB=DB ，∴∠A=∠ADB=1
2
∠DBC=22．5°
设DC=1，那么BC=1，tanA=1
DC AC ==，∴tan22．5°
1．。