北京市崇文区2004年高三第一次模拟考试数学

北京市崇文区2004年高三第一次模拟考试数学试卷

（理工农医类）

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共40分）

参考公式：

三角函数的积化和差公式

s i n c o s [s i n ()s i n ()]cos cos [cos()cos()]

cos sin [sin()sin()]

sin sin [cos()cos()]

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=

++-=++-=+--=-+--1

21

2

1

21

2

一. 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）函数y x =+sin()θ是偶函数，则θ的一个值是（ ） A. -π

4

B.

π2 C.

π

D. 2π

（2）平面内有一固定线段AB ，|AB|＝4，动点P 满足||||PA PB -=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C.

32

D. 1

（3）下列不等式中成立的是（ ）

A B C tg tg D ctg ctg .sin()sin()

.cos()cos()

.()()

.()()->-->-->-->-ππ

ππ

ππππ

565656

56

（4）直线l 1与l 2互相平行的一个充分条件是（ ） A. l l 12，都平行于同一平面 B. l l 12，与同一平面所成的角相等 C. l 1平行l 2所在的平面 D. l l 12，都垂直于同一平面

（5）极坐标方程ρθθ=+sin cos 3的图形是（ ）

（6）6本不同的图书全部分给2个学生，每个学生最多4本，则不同的分法种数为（ ） A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 （7）无穷等比数列{}a n 的首项a 13=，前n 项和为S n 且S S 368

7

=，则lim n n S →∞等于（ ）

A. 2

B. -2

C. 6

D. -6

（8）设函数y f x =()的图象与函数y x =-21的图象关于直线y x =对称，则函数f x x ()23--的单调递减区间为（ ）

A. ()-∞-，1

B. (]-∞，12

C. ()2，+∞

D. [)12

，+∞

第II 卷（非选择题共110分）

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）复数13-i 的共轭复数的平方是_______________。

（10）已知两点P P 121223()()--，、，，

点P （x ，1）分P P 12→

所成的比为λ，则λ=_________，x =___________。 （11）已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （024≤≤t ，单位：小时）的函数，记作y f t =()。下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y f t =()的曲线可近似地看成是函数y A t b =+cos ω，根据以上数据，函数的解析式为_______________。

（12）设全集为R ，若集合A x x x =-+<{|}2

320，集合B x x x =++<-{|log log ()}12

12

11，则B =__________，

___________

（13）已知二次函数f x x x p ()=-+-2

31，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c ，使f c ()>0，则实数P 的取值

范围是____________。

（14）正四棱锥的全面积为2，当正四棱锥的高为h 时，底面边长a =_______；体积V 的最大值为__________。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分12分） 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足4227

2

2

sin cos A C B +-= （I ）求角B 的度数； （II ）如果b a c =

+=33，且a c >，求a 、c 的值。

（16）（本小题满分15分）

如图，已知正四棱柱ABCD A B C D -1111的底面边长为3，侧棱长为4，连结A B 1，过A 作AF A B ⊥1，垂足为F ，且AF 的延长线交B B 1于E 。

（I ）求证：D B 1⊥平面AEC

（II ）求三棱锥B AEC -的体积

（III ）求二面角B AE C --的大小。 （17）（本小题满分12分）

某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量f n ()（万件）与月份n 的近似关系为

f n n n n n N n ()()()()=

+-∈≤1

150

135212， （I ）求2005年第n 个月的需求量g(n)（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过1.4万件。 （II ）如果将该商品每月都投放市场P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件？ （18）（本小题满分13分） 已知等差数列{a n }的公差不为零，首项a 12=且前n 项和为S n 。

（I ）当S 936=时，在数列{a n }中找一项a m N m ()∈，使得a a a m 39，，成为等比数列，求m 的值。

（II ）当a 36=时，若自然数n n n k 12，，，， 满足312<<<<<n n n k 并且

a a a a a n n n k 1312，，，，，， 是等比数列，求n k 的值。

（19）（本小题满分13分）

设不等边三角形ABC 的外心与重心分别为M 、G ，若A B ()()-1010，，，且MG//AB 。

（I ）求三角形ABC 顶点C 的轨迹方程；

（II ）设顶点C 的轨迹为D ，已知直线l 过点（0，1）并且与曲线D 交于P 、N 两点，若O 为坐标原点，满足OP ON ⊥，求直线l 的方程。 （20）（本小题满分15分）

已知函数f x x x x x ()()=-+--22

2

322

（其中x ≥1且x ≠2） （I ）求函数f(x)的反函数f x -1

()

（II ）设g x f x x ()()

=

++-1

31

，求函数g(x)最小值及相应的x 值； （III ）若不等式()()()11

-⋅>--x f

x m m x 对于区间[]141

2

，上的每一个x 值都成立，求实数m 的取值范围。

【参考答案】

一. 选择题

（1）B

（2）C

（3）D

（4）D

（5）C