高等数学课件1.1 函数

o
x
-1
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数
y
4 3 2 1 o
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 阶梯曲线
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
(4) 取最值函数
f ( x) 为奇函数时, 必有 f (0) 0.
y y
f ( x )
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
-x x
f ( x )
f ( x)
o
x
x
-x o
x
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 ,称 l 为周期
x1 x2 时, x1 , x2 I , 当 , f ( x) M , 称 为有上界 f ( x) 为 I 上的 若 f ( x1 ) f ( x2 ) 称 , , M f ( x ), 称 为有下界 单调增加函数 ;
则称 f ( x ) 无界 . 单调减少函数 .
(2) 单调性
对应法则
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
思考题
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0) 的解析表达式.
解
1 设 u x
2 1 1 1 1 u 则 f u 1 2 , u u u
b
x
半开半闭区间：{ x a x b} 记作 [a , b)
{ x a x b} 记作 (a , b]
有限区间
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 无限区间
(, ) { x x } R
[a, ) { x x a}
集合之间的关系： 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B 规定 空集为任何集合的子集. 若 若 且 且 则称 A 与 B 相等, 记作A B . 则称 A 是B 的真子集, 记作 A B .
显然有下列关系 :
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的Hale Waihona Puke 义域. 2 1 x 2解
例
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
y
)1 x M , D, 使 f ( xx f ( x) 为 x M , 均存在 若若对任意正数 f ( x1 ) f ( x2 ) 称 , I 上的 x 2
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f ( x) 在 x = 0 有定义 , 则当
第一章
第一节 函数
一、基本概念 二、函数概念 三、函数特性
四、反函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的全体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M,
枚举法 描述法
a M, A {a1 , a2 ,, an }
M { x x所具有的特征}
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
为奇函数 .
2 . 设函数 y f ( x) , x ( , ) 的图形与 x a ,
x b (a b) 均对称, 求证 y f ( x)是周期函数.
证: 由 f ( x) 的对称性知
f (a x) f (a x ),
于是
f (b x) f (b x )
U ( x0 , ) { x x0 x x0 }


x0
x0
x0
x
U ( x0 , ) { x 0 x x0 } 称为点x0的去心 邻域
当不需要指出邻域的半径时，用U ( x0 )表示x0的某邻域，
U ( x0 )表示x0的某去心邻域.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量. 在数轴上，常量表示定点，而变量表示动点.
二、函数概念 1.映射 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应法 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应 , 则
故 D f : [3,1]
三. 函数特性
设函数 y f ( x) , x D , 且有区间 I D . (1) 有界性 x D , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f ( x) 在 I 上有界，
1 1 x2 故 f ( x) . ( x 0) x
1. 设
且
时 证明 为奇函数 .
其中
a, b, c 为常数, 且
) b f (t ) ct 则 x 1 , a f (1 , 证: 令 t 1 t x t
由 消去 f ( 1 ), 得 x
af (1 ) b f ( x) c x x
y f ( x) , x D
因变量 f ( D ) 称为值域 自变量
xD
(定义域) • 定义域
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应法则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
f ( x) f a ( x a)
f a ( x a ) f (2a x)
f b (2a x b )
故 f ( x) 是周期函数 , 周期为 T 2(b a )
特例:

R R
记
R
2
为平面上的全体点集
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
称为 f 的 值域 .
注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
对映射
, 则称 f 为满射;
f 为满射 f ( X ) Y
X
若
则称 f 为单射;
f
Y f (X )
有
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
(a, ) { x x a}
, b { x x b}
( , b) { x x b}
3.邻域:
设x0是一个给定的实数， 是某一正数即 0，
数集{ x x x0 }称为点x0的 邻域 ,
点x0叫做此邻域的中心 , 叫做此邻域的半径 .
名称. 例如,
X (≠ ) X (≠ )
f f
Y (数集)
X
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数 一元函数是一种特殊的映射，即非空集合X与Y均 为实数集.
2. 函数 设数集 D R , 则称映射 D 上的函数 , 记为
为定义在 定义域
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
习惯上, y f ( x) , x D 的反函数记成
性质:
y f 1 ( x) , x f ( D)
1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) .
2) 函数 关于直线
与其反函数 对称 .
的图形
内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 反函数的概念 定义域
集合运算: 并集 A B x 交集 A B x 差集 A \ B x
或记作A B
或
且

A B
B A
A\ B
A B
但 x B
余集或补集
B A \ B ( 其中B A , A为基本集)
B AB
B A B A
卡氏积 A B ( x , y ) x A , y B
称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y . f X Y 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 y f ( x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f ( x) x X