四川省宜宾市高中高一数学下学期期末考试试题

四川省宜宾市高中高一数学下学期期末考试试题
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．由31=a ,2=d 确定的等差数列{}n a ，当21=n a 时，则项数n 等于 （A ） 9 （B ）12 （C ） 11 （D ）10 2．下列各组向量中，可以作为基底的是 （A ）12(0,0),(1,2)e e ==- （B ）12(1,2),(5,7)e e =-= （C ）12(3,5),(6,10)e e ==
（D ）1213(2,3),(,)24
e e =-=-
3．已知a ，b 为非零实数，且a < b ，则下列命题成立的是 （A ） a 2 < b 2
（B ）a 2b < ab 2 （C ）022<-b a （D ）
a 1>b
1
4．在△ABC 中，三个内角A ，B ,C 对应的边分别是a ，b ，c ,且0
45=B ,0
60=C ,1=c ,则△ABC 的最短边为 （A ）
36 （B ）26 （C ）2
1
（D ）23
5．与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为
（A ）0543=-+y x （B ）0543=++y x （C ）0543=+-y x （D ）0543=--y x 6．设等比数列{}n a 各项均为正数，且564718,a a a a +=则3132310log log log a a a +++=
（A ）12
（B ）32log 5+
（C ）8
（D ）10
7．已知等边ABC ∆的边长为1，若a BC =，b CA =，c AB =，那么=⋅+⋅+⋅a c c b b a
（A ） 3- （B ） 3 （C ） 23- （D ）2
3
8．在约束条件⎩
⎨
⎧≤-≤-≤+≤113
1y x y x 下，则目标函数y x z 24+=的取值范围是
（A ） ]12,0[ （B ） ]10,2[ （C ）]10,0[ （D ）]12,2[
9．当圆42
2=+y x 上恰有三个点到直线b x y l +=:的距离为1,且直线l 与x 轴和y 轴分
别交于A 、B 两点,点O 为坐标原点，则ABO ∆的面积为 （A ）1 （B ）2 （C ）22
（D ）22
10．若0,0>>b a ，且12=+b a ，则224b a ab s --=
的最大值为
（A ）
422+ （B ）122- （C ）422- （D ）
12
2
+ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．不等式01032
>--x x 的解集是 .
12．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则
=λ .
13．点A )1,2(到圆C ：022
2
=++y y x 上一点的距离的最大值为 .
14．在ABC ∆中,14=a ,0
60=A ,5:8:=c b ,则ABC ∆的面积=∆ABC S .
15．在等边ABC ∆中，a AB =||， O 为三角形的中心，过点O 的直线交线段AB 于M ，交线段AC 于N ．有下列四个命题:
①
2211ON OM +的最大值为218a ，最小值为2
15
a ； ②2
211ON OM +
的最大值和最小值与a 无关； ③设AB m AM =,AC n AN =,则n m 1
1+的值是与a 无关的常数；
④设AB m AM =,AC n AN =,则n
m 1
1+的值是与a 有关的常数.
其中正确命题的序号为： .（写出所有正确结论的编号）
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知平面直角坐标系中,点O 为原点,)4,3(--A , )12,5(-B ,若
OB OA OC +=,OB OA OD -=.
(I) 求点C 和点D 的坐标; (II) 求OD OC ⋅.
17．（本小题满分12分）
某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12 m 2
,房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m ，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？ 18．（本小题满分12分）
设等比数列{}n a 满足：311=a ，27
4
32=+a a ，且0>n a . （I ）求数列{}n a 的通项； （II ）设n
n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．（本小题满分12分）
已知ABC ∆的顶点)1,5(A ,AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ,AC 边上的高BH 所在直线方程为052=--y x ,求:
(I)顶点C 的坐标;
(II)直线BC 的方程.
20．(本小题满分13分)
在△ABC 中，内角A 、B 、C
的对边分别是a b c 、、，已知
2cos c bc A =+cos cos ca B ab C +.
(I)判断△ABC 的形状；
(II)若3,9AB BC AB AC ⋅=-⋅=，求角B 的大小.
21．(本小题满分14分)
如图所示,已知圆O ：12
2
=+y x 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，M 是圆O 上任意点（除去圆O 与两坐标轴的交点）.直线AM 与直线BC 交于点P ，直线CM 与x 轴交于点N ，设直线PM 、PN 的斜率分别为m 、n .
(I) 求直线BC 的方程；
(Ⅱ) 求点P 、M 的坐标（用m 表示）；
(II) 是否存在一个实数λ,使得n m λ+为定值,若存在求出λ,并求出这个定值,若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题：
1．D
2．B
3．C
4．D
5．B
6．B
7．D
8．B
9．A
10．C．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．
11．{x|x＜﹣2或x＞5} ．
12． 2
13． 2+1 ．
14．4．
15．①③
三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（Ⅰ）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣12），
∴=+=（﹣3+5，﹣4﹣12）=（2，﹣16），
=﹣=（﹣3﹣5，﹣4+12）=（﹣8，8）；
∴点C（2，﹣16），点D（﹣8，8）；
（Ⅱ）•=2×（﹣8）+（﹣16）×8=﹣144．
17．解：如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y=m．
设房屋总造价为f（x），
由题意可得f（x）
=3x•1200+3××800×2+12×5800=4800x++5800+5800=
34600，当且仅当x=3时取等号．
答：当底面的长宽分别为3m，4m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．
18．解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}满足：a1=，a2+a3=，且a n＞0．∴，且q＞0，
解得q=，
∴a n==（）n．
（Ⅱ）∵b n==n•3n，
∴S n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①
3S n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，②
①﹣②，得：﹣2S n=3+32+33+…+3n﹣n•3n+1
=﹣n•3n+1，
∴S n=+（）•3n+1．
19．解：直线AC的方程为：
y﹣1=﹣2（x﹣5），
即2x+y﹣11=0，
解方程组得则C点坐标为（4，3）．
设B（m，n），
则M（，），，
整理得，
解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），
y﹣3=（x﹣4），
即6x﹣5y﹣9=0．
20．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，c2=bccosA+cacosB+abcosC，
∴由余弦定理可得：2bccosA=b2+c2﹣a2，2cacosB=a2+c2﹣b2，2abcosC=a2+b2﹣c2，
∴2c2=（b2+c2﹣a2）+（a2+c2﹣b2）+（a2+b2﹣c2），
即a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）∵•=﹣3，•=9，
即accos（π﹣B）=﹣accosB=﹣3，bccosA=9，
两式相除得：==，又△ABC为直角三角形，C为直角；
∴cosB=co s（﹣A）=sinA，由正弦定理可得：==，A为锐角，∴tanA=，
∴A=，B=．
21．解：（I）∵B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，1），
设直线BC的方程为：y=kx+b，
则k+b=0，b=1，
解得：k=﹣1，b=1，
故直线BC的方程为：y=﹣x+1，即x+y﹣1=0．…①
（II）由A点坐标为（﹣1，0），直线AM即直线PM的斜率为m，
故直线AM即直线PM的方程为：y=m（x+1）…②
由①②得：x=，y=，
即P点的坐标为：（，），
将②代入x2+y2=1得：
（m2+1）x2+2m2x+（m2﹣1）=0
解得：x=﹣1（舍）或x=，
则y=，
故M的坐标为：（，）；
（III）由（II）得：M的坐标为：（，）；结合C点坐标为（0，1），故k CM==，
故直线CM的方程为：y=x+1，
令y=0，得x=，
故N点的坐标为（，0），
由直线PN的斜率为n．
故n==
若存在一个实数λ，使得m+λn为定值k，
则m+λn=m+=k，
即（λ+2）m﹣（λ+k）=0恒成立，
故λ=﹣2，k=2．。