2023版高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第六讲二次函数与一元二次方程不等式课件

法一：令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]. 当 m＞0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以 m＜67，则 0＜m＜67. 当 m＜0 时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以 g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.
所以 m＜6，所以 m＜0.
第六讲 二次函数与一元二次方程、不等式
课标要求
考情分析
1.会结合一元二次函数的图象，判断一 1.不等式解法是不等式 元二次方程实根的存在性及实根的个 中的重要内容，它的应
数，了解函数的零点与方程根的关系. 用范围几乎涉及高中数
2.经历从实际情境中抽象出一元二次 学的所有章节，且常考
不等式的过程，了解一元二次不等式 常新，“三个二次”之
考向 1 在实数 R 上恒成立
[例 3]对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0
恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2,2)
D.(－2,2]
解析：当 a－2＝0，即 a＝2 时，－4<0 恒成立； 当 a－2≠0，即 a≠2 时， 则有aΔ－＝2[－<02，a－2]2－4×a－2×－4<0，
α≤－2ba≤β， 或－2ba＞β，
Δ＜0
fβ＜0.
(2)最值法(分离参数法) 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数， 把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题.
a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max， a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
【高分训练】 1.若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都 成立，则 x 的取值范围为________. 解析：①若 x2－1＝0，即 x＝±1 时，不等式变为 2x－ 1＞0，即 x＞12，∴x＝1，此时原不等式恒成立.②当 x2－1 ＞0 时，使2xx2－－11＞m 对一切|m|≤2 恒成立的充要条件是
由韦达定理可知－ －11＋×2＝2＝－2aab，，
解得ab＝ ＝1－. 1，
∴不等式 2x2＋bx＋a<0，即 2x2＋x－1<0.
可知其解集为x －1<x<12
.故选 A.
答案：A
2.不等式23x－－41x≥1 的解集是________.
解析：化32－x－41x≥1 为36－x－44x≥0，即43xx－－32≤0，
解得－2<a<2. 综上，实数 a 的取值范围是(－2,2]. 答案：D
考向 2 在给定区间上恒成立 [例 4](一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若 对于 x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，则 m 的取值范围是 ________.
解析：若 f(x)＜－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立， 即 mx2－mx＋m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立， 即 mx－212＋43m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立.
2xx2－－11＞2，∴1＜x＜1＋2 3.③当 x2－1＜0 时，使2xx2－－11＜m
对一切|m|≤2 恒成立的充要条件是2xx2－－11＜－2.∴－1＋2 7＜
x＜1.由①②③知原不等式的解集为x
7－1 2 <x<
3＋1 2
.
答案：
72－1，
3＋1
2
2.(2021年深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对 于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0，则实数 a 的取值范 围为________.
得 x＜1＋ k1－k2或 x＞1－ k1－k2；若 Δ＜0，即 k＜－1 时， 不等式的解集为 R；若 Δ＝0，即 k＝－1 时，解得 x≠－1.
综上所述，当 k≥1 时，不等式的解集为∅；
当 0＜k＜1 时，不等式的解集为
x 1
1k2 x 1 k
1 k
k2
；
当 k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}； 当－1＜k＜0 时，不等式的解集为
∴(3x－2)(4x－3)≤0，且 x≠34，即x－32x－34≤0 且 x≠34.
∴原不等式的解集为x 23≤x<34
.
答案：x 23≤x<34
考点二 含参不等式 [例 2]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
①当 a＝0 时，则有－x＋1<0，解得 x>1.
则由 f(a)＞0 对于任意的 a∈[－1,1]恒成立，
得 f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且 f(1)＝x2－3x＋2＞0 即可， 解不等式组xx22－ －53xx＋ ＋62＞ ＞00， ， 得 x＜1 或 x＞3. 答案：C
【反思感悟】一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)函数法(图象法)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ①f(x)＞0 在 x∈R 上恒成立⇔a＞0 且 Δ＜0； ②f(x)＜0 在 x∈R 上恒成立⇔a＜0 且 Δ＜0； ③当 a＞0 时，f(x)＞0 在 x∈[α，β]上恒成立⇔
【变式训练】 1.解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R). 解：①当 k＝0 时，解得 x＞0. ②当 k＞0 时，若 Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时，解得 1－ k1－k2＜x＜1＋ k1－k2；若 Δ≤0，即 k≥1 时，不等式 无解.
③当 k＜0 时，若 Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0 时，解
的现实意义；能借助一元二次函数求 间的联系的综合应用等
解一元二次不等式，并能用集合表示 问题是高考的热点.
一元二次不等式的解集.
2.由于本节内容涉及的
3.借助一元二次函数的图象，了解一元 计算较多，因此学习时
二次不等式与相应函数、方程的联系 应注意运算能力的训练
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的 关系
题)(多选题)下列不等式中解集为 R 的有 () A.－x2＋2x＋1＜0 B.－x2＋2x－ 5≤0 C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜0 答案：BC
3.(教材改编题)不等式－x2＋2x－3>0的解集为
________. 答案：∅
题组三 真题展现 4.(2020年全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋ a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
xx＜1＋ k1－k2或
x＞1－
1－k2；
k
当 k＝－1 时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当 k＜－1 时，不等式的解集为 R.
2.已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2. 解：因为 12x2－ax>a2，所以 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－4a，x2＝a3. ①当 a>0 时，－a4<3a，不等式的解集为xx<－4a 或x>a3；
于是不等式 f(x)>x 等价于xx>2－0，2x>x 或x－<x02，－2x>x，
解得 x>3 或－3<x<0. 故不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞). 答案：(－3,0)∪(3，＋∞)
(2)已知不等式
ax2－bx－1>0
的解集是x－21<x<－13
，
则不等式 x2－bx－a≥0 的解集是________.
②当 a>0 时，有 ax－a1(x－1)<0.
(ⅰ)当 a>1 时，解得1a<x<1；
(ⅱ)当 a＝1 时，解集为∅；
(ⅲ)当
0<a<1
时，解得
1 1<x<a.
③当 a<0 时，有 ax－a1(x－1)<0，
即x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1.
综上所述，当 a<0 时，不等式的解集为xx<1a或x>1
判别式Δ＝
Δ>0
b2－4ac
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
(续表)
判别式Δ＝
Δ>0
b2－4ac
Δ＝0
Δ<0
一元二次 方程ax2＋ bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两相异实根 x1＝
－b＋ 2ba2－4ac， x2＝
－b－ b2－4ac 2a
有两相同实根 x1＝x2＝－2ba
综上所述，m 的取值范围是m0<m<67或m<0
.
法二：因为 x2－x＋1＝x－212＋34＞0，
又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所以 m＜x2－6x＋1.
因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值
为67，所以只需 m＜67即可.
因为 m≠0，所以 m 的取值范围是m0<m<67或m<0
.
答案：m0<m<67或m<0
考向 3 给定参数范围的恒成立问题 [例 5]已知 a∈[－1,1]时不等式 x2＋(a－4)x＋4－2a＞0 恒成立，则 x 的取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记 f(a) ＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
解析：由题意知－12，－31是方程 ax2－bx－1＝0 的两 个根，且 a<0，
所以－ －1221＋ ×－ －1313＝＝ba－， a1，
解得ab＝＝－ 5. 6，
故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0， 解得x≥3或x≤2. 答案：{x|x≥3 或 x≤2} 【题后反思】解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)判：计算对应方程的判别式. (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式 说明方程有没有实根. (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式 的解集.
【变式训练】 1.已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为( )
A.x －1<x<12
B.x x<－1或x>12
C.{x|－2<x<1}
D.{x|x<－2 或 x>1}
解析：由题意知－1 和 2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根.
－2ba＜α， 或 α≤－2ba≤β， 或 －2ba＞β， f(x) ＜ 0
fα＞0
Δ＜0
fβ＞0；
在 x∈[α，β]上恒成立⇔ffαβ＜＜00；，
④当 a＜0 时，f(x)＞0 在 x∈[α，β]上恒成立⇔
fα＞0， fβ＞0；
f(x)＜0 在 x∈[α，β]上恒成立⇔－2ba＜α， fα＜0
或
A.－4
B.－2
C.2
D.4
答案：B
考点一 不含参的不等式 [例 1](1)(2021 年河南中原名校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时，f(x)＝x2－2x，则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为________.
解析：设 x<0，则－x>0， 因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x). 又 f(0)＝0.
②当 a＝0 时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；
③当 a<0 时，－a4>3a，不等式的解集为xx<a3或x>－a4
.
综上所述，当 a>0 时，不等式的解集为xx<－a4 或
x>3a；当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≠0}；当 a<0 时，
不等式的解集为x x<3a或x>－a4
.
⊙一元二次不等式恒成立问题
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题正确的是( )
A.若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有 a>0
B.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等 式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C.不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0 且Δ＝b2－4ac≤0
D.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不 等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集
；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x>1}；
当 0<a<1 时，不等式的解集为x1<x<1a
；
当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a>1 时，不等式的解集为xa1<x<1
.
【题后反思】对含参的不等式，应对参数进行分类讨 论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与 0 的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
没有实根
(续表)
判别式 Δ＝
b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋
c>0(a>0)的 {x|x<x1 或 x>x2}
x x≠－2ba
R
解集
ax2＋bx＋
c<0(a>0)的 {x|x1<x<x2}
∅
∅
解集
【名师点睛】
(1)对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0 时的情形.
(2)当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.