高阶微分方程的降阶和幂级数解法

3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
二、二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程
d2y
dy
dx2
p(x) dx
q(x) y
0
(4.72)
其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.
用级数表示解?
下面考虑该方程及初始条件
y(x0 ) y0 , y' (x0 ) y0(1)的情况
例1
求方程
d5x dt5
1 t
d4x dt 4
0的通解.
解
令
d4x dt 4
y,
则方程化为
dy 1
y0
dt t
这是一阶方程,其通解为 y ct,
即有
d4x dt 4
ct,
对上式积分4次, 得原方程的通解为
x c1t 5 c2t 3 c3t 2 c4t c5 ,
2 不显含自变量t的方程,
dt
],
这里c1, c2是任常数.
(4.70)
注 一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
例3
已知x
sin t
t
是方程
d2x dt 2
2 t
dx dt
x
0的解,
试求方程的通解.
解 这里
p(t)
2 t
,
x1
sin t
t
由(4.70)得
x sin t t
[c1 c2
t2 sin 2
t
e
2 t
因此在 n 0时,得到Bessel方程的一个解
y1
a0 xn
(1)k
k 1
22k
a0 k !(n 1)
x2k n , (n k)
若将任常数a0取为
1
a0 2n (n 1)
(4.77)
这里( p) e-x x p1dx,因此(4.77)变为
y1
[ xk(n)
a1
(t
)
x ( n 1) k
an xk ]y 0
因xk为(4.2)的解, 故y的系数恒为零, 即化为不含y的方程,
令z y',则在xk 0的区间上方程变为
z(n1) b1(t)z(n1) bn1(t)z 0,
(4.67)
且zi
(
xi xk
)' , i
1, 2,
, k 1是(4.67)的k 1个线性无关的解
即得原方程的通解
例2
求方程x
d2x dt 2
( dx)2 dt
0的通解.
解 令 dx y,并以x作为新的自变量, dt
则方程化为 从而可得
xy dy y2 0
dx
dy y
y 0, 及 ,
dx x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
dx dt
c1x,
所以得原方程的通解为 x c2ec1t ,
F (t, y, y',, y(nk) ) 0 (4.58)
若能求得(4.58)的通解 y (t, c1,, cnk ) 即 x(k) (t, c1,, cnk )
对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x (t, c1,, cn ), 这里c1,, cn为任常数
F (t, x(k) , x(k1) ,, x(n) ) 0 (4.57)
间为 x R,则方程(4.72)有形如
y x an xn an xn ,
n0
n0
(4.75)
的特解,这里a0 0,是一个待定常数,级数(4.75)也以
x R为收敛区间.
例4 求方程y" 2xy' 4y 0满足初始条件y(0) 0, y'(0)=1的解.
解 设级数 y=a0 a1x an xn
由x1, x2 , , xk线性无关知, 1,2 k1,k全为0
故z1, z2 , , zk1线性无关,
因此,对(4.67)仿以上做法, 令z zk1 udt,
则可把方程化为关于u的n - 2阶线性方程
u(n2) c1(t)u(n3) cn2 (t)u 0,
且可(4.68)的k -2个线性无关的解,
dx
dx
dx dt
y( dy)2 dx
y2
d2y dx2
,
用数学归纳法易得:
x ( k )可用y,
dy dx
,,
d (k 1) y dx(k 1)
(k
n)来表达
将这些表达式代入(4.59)可得:
F ( x,
y,
y
dy dx
,
y( dy )2 dx
y2
d2y dx2
,
)0
即有新方程
G(x,
y,
dy dx
为方程的解, 这里ai(i 1, 2, )是一个待定常数,
由初始条件得: a0 0, a1 1; 因而 y=x a2 x2 an xn
y=1 2a2 x nan xn1 y=2a2 3 • 2a3x n(n 1)an xn2
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得
a1
0,
ak
ak2 , k k(2n k)
2, 3,
即
a2k 1
(2k
a2k 1 1)(2n
2k
1)
,
a2k
a2k 2 2k(2n 2k)
,
k 1, 2,
从而可得
a2k1 0, k 1, 2,
a2k
(1)k
a0 22k k !(n 1)(n 2)
, (n k)
k 1, 2,
1 x12
e
p
(t
) dt
dt
],
这里c1, c2是任常数.
(4.70)
d2x dt 2
p(t)
dx dt
q(t)x
0,
(4.69)
解题步骤:
第一步: 令x x1 y方程变为
x1 y'' 2[x1' p(t)x1]y' 0
第二步: 令z y'方程变为
x1
dz dt
2[ x1'
p(t)x1]z
显然xi 0,i 1, 2, , k, 令x xk y,则
x' xk y' xk' y
x'' xk y'' 2xk' y' xk'' y
(4.2)
x(n)
xk y(n)
nxk' y(n1)
n(n 1) 2
x y'' (n2) k
代入(4.2)得
x(n) k
y
xk y(n) [nxk' a1(t)xk ]y(n1)
解题步骤:
第一步: 令x(k) y,则方程化为
F (t, y, y',, y(nk) ) 0
第二步: 即
求以上方程的通解
y (t, c1,, cnk ) x(k) (t, c1,, cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t, c1,, cn ), 这里c1,, cn为任常数
即
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
引入新的未知函数 z y', x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' 0
方程变为
x1
dz dt
[2x1'
p(t)x1]z
0
是一阶线性方程,解之得
z
c x12
e p(t )dt ,
则
y c2
1 x12
e
p(t )dt dt
c1,
(不失一般性,可设x0 0)
定理10 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都可展成x的
幂级数,且收敛区间为 x R,则方程(4.72)有形如
y= an xn ,
(4.73)
n0
的特解,也以 x R为级数的收敛区间.
定理11 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都具有这样的
性质,即xp( x)和x 2 q( x)均可展成x的幂级数,且收敛区
(1)k
k 0
1 k !(n k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.77)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为n阶Bessel函数.
当 n时,完全类可得
a2k1 0, k 1, 2,
a2k
(1)k
a0 22k k !(n 1)(n 2)
, (n k)
2a2 0 3• 2a3 2 4 0 4 • 3a4 4a2 4a2 0
n(n 1)an 2(n 2)an2 4an2 0
即 a2 0, a3 1, a4 0,
,
2 an n 1 an2 ,
因而
a5
1, 2!
a6 0,
a7
1, 3!
a8
0,
a9
1, 4!
也即
a2k 1
,,
d (n1) y dx(n1)
)
0
它比原方程降低一阶
解题步骤:
第一步:
令y x',并y为新的未知函数, x为新的
自变量,原方程化为
G(
x,
y,
dy dx
,,
d (n1) y dx(n1)
)
0
第二步: 求以上方程的通解
y (x, c1,, cn1)
第三步:
解方程
dx dt
(x, c1,,
cn1 )
1 x
dy dx
x2 n2 x2
y
0
易见,它满足定理11条件,且
xp(x) 1, x2q(x) x2 n2
按x展成的幂级数收敛区间为 x ,
由定理11方程有形如
y an xk ,
(4.75)
k 0
的解,这里a0 0,是一个待定常数,
将(4.75)代入(4.74)中,得
x2 ( +k)( +k-1)ak xk 2 x ( +k)ak xk 1
因而
x x1[c1 c2
1 x12
e
p
(t
)
dt
dt
],
(4.70)
这里c1, c2是任常数.
令c1 0, c2 =1得(4.69)的一个解:
x2 x1
1 x12
e
p
(t
) dt
dt
,
因它与x1之比不等于常数, 故x1, x2线性无关
因此 (4.69)的通解为
x x1[c1 c2
0
即
解之得
z
c x12
e p(t )dt ,
x x1[c1 c2
1 x12
e
p
(t
) dt
dt
],
(4.70)
第三步: 令c1 0, c2 =1得与x1线性无关一个解:
第四步:
x2 x1
1 x12
e
p(t
)
dt
dt
,
(4.69)的通解为
x x1[c1 c2
1 x12
e
p(t
)
dt
因此,当不等于非负整数时, Jn (x)和J-n (x)都是
(4.74)的解,且线性无关.
因而(4.74)的通解为
一般形式:
F (x, x',, x(n) ) 0,
(4.59)
此时以y x'作为新的未知函数 ,而把x作为新的自变量 ,
因为 dx y,
d2x dt 2
dt dy dt
dy dx
d3x d d2x dt3 dt dt 2
d dt
dx y dy ,
dt (y
dy )
dx d(y
dy ) dx
dt
dt
]
sin t
t
[c1
c2
t2 1 sin2 t t 2 dt]
sin t t [c1 c2 cot t]
1 t [c1
sin
t
c2
cos
t
]
这里c1, c2是任常数.
(2) 一般已知齐线性方程
dnx dt n
a1(t)
d n1x dt n1
an (t)x 0
的k个线性无关的解x1, x2 , , xk ,
1, k!
a2k 0,
对一切正整数k成立;
故方程的解为
y=x x3 x5 x2k1
2!
k!
x(1 x2 x4 x2k )
2!
k!
xex2
例5求解n阶Bessel方程
x2
d2y dx2
x
dy dx
(x2
n2 ) y
0
(4.74)
这里n为非负常数.
解 将方程改写为
d2y dx2
事实上 由x1, x2 , , xk1为(4.2)的解及以上变换知,
z
(
x xk
)' 或x
xk
zdt
因此z1, z2 , , zk1是(4.67)的解, 若
1z1 2 z2 k1zk1 0
则
1
x1 xk
2
x2 xk
k1
xk-1 xk
k
即 1x1 2 x2 k1xk1 k xk 0
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F (t, x, x',, x(n) ) 0
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是