2016届高考数学复习易错点专题02函数与导数指数与指数函数

指数与指数函数易错点
主标题：指数与指数函数易错点
副标题：从考点分析指数与指数函数易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：指数，指数函数，易错点
难度：3
重要程度：5
内容：
【易错点】
1．指数幂的应用辨析 (1)(4－2)4＝－2.(×) (2)(n a n
)＝a .(×)
2．对指数函数的理解
(3)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (4)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x 是R 上的减函数．(×) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图，
无论在y 轴的左侧还是右侧图象从上到下相应的底数由大变小．(×)
(6)已知函数f (x )＝4＋a
x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)
[剖析] 1．“n a n ”与“⎝⎛⎭
⎫n a n ”的区别 当n 为奇数时，或当n 为偶数且a ≥0时，n a n ＝a ，当n 为偶数，且a ＜0时，n a n ＝－a ，而(n a )n ＝a 恒成立．如(1)中4－2不成立，(2)中
6－2＝
32≠3－2. 2．两点注意 一是指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论，如(4)；
二是指数函数在同一直角坐标系中的图象与底数的大小关系，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y 轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大．如(5).
【易错典例】若函数f (x )＝a x
(a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.
[解析] 若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12
，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116
，检验知符合题意． [答案] 14
[易错警示] (1)误以为a ＞1，未进行分类讨论从而求得错误答案．
(2)对条件“g (x )在[0，＋∞)上是增函数”不会使用，求得结果后未进行检验得到两个答案．
[注意] (1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论．
(2)根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一，熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础．。