专题08函数的图象-2020年江苏省高考数学考点探究(解析版)
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|??|
,作出 y 轴左边的图象 ,如图
①．
①
(2)
因 ??=
1
+
百度文库
3
??-1 ,先作出
??=
3的图象
??
,将其图象向右平移一个单位
,再向上平移一个单位 ,即得 ??= ??+2的图象 ,
??-1
如图 ② ．
②
(3) 先作出 ??= log 2 ??的图象 ,再将其图象向下平移一个单位 轴上方 ,即得 ??= |log 2 ??- 1| 的图象 ,如图 ③ ．
3. 若函数 f (x)＝ (2 m) x 的图象如图所示，则实数 x2 m
m 的取值范围是 ________．
【解析】根据图象可知，函数图象过原点，即
f(0)＝ 0，∴ m≠０．
当 x>0 时， f(x)>0，∴ 2－ m>0，即 m<2，函数 f(x)在 [ － 1， 1]
上是单调递增的，∴ f′x（)>0 在 [ － 1， 1]上恒成立，
y x3 x
（ 3） 证明：∵曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点， ∴方程组
有且仅有一组解，
y (x t)3 ( x t) s
消去 y，整理得 3tx2－ 3t2x+(t3－ t－ s)=0． 由题意，这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴Δ=9t 4－ 12（t t 3－ t－ s）=0，即得 t (t3－ 4t－ 4s)=0．
∵ t≠０，∴ s t3 t ． 4
t2
s= － t．
4
【解析】（1） 曲线 C1 的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s．
（ 2 ） 证明：在曲线 C 上任意取一点 B1 (x1， y1) ，设 B2(x2， y)是 B1 关于点 A 的对称点，则有
x1 x2
t , y1 y2
s ,
2 22 2
∴ x1=t－ x2， y1=s－ y2，代入曲线
4.（拔高题）设曲线 C 的方程是 y=x3－ x，将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t、 s( t≠0个) 单位长度后得 到曲线 C1．
（ 1） 写出曲线 C1 的方程；
（ 2） 证明：曲线
C 与 C1 关于点
A
ts ,
对称；
22
（ 3） 若曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点，证明：
(2)图象变换法包括： __平移 __变换、 __伸缩 __变换、 __对称 __变换．
2．平移变换
(1)y＝ f(x)的图象向 __左 __平移 a(a>0) 个单位得到函数 y＝ f(x＋ a)的图象．
(2)y＝ f(x－b)(b>0) 的图象可由 y＝ f (x)的图象向 __右 __平移 b 个单位．
(2) y＝ |log2(x＋ 1)|；
(3)y＝
2x－
1 ；
x－ 1
(4)y＝ x2－ 2|x|－ 1．
【解析】
(1)作出
y＝
1 (2
)x
的图象，保留
y＝
(
1 2)
x
的图象中
x≥０的部分，加上
y＝
(
1 2)
x
的图象中
x>0 部分关于
y
轴的对称部分，即得
y＝
1 (2
)|x|的图象，如图①实线部分．
(2)将函数 y＝log 2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去， 即得函数 y＝|log2(x ＋ 1)|的图象，如图②．
(1)y＝ f(－x)与 y＝ f(x)的图象关于 __y 轴 __对称；
(2)y＝－ f(x)与 y＝ f(x)的图象关于 __x 轴 __对称；
(3)y＝－ f(－ x)与 y＝ f(x)的图象关于 __原点 __对称；
(4)y＝ f(|x|)的图象：可先作出 y＝ f(x)，当 x≥０时的图象，再利用偶函数的图象关于 y 轴对称，作出 y＝
同的根，则实数 m 的取值范围是 ________． 【解析】如图，当 x≤m 时， f(x)＝|x|； 当 x>m 时， f(x)＝x2－2mx＋4m，在 (m，＋ ∞）为增函数， 若存在实数 b，使方程 f( x)＝ b 有三个不同的根，则 m2－ 2m·m＋4m<|m|．
∵ m>0，∴ m2－ 3m>0，解得 m>3． ∴实数 m 的取值范围是 m>3 ．
考向 3 函数图象的应用 【例】已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈ R)，且 f(4)＝ 0．
(1) 求实数 m 的值； (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出 f(x) 的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式 f(x)＞ 0 的解集； (5)求集合 M ＝{ m|使方程 f(x)＝ m 有三个不相等的实根 } ． 【解析】 (1)∵ f(4) ＝ 0，∴ 4|m－ 4|＝ 0，即 m＝4．
y ＝－ x 2－ 3x ，
联立
消去 y ，得 x 2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，
y＝a（ 1－ x），
由 Δ>0，解得 a<1 或 a>9．
又 a>0，结合图象知，此时应有 0 a 1 ，可 a 9 ．
y ＝x 2＋3x， 联立
消去 y ，得 x 2＋ (3＋ a)x－ a＝ 0，
y＝a（ 1－ x），
2
2
∴ f′x（) ＝ (2
m)( x m) 2 x (2 (x 2 m) 2
m)x
(m 2)( x m) (x2 m)2
0，
∵ m－ 2<0 ，∴只需要 x2－ m<0 在 [－ 1， 1] 上恒成立，∴ ( x2－ m)max<0，∴ m>1 ，
综上所述， 1<m<2 ，即实数 m 的取值范围是 1<m<2．
x（ x－ 4）， x≥４， (2)∵ f(x)＝ x|m－ x|＝ x|4－ x|＝
－ x（ x－ 4）， x<4. ∴函数 f(x)的图象如下图，由图象知 f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知： f (x)的单调递减区间为 [2,4] ． (4)从图象上观察可知：不等式 f(x)>0 的解集为 { x|0<x<4 或 x>4} ． (5)由图象可知若 y＝ f(x)与 y＝ m 的图象有三个不同的交点，则 0<m<4，∴集合 M ＝ { m|0<m<4} ．
①
②
③
④
【解析】只有④符合题意，此时 0<a<1，幂函数 f( x)在 (0，＋ ∞）上为增函数，且当 x∈ (0， 1)时， f(x)的 图象在直线 y＝ x 的上方，对数函数 g(x)在 (0，＋ ∞）上为减函数．故答案为④．
2. 函数 y＝2x2－ e|x|在 [－ 2，2] 上的图象大致为 __________ ．
f (x)(x≤ 0的) 图象．
4． 函数图象的应用 函数的图象在解题着有着广泛的应用 ,主要有：（ 1）讨论函数的性质； （ 2）研究函数的零点和方程 的根的情况； （ 3）解不等式；（ 4）确定参数的取值范围等等．
考点探究
考向 1 作出函数的图象
【例】作出下列函数的图象：
(1)
y＝
1 (2
)|x|；
,保留 x 轴上方的部分 ,将 x 轴下方的图象翻折到 x
③
考向 2 识图与辨图 【例】如图， △OAB 是边长为 2 的等边三角形，直线 x＝ t 截这个三角形位于此直线左方的图形面积 阴影部分 )为 y，则函数 y＝ f( t)的大致图象是 _________．
(图中的
①
②
③
④
【解析】
写出函数 y＝ f( t)的表达式，当
2x－ 1
(3)∵ y＝
＝ 2＋
1
，故函数图象可由
x－1
x－1
y＝ 1x的图象向右平移
1 个单位，再向上平
移 2 个单位而得，如图③．
x2－2x－ 1， x≥０， (4)∵ y＝ x2＋2x－ 1， x<0， 且函数为偶函数， 先用描点法作出 [0，＋ ∞）上的图象， 再根据对称性作出 (－
∞， 0)上的图象，如图④．
C 的方程，
得关于 x2， y2 的方程： s－ y2=(t－ x2 )3－ (t－ x2)， 即 y2=(x2
－ t )3－ (x2－ t)+ s，可知点 B2(x2， y2)在曲线 C1 上．
反过来，同样可以证明，在曲线
C1 上的点关于点 A t , s 的对称点在曲线 C 上． 22
因此，曲线 C 与 C1 关于点 A t , s 对称． 22
题组训练
1.作出下列函数的图象： (1)?? = ??3；
|??| ??+2
(2)?? = ??-1；
(3)?? = |log 2 ??- 1| ．
【解析】 (1) 首先要化简解析式
,??=
{
??2 , ??> 0, -??2 , ??< 0.
因 ??= ??3 为奇函数 ,作出 ??= ??2,??> 0的图象后 ,再根据奇函数的图象关于原点对称
【解析】由 f(2) ＝ 8－ e2>8 － 2． 82>0 ，可以排除①；由 f(2) ＝ 8－ e2<8 － 2． 72<1，可以排除②；
在 x>0 时， f(x) ＝2x2－ ex，f′x（)＝ 4x－ ex，当 x∈
1 0，4
时，
f
′x（)<
1 4×４－
e0＝
0，因此
f(x)在
1 0，4
上单调递
专题 8 函数的图象
专题知识梳理
1．作函数图象的两种方法
(1)描点法：① __列表 __；② __描点 __；③ __连点成线 __．
运用描点法作图前，必须对图象的特征 ( 包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等
)做到心中有数，
这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．
对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：
__左加右减 __．而对于上、下平移，
相比较则容易掌握，原则是 __上加下减 __．
这里要注意的是加、减指的是在 f(x)整体上．
如： h>0 ， y＝ f(x) ±h 的图象可由 y＝f (x)的图象向上 (下 )平移 h 个单位而得到．
3．对称变换
题组训练 1.（易错题）已知函数 f(x) ＝ |x2＋ 3x|， x∈ R ．若方程 f(x) － a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的 取值范围为 ________．
【解析】 画出函数 f(x) ＝ |x2＋ 3x|的大致图象，如图， 令 g(x) ＝ a|x－ 1|，则函数 f(x) 的图象与函数 g(x) 的图 象有且仅有 4 个不同的交点，显然有 a>0．
1 t∈ [0,1) 时， y＝ f(t)＝ 2t· 3t＝
3 2
t
2；
当
t∈
[1,2]
时，
y＝
f(
t)＝
1 2(2－
t)
·3(2－ t)＝
3 2
(t
－
2)
2．
对照 4 个选项中的图象，知应选④．
题组训练 1. 在同一直角坐标系中，函数
f(x)＝ xa(x≥ 0，) g(x)＝ logax 的图象可能是 _________ ．
由 Δ>0，解得 a>－1 或 a<－9． 又 a>0，故知此时无解．
结合 a>0，可得实数 a 的取值范围是 (0， 1)∪ (9，＋ ∞）．
|x|， x≤m， 2.已知函数 f(x)＝ x2－ 2mx＋ 4m， x>m，
其中 m>0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) ＝ b 有三个不
减，可以排除③． 故填写④
3.（拔高题）已知函数 f( x)＝ e|ln x|，则函数 y＝ f( x＋1) 的大致图象为 ________．
【解析】 当 x≥１时， f(x)＝ eln x＝ x，其图象为一条直线； 当 0<x<1 时， f(x)＝ e－ ln x＝ 1． x 函数 y＝ f( x＋ 1)的图象为函数 y＝ f(x) 的图象向左平移 1 个单位长度后得到的． 故填④．
,作出 y 轴左边的图象 ,如图
①．
①
(2)
因 ??=
1
+
百度文库
3
??-1 ,先作出
??=
3的图象
??
,将其图象向右平移一个单位
,再向上平移一个单位 ,即得 ??= ??+2的图象 ,
??-1
如图 ② ．
②
(3) 先作出 ??= log 2 ??的图象 ,再将其图象向下平移一个单位 轴上方 ,即得 ??= |log 2 ??- 1| 的图象 ,如图 ③ ．
3. 若函数 f (x)＝ (2 m) x 的图象如图所示，则实数 x2 m
m 的取值范围是 ________．
【解析】根据图象可知，函数图象过原点，即
f(0)＝ 0，∴ m≠０．
当 x>0 时， f(x)>0，∴ 2－ m>0，即 m<2，函数 f(x)在 [ － 1， 1]
上是单调递增的，∴ f′x（)>0 在 [ － 1， 1]上恒成立，
y x3 x
（ 3） 证明：∵曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点， ∴方程组
有且仅有一组解，
y (x t)3 ( x t) s
消去 y，整理得 3tx2－ 3t2x+(t3－ t－ s)=0． 由题意，这个关于 x 的一元二次方程有且仅有一个根， ∴Δ=9t 4－ 12（t t 3－ t－ s）=0，即得 t (t3－ 4t－ 4s)=0．
∵ t≠０，∴ s t3 t ． 4
t2
s= － t．
4
【解析】（1） 曲线 C1 的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s．
（ 2 ） 证明：在曲线 C 上任意取一点 B1 (x1， y1) ，设 B2(x2， y)是 B1 关于点 A 的对称点，则有
x1 x2
t , y1 y2
s ,
2 22 2
∴ x1=t－ x2， y1=s－ y2，代入曲线
4.（拔高题）设曲线 C 的方程是 y=x3－ x，将 C 沿 x 轴、 y 轴正方向分别平移 t、 s( t≠0个) 单位长度后得 到曲线 C1．
（ 1） 写出曲线 C1 的方程；
（ 2） 证明：曲线
C 与 C1 关于点
A
ts ,
对称；
22
（ 3） 若曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点，证明：
(2)图象变换法包括： __平移 __变换、 __伸缩 __变换、 __对称 __变换．
2．平移变换
(1)y＝ f(x)的图象向 __左 __平移 a(a>0) 个单位得到函数 y＝ f(x＋ a)的图象．
(2)y＝ f(x－b)(b>0) 的图象可由 y＝ f (x)的图象向 __右 __平移 b 个单位．
(2) y＝ |log2(x＋ 1)|；
(3)y＝
2x－
1 ；
x－ 1
(4)y＝ x2－ 2|x|－ 1．
【解析】
(1)作出
y＝
1 (2
)x
的图象，保留
y＝
(
1 2)
x
的图象中
x≥０的部分，加上
y＝
(
1 2)
x
的图象中
x>0 部分关于
y
轴的对称部分，即得
y＝
1 (2
)|x|的图象，如图①实线部分．
(2)将函数 y＝log 2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去， 即得函数 y＝|log2(x ＋ 1)|的图象，如图②．
(1)y＝ f(－x)与 y＝ f(x)的图象关于 __y 轴 __对称；
(2)y＝－ f(x)与 y＝ f(x)的图象关于 __x 轴 __对称；
(3)y＝－ f(－ x)与 y＝ f(x)的图象关于 __原点 __对称；
(4)y＝ f(|x|)的图象：可先作出 y＝ f(x)，当 x≥０时的图象，再利用偶函数的图象关于 y 轴对称，作出 y＝
同的根，则实数 m 的取值范围是 ________． 【解析】如图，当 x≤m 时， f(x)＝|x|； 当 x>m 时， f(x)＝x2－2mx＋4m，在 (m，＋ ∞）为增函数， 若存在实数 b，使方程 f( x)＝ b 有三个不同的根，则 m2－ 2m·m＋4m<|m|．
∵ m>0，∴ m2－ 3m>0，解得 m>3． ∴实数 m 的取值范围是 m>3 ．
考向 3 函数图象的应用 【例】已知函数 f(x)＝ x|m－ x|(x∈ R)，且 f(4)＝ 0．
(1) 求实数 m 的值； (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出 f(x) 的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式 f(x)＞ 0 的解集； (5)求集合 M ＝{ m|使方程 f(x)＝ m 有三个不相等的实根 } ． 【解析】 (1)∵ f(4) ＝ 0，∴ 4|m－ 4|＝ 0，即 m＝4．
y ＝－ x 2－ 3x ，
联立
消去 y ，得 x 2＋ (3－ a)x＋ a＝ 0，
y＝a（ 1－ x），
由 Δ>0，解得 a<1 或 a>9．
又 a>0，结合图象知，此时应有 0 a 1 ，可 a 9 ．
y ＝x 2＋3x， 联立
消去 y ，得 x 2＋ (3＋ a)x－ a＝ 0，
y＝a（ 1－ x），
2
2
∴ f′x（) ＝ (2
m)( x m) 2 x (2 (x 2 m) 2
m)x
(m 2)( x m) (x2 m)2
0，
∵ m－ 2<0 ，∴只需要 x2－ m<0 在 [－ 1， 1] 上恒成立，∴ ( x2－ m)max<0，∴ m>1 ，
综上所述， 1<m<2 ，即实数 m 的取值范围是 1<m<2．
x（ x－ 4）， x≥４， (2)∵ f(x)＝ x|m－ x|＝ x|4－ x|＝
－ x（ x－ 4）， x<4. ∴函数 f(x)的图象如下图，由图象知 f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知： f (x)的单调递减区间为 [2,4] ． (4)从图象上观察可知：不等式 f(x)>0 的解集为 { x|0<x<4 或 x>4} ． (5)由图象可知若 y＝ f(x)与 y＝ m 的图象有三个不同的交点，则 0<m<4，∴集合 M ＝ { m|0<m<4} ．
①
②
③
④
【解析】只有④符合题意，此时 0<a<1，幂函数 f( x)在 (0，＋ ∞）上为增函数，且当 x∈ (0， 1)时， f(x)的 图象在直线 y＝ x 的上方，对数函数 g(x)在 (0，＋ ∞）上为减函数．故答案为④．
2. 函数 y＝2x2－ e|x|在 [－ 2，2] 上的图象大致为 __________ ．
f (x)(x≤ 0的) 图象．
4． 函数图象的应用 函数的图象在解题着有着广泛的应用 ,主要有：（ 1）讨论函数的性质； （ 2）研究函数的零点和方程 的根的情况； （ 3）解不等式；（ 4）确定参数的取值范围等等．
考点探究
考向 1 作出函数的图象
【例】作出下列函数的图象：
(1)
y＝
1 (2
)|x|；
,保留 x 轴上方的部分 ,将 x 轴下方的图象翻折到 x
③
考向 2 识图与辨图 【例】如图， △OAB 是边长为 2 的等边三角形，直线 x＝ t 截这个三角形位于此直线左方的图形面积 阴影部分 )为 y，则函数 y＝ f( t)的大致图象是 _________．
(图中的
①
②
③
④
【解析】
写出函数 y＝ f( t)的表达式，当
2x－ 1
(3)∵ y＝
＝ 2＋
1
，故函数图象可由
x－1
x－1
y＝ 1x的图象向右平移
1 个单位，再向上平
移 2 个单位而得，如图③．
x2－2x－ 1， x≥０， (4)∵ y＝ x2＋2x－ 1， x<0， 且函数为偶函数， 先用描点法作出 [0，＋ ∞）上的图象， 再根据对称性作出 (－
∞， 0)上的图象，如图④．
C 的方程，
得关于 x2， y2 的方程： s－ y2=(t－ x2 )3－ (t－ x2)， 即 y2=(x2
－ t )3－ (x2－ t)+ s，可知点 B2(x2， y2)在曲线 C1 上．
反过来，同样可以证明，在曲线
C1 上的点关于点 A t , s 的对称点在曲线 C 上． 22
因此，曲线 C 与 C1 关于点 A t , s 对称． 22
题组训练
1.作出下列函数的图象： (1)?? = ??3；
|??| ??+2
(2)?? = ??-1；
(3)?? = |log 2 ??- 1| ．
【解析】 (1) 首先要化简解析式
,??=
{
??2 , ??> 0, -??2 , ??< 0.
因 ??= ??3 为奇函数 ,作出 ??= ??2,??> 0的图象后 ,再根据奇函数的图象关于原点对称
【解析】由 f(2) ＝ 8－ e2>8 － 2． 82>0 ，可以排除①；由 f(2) ＝ 8－ e2<8 － 2． 72<1，可以排除②；
在 x>0 时， f(x) ＝2x2－ ex，f′x（)＝ 4x－ ex，当 x∈
1 0，4
时，
f
′x（)<
1 4×４－
e0＝
0，因此
f(x)在
1 0，4
上单调递
专题 8 函数的图象
专题知识梳理
1．作函数图象的两种方法
(1)描点法：① __列表 __；② __描点 __；③ __连点成线 __．
运用描点法作图前，必须对图象的特征 ( 包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等
)做到心中有数，
这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．
对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：
__左加右减 __．而对于上、下平移，
相比较则容易掌握，原则是 __上加下减 __．
这里要注意的是加、减指的是在 f(x)整体上．
如： h>0 ， y＝ f(x) ±h 的图象可由 y＝f (x)的图象向上 (下 )平移 h 个单位而得到．
3．对称变换
题组训练 1.（易错题）已知函数 f(x) ＝ |x2＋ 3x|， x∈ R ．若方程 f(x) － a|x－ 1|＝ 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的 取值范围为 ________．
【解析】 画出函数 f(x) ＝ |x2＋ 3x|的大致图象，如图， 令 g(x) ＝ a|x－ 1|，则函数 f(x) 的图象与函数 g(x) 的图 象有且仅有 4 个不同的交点，显然有 a>0．
1 t∈ [0,1) 时， y＝ f(t)＝ 2t· 3t＝
3 2
t
2；
当
t∈
[1,2]
时，
y＝
f(
t)＝
1 2(2－
t)
·3(2－ t)＝
3 2
(t
－
2)
2．
对照 4 个选项中的图象，知应选④．
题组训练 1. 在同一直角坐标系中，函数
f(x)＝ xa(x≥ 0，) g(x)＝ logax 的图象可能是 _________ ．
由 Δ>0，解得 a>－1 或 a<－9． 又 a>0，故知此时无解．
结合 a>0，可得实数 a 的取值范围是 (0， 1)∪ (9，＋ ∞）．
|x|， x≤m， 2.已知函数 f(x)＝ x2－ 2mx＋ 4m， x>m，
其中 m>0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) ＝ b 有三个不
减，可以排除③． 故填写④
3.（拔高题）已知函数 f( x)＝ e|ln x|，则函数 y＝ f( x＋1) 的大致图象为 ________．
【解析】 当 x≥１时， f(x)＝ eln x＝ x，其图象为一条直线； 当 0<x<1 时， f(x)＝ e－ ln x＝ 1． x 函数 y＝ f( x＋ 1)的图象为函数 y＝ f(x) 的图象向左平移 1 个单位长度后得到的． 故填④．