2016年广西南宁市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|2x≤1，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤02．若复数的实部是，则实数a=（）A．2 B．C．D．﹣3．二项展开式（2x﹣）6中，常数项为（）A．240 B．﹣240 C．15 D．不存在4．若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为3，则ω值为（）A．B．C．D．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A．1 B．2 C．3 D．46．函数f（x）=lnx﹣x2的单调减区间是（）A．（﹣∞，]B．（0，] C．[1，+∞）D．[，+∞）7．执行如图所示的流程图，则输出的S=（）A．57 B．40 C．26 D．17﹣2|=1）=（）A．B．C．D．9．已知变量x、y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．310．如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积为（）A．64+8πB．56+12πC．32+8πD．48+8π11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M（m，0）在x轴的正半轴上且不与点F重合，若抛物线上的点满足•=0，且这样的点A只有两个，则m满足（）A．m=9 B．m＞9或0＜m＜1 C．m＞9 D．0＜m＜112．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，若方程f（x）=1有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数a有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．双曲线﹣=1的离心率为．14．若tanα=，则tan（﹣α）=．15．已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的取值范围是．16．已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点P满足||≥2||，直线PA交y轴于点C，则sin∠ACB的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足a n=2S n+2（n≥2）；数列{b n}满足﹣1b1+b2+b3+…+b n=n2+n．（1）数列{a n}是等比数列吗？请说明理由；（Ⅱ）若a1=b1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．18．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记313530参考数据，其中（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．19．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是CD的中点．（1）求BB1和平面A1C1M所成角的余弦值；（2）在BB1上找一点N，使得D1N⊥平面A1C1M．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，△ABF2的周长等于4，点A、B在椭圆C上，且F1在边AB上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣（2a+1）x，a∈R（1）当a=1时，求不等式f（x）•g（x）＞0的解集；（2）若a≠0，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递减区间；（3）求证：当a∈[﹣，]时，对于任意两个不等的实数x1，x2∈[，]，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

做答时请写清题号。

[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB切⊙O于点B，点G为AB的中点，过G作⊙O的割线交⊙O于点C、D，连接AC并延长交⊙O于点E，连接AD并交⊙O于点F，求证：EF∥AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|=3|OQ|，求直线l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．如果x是实数，且x＞﹣1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n ＞1+nx．2016年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={x|2x≤1，x∈R}，B={a，1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤0【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B的交集为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤1=20，得到x≤0，即A=（﹣∞，0]，∵B={a，1}，且A∩B≠∅，∴实数a的范围是a≤0，故选：D．2．若复数的实部是，则实数a=（）A．2 B．C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣i的实部是，∴=，解得a=．故选：B．3．二项展开式（2x﹣）6中，常数项为（）A．240 B．﹣240 C．15 D．不存在【考点】二项式系数的性质．【分析】通项公式：T r+1=26﹣r x6﹣3r．令6﹣3r=0，解得r即可得出．【解答】解：二项展开式（2x﹣）6中，通项公式：T r+1==26﹣rx6﹣3r．令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项为=240．故选：A．4．若函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为3，则ω值为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再结合题意利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）的图象相邻两条对称轴之间的距离为=3，则ω=，故选：C．5．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由2S3=a3+a7=18，列出关于a1，d的方程组，解得即可．【解答】解：设公差为d，∵2S3=a3+a7=18，∴，解得a1=1，故选：A．6．函数f（x）=lnx﹣x2的单调减区间是（）A．（﹣∞，]B．（0，] C．[1，+∞）D．[，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣2x≤0，即x2≥，解的x≥，故选：D．7．执行如图所示的流程图，则输出的S=（）A．57 B．40 C．26 D．17【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，i的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为40．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1执行循环体，T=2，S=2，i=2不满足条件i＞5，执行循环体，T=5，S=7，i=3不满足条件i＞5，执行循环体，T=8，S=15，i=4不满足条件i＞5，执行循环体，T=11，S=26，i=5不满足条件i＞5，执行循环体，T=14，S=40，i=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为40．故选：B．﹣2|=1）=（）A．B．C．D．【考点】离散型随机变量及其分布列．【分析】由题意可得X和的值，代入P（|X﹣2|=1）=P（X=1）+P（X=3）计算可得．【解答】解：由|X﹣2|=1可解得x=3或x=1，再由分布列的性质可得m=1﹣（++）=，∴P（|X﹣2|=1）=P（X=1）+P（X=3）=+=故选：C9．已知变量x、y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（1，0），代入目标函数得z=1+3×0=1．即z=x+3y的最小值为1．故选：B．10．如图所示，一个几何体的主视图和左视图都是边长为4的正方形，中间线段平分正方形，俯视图中有一内切圆，则该几何体的全面积为（）A．64+8πB．56+12πC．32+8πD．48+8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是一个长方体、上面是一个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的侧面积公式和矩形的面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是一个长方体，长、宽、高分别为：4、4、2，上面是一个圆柱，底面圆的半径是2、母线长是2，∴几何体的表面积S=2×4×4+4×2×4+2π×2×2=64+8π，故选：A．11．已知抛物线y2=4x的焦点为F，点M（m，0）在x轴的正半轴上且不与点F重合，若抛物线上的点满足•=0，且这样的点A只有两个，则m满足（）A．m=9 B．m＞9或0＜m＜1 C．m＞9 D．0＜m＜1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由•=0，点A位于以FM为直径的圆C上，写出圆C的方程，点A只有两个，与抛物线相切，与抛物线有两个交点，联立方程组，整理得x2﹣（m﹣3）x+m=0，由对称性，方程只有一个解，判别式△=0，即可求得m的值．【解答】解：•=0，∴点A位于以FM为直径的圆C上，则圆C的方程为（x﹣1）（x﹣m）+y2=0，∵这样的点A只有两个，∴方程组，由两组解，整理得：x2﹣（m﹣3）x+m=0，①根据对称性，方程①只有一个解，∴△=0，即（m﹣3）2﹣4m=0，解得m=9，故答案选：A．12．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，若方程f（x）=1有且只有三个不同的实数根，且三个根成等差数列，则满足条件的实数a有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数与方程之间的关系，将条件转化为|x﹣a|+a=+1，构造函数h（x），利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f（x）=1得|x﹣a|﹣+a=1，即|x﹣a|+a=+1，设h（x）=|x﹣a|+a，g（x）=+1，h（x）=|x﹣a|+a的顶点（a，a）在y=x上，而y=x与g（x）的交点坐标为（2，2），（﹣1，﹣1），∴当a≤﹣1时，f（x）=1有明显的两个根﹣1和2，第3个根应为﹣4，解方程组，得a=﹣，∴当﹣1＜a≤2时，f（x）=1有明显的根2，设另外两个根为2﹣d，2﹣2d，则点A（2﹣d， +1），B（2﹣2d， +1）连线斜率k=﹣1，得d=，则得AB的方程为：y﹣=﹣（x﹣），与y=x联立得a=，∴a＞2时，方程只有一根f（x）=1，不满足条件．综上满足条件的实数a有2个，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．双曲线﹣=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，由c=和离心率公式e=，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的a=，b=2，可得c==，即有离心率e==，故答案为：．14．若tanα=，则tan（﹣α）=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用两角和差的正切公式，求得tan（﹣α）的值．【解答】解：∵tanα=，则tan（﹣α）===，故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，x+y+=2，则x+y的取值范围是[，2）．【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质求出x+y的范围即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y+=2，∴2﹣（x+y）=≤，∴（x+y）≥2，∴x+y≥，故答案为：[，2）．16．已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点P满足||≥2||，直线PA交y轴于点C，则sin∠ACB的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），则满足（x﹣3）2+y2≤4，∴动点P在圆M：（x﹣3）2+y2=4上及内部，当AP与圆M相切时，sin∠ACB最大，由此能求出sin∠ACB的最大值．【解答】解：设P（x，y），∵点A（﹣1，0），B（2，0），动点P满足||≥2||，||=，∴满足（x﹣3）2+y2≤4，∴动点P在圆M：（x﹣3）2+y2=4上及内部，当AP与圆M相切时，sin∠ACB最大，此时AP：y=（x+1），点C（0，），∠ACO=60°，tan，tan=﹣，∴sin∠ACB=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足a n=2S n﹣1+2（n≥2）；数列{b n}满足b1+b2+b3+…+b n=n2+n．（1）数列{a n}是等比数列吗？请说明理由；（Ⅱ）若a1=b1，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）a n=2S n﹣1+2（n≥2），利用递推关系可得：a n+1=3a n．n=2时，a2=2a1+2，只有当a1=2时，满足a2=3a1，即可判断出结论．（II）利用递推关系、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵a n=2S n﹣1+2（n≥2），a n+1﹣a n=（2S n+2）﹣（2S n﹣1+2）=2a n，化为a n+1=3a n．n=2时，a2=2a1+2，只有当a1=2时，a2=6=3a1，此时数列{a n}是等比数列，否则不是等比数列．（II）∵数列{b n}满足b1+b2+b3+…+b n=n2+n，∴n=1时，b1=2=a1，n≥2时，b n=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，n=1时也成立．∴b n=2n．此时数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n=2×3n﹣1．∴a n b n=4n×3n﹣1．∴数列{a n•b n}的前n项和T n=4（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1），3T n=4（3+2×32+…+n×3n），∴﹣2T n=4（1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n）=4×，∴T n=（2n﹣1）×3n+1．18．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记313530参考数据，其中（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）（2）从3月1日至3月5日中任选两天，记种子发芽数超过15颗的天数为X，求X的概率分布列，并求其数学期望和方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由公式求出b，a，可得线性回归方程，从而预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数；（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，即可求其数学期望和方差．【解答】解：（1）由公式可得b=0.7，a=7.3所以所求的线性回归方程为：…当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．（2）X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==所以：EX=1×+2×=，DX=（0﹣）2×+（1﹣）2×+（2﹣）2×=…19．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是CD的中点．（1）求BB1和平面A1C1M所成角的余弦值；（2）在BB1上找一点N，使得D1N⊥平面A1C1M．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面A1C1M的法向量和的坐标，计算cos＜，＞，则BB1和平面A1C1M所成角的余弦值为．（2）设N（1，1，t），令∥求出t即可得出N的位置．【解答】解：（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A1（1，0，1），B（1，1，0），M（0，，0），C1（0，1，1），B1（1，1，1）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，，﹣1），=（0，0，1）．设平面A1C1M的法向量为=（x，y，z），则=0，=0，即，令x=1得=（1，1，﹣）．∴=﹣，||=，||=1．∴cos＜＞==﹣．∴BB1和平面A1C1M所成角的余弦值为=．（2）D1（0，0，1）设N（1，1，t）（0≤t≤1），则=（1，1，t﹣1）．∵D1N⊥平面A1C1M，∴∥，∴t﹣1=﹣，即t=．∴当N为BB1中点时，D1N⊥平面A1C1M．20．已知椭圆： +=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为，△ABF2的周长等于4，点A、B在椭圆C上，且F1在边AB上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M、N，求△PMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4可知a=，利用=可知，通过可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．【解答】解：（1）∵△ABF2的周长等于4，且F1在边AB上，∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4，∴，即a=，又∵=，∴，∴==1，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1；（2）依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，又∵b=﹣kx0+y0，∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，∵△=3y02+x02﹣3＞0，∴k1•k2=，又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，∴k1•k2==﹣1，∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，∴MN为圆O的直径，显然当P点为P（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为4•2=4．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣（2a+1）x，a∈R（1）当a=1时，求不等式f（x）•g（x）＞0的解集；（2）若a≠0，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调递减区间；（3）求证：当a∈[﹣，]时，对于任意两个不等的实数x1，x2∈[，]，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的定义域，解不等式（x﹣3）•lnx＞0即可；（2）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间即可；（3）结合函数的单调性得到函数，构造ω（x）=，求出ω（x）的单调区间得到f（x2）﹣f（x1）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2），解出即可．【解答】解：（1）定义域是（0，+∞），不等式等价于（x﹣3）•lnx＞0，故不等式的解集是（0，1）∪（3，+∞）；（2）F′（x）=，a＜0时，F′（x）＜0，解得：x＞1，a=时，F′（x）≥0恒成立，函数无减区间，0＜a＜时，令F′（x）＜0，解得：1＜x＜，f（x）在（1，）递减，a＞时，令F′（x）＜0，解得：＜x＜1，f（x）在（，1）递减；（3）不妨设x1＞x2，由（2）得：a≤时，f（x）+g（x）在[，]单调递增，≤a≤时，≥，∴f（x）+g（x）在[，]是单调递增函数，f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2）对x∈[，]恒成立，当a≥时，令ω（x）=，则ω′（x）=﹣=0，解得；x=﹣1，xω′xωxmax∴∀x∈[，]，2a≥，从而f（x）﹣g（x）在[，]单调递增，f（x1）﹣g（x1）＞f（x2）﹣g（x2）在[，]恒成立，f（x2）﹣f（x1）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）对x1，x2∈[，]，x1＞x2恒成立，∴任意实数x1，x2∈[，]，均有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。