2018-2019学年上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题
一、单选题
1．已知ABC ∆的边BC 上有一点D D 满足4BD DC =，则AD 可表示为( )
A ．13
44AD AB AC =+ B ．31
44AD AB AC =
+ C ．41
55
AD AB AC =+
D ．14
55
AD AB AC =+
【答案】D
【解析】由AD AB BD =+，结合题中条件即可得解. 【详解】 由题意可知
()
4414
5555
AD AB BD AB BC AB AC AB AD AB AC =+=+
=+-==+. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.
2．设l 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的（ ）条件 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可。

【详解】
因为m 是平面α内的任意一条直线，m 具有任意性，若l m ⊥，由线面垂直的判断定理，则l α⊥，所以充分性成立；
反过来，若l α⊥，m 是平面α内的任意一条直线，则l m ⊥，所以必要性成立， 故“l m ⊥”是“l α⊥”成立的充要条件。

故选：A 【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况。

3．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C 【解析】
2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，
22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹
角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，2
2
2
,AB AC BC ABC +=∴∆
为直角三角形，故选C.
4．在等比数列{}n a
中，若2a =，3a =115
721
a a a a +=+ A.
12
B.
23
C.
32
D.2
【答案】A
【解析】
设等比数列{}n a
的公比为q ，则3
2a q a
==，
()6
11511566721115181
162
a a a a a a a a q q ⎛⎫++=====++.故选A .
二、填空题
5．已知3i 12i z =-（i 是虚数单位），则z
的共轭复数为________ 【答案】2i -
【解析】根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解。

【详解】
3i 12i z =-，
312i 21221
i i
z i i i ----∴=
===+-， ∴共轭复数为2i -
故答案为：2i - 【点睛】
本题主要考查复数的四则运算以及共轭复数，属于基础题。

6．已知定点(4,0)A 和曲线228x y +=上的动点B ，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为________
【答案】22(2)2x y -+=
【解析】通过中点坐标公式，把点P 的坐标转移到B 上，把点B 的坐标代入曲线方程，整理可得点P 的轨迹方程。

【详解】
设点P 的坐标为(,)x y ，点B (,)a b ，因为点P 是线段AB 的中点，所以42
02a x b y +⎧=⎪⎪⎨
+⎪=⎪⎩
解得242a x b y
=-⎧⎨=⎩，把点B 的坐标代入曲线方程可得22
(24)(2)8x y -+=，
整理得22(2)2x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(2)2x y -+= 故答案为：22(2)2x y -+= 【点睛】
本题考查中点坐标公式，相关点法求轨迹方程的方法，属于中档题。

7．如果球的体积为92
π，那么该球的表面积为________ 【答案】9π
【解析】根据球的体积公式：
3
43
V r π=求出球的半径r ，然后由表面积公式：24S r π=即可求解。

【详解】
34932V r ππ==
32
r ∴= ，
又因为24S r π=，所以9S π= 故答案为：9π 【点睛】
本题考查球的体积、表面积公式，属于基础题。

8．已知点(0,2)A ，(1,3)B -，(1,5)C -，则△ABC 的面积是________ 【答案】3
【解析】首先求出BC 的直线方程：410x y ++=，线段BC 的长度；然后由点到直线的距离公式求出点A 到直线BC 的距离，根据三角形的面积公式即可求解。

【详解】
因为(1,3)B -，(1,5)C -
由两点间的距离公式可得BC ==， 又8
42
BC k =
=-- 所以BC 的直线方程为34(1)y x -=-+，整理可得BC ：410x y ++=，
由点到直线的距离公式
d =
=
，
所以△ABC 的面积113
22S BC d =⋅== 故答案为：3 【点睛】
本题考查平面解析几何中的两点间的距离公式、点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础计算题。

9．已知2i 1-是方程220x px q ++=(,)p q ∈R 的一个根，则p q +=________ 【答案】14
【解析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出。

【详解】
2i 1-是关于x 方程220x px q ++=(,)p q ∈R 的一个根，
21i ∴--也是关于x 方程220x px q ++=(,)p q ∈R 的一个根，
21212
p i i ∴--+-=-， (21)(21)2
q i i ---=
， 解得4p =，10q =，
14p q ∴+=
故答案为：14 【点睛】
本题考查一元二次方程的虚根成对原理、韦达定理，属于基础题。

10．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________
【解析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。

【详解】
由抛物线22x py =上的点(2,2)A 可得14
p =
，所以抛物线方程：2
2y x =， 准线方程为1
2x =-，则A 到准线的距离为52
故答案为：52
【点睛】
本题考查抛物线方程，需熟记抛物线准线方程的求法，属于基础题。

11．在等比数列{}n a 中，已知2532a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54
，则5S =________ 【答案】31
【解析】根据2532a a a =，求出42a =，又4a 与72a 的等差中项为54，得到714
a =，所以可以求出
1
2
q =
，116a =，即可求出5S 【详解】
依题意，数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，即252
112a q a q =，所以42a = ，又4a 与
72a 的等差中项为
54，所以752224a +=⨯，即714
a =， 所以3
7418a q a =
=，所以12
q =，所以41316a a q ==， 551161()231112
S ⎡
⎤-⎢⎥
⎣⎦
==-
故答案为：31 【点睛】
本题考查等比中项、等比数列的通项公式以及求和公式，需熟记公式。

12．向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵1101-⎛⎫
⎪⎝⎭
变换后的向量是________
【解析】根据a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ax by cx dy +⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
即可求解。

【详解】
根据矩阵对向量的变换可得
1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭23⎛⎫ ⎪⎝⎭12(1)3102133⨯+-⨯-⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭⎝⎭ 故答案为：13-⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，关键掌握住变换的运算法则。

13．若双曲线22
219
y x a -=(0)a >
的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方程是
______ 【答案】23
y x =±
【解析】利用双曲线的焦点坐标，求解a ，然后求解双曲线的渐近线方程。

【详解】
双曲线22
219
y x a -
=(0)a >
的一个焦点是，可得2913a +=，解得2a =，所以双曲线22
149y x -=的渐近线方程是23
y x =± 故答案为：2
3
y x =± 【点睛】
本题考查双曲线的渐近线方程，属于基础题。

14．已知直线l 经过点(2,1)P -，且点(1,2)A --到l
l 的方程为____
【答案】250x y -+=或20x y +=
【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，不成立；当直线l 的斜率
存在时，直线l 的方程为210kx y k -++=，由点(1,2)A --到l
解得
2k =或1
2
k =-
，由此能求出直线l 的方程。

【详解】
直线l 经过点(2,1)P -，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，点(1
,2)A --到l 的距离等于1d =，不成立；
当直线l 的斜率k 存在时，直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即210kx y k -++=， 点(1,2)A --到l
d ∴=
=
=2k =或1
2k =-，
∴直线l 的方程为12(2)y x -=+或1
1(2)2
y x -=-+，
即250x y -+=或20x y +=
故答案为：250x y -+=或20x y += 【点睛】
本题考查点斜式求直线方程以及点到直线的距离公式，在求解时注意讨论斜率存在不存在，属于常规题型。

15．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是________．
【答案】a n ＝23,1
{3
,22
n n n -=-≥ 【解析】当n ＝1时，20
·
a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n≥2时，2n －1
·a n ＝S n －S n －1＝－6.
∴a n ＝－
2
32
n -.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝23,1
{3,22
n n n -=-≥.
16．若向量(3,1)m =-
，1(,
2p =，2(3)u m x p =+-，v ym x p =-+，且3340x x y --=，则u r
与v 的夹角等于________
【答案】
2
π 【解析】由平面向量数量积的运算的：2
2
33(3)430u v ym x x p y x x ⋅=-+-=-+-=， 即u r
与v 的夹角等于2
π
【详解】
由(3,1)m =-，1(,
22
p =，所以0m p ⋅=，2m =，1p =， 所以2
2
33(3)430u v ym x x p y x x ⋅=-+-=-+-=，
即u r 与v 的夹角等于2
π，
故答案为：2
π 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。

三、解答题
17．在长方体1111ABCD A B C D -中，DA =2DC =，1DD =E 是AB 的中点.
（1）求四棱锥1A BCDE -的体积；
（2）求异面直线1A E 与1B C 所成角的大小（结果用反三角形函数值表示）.
【答案】（1）1
A BCDE V -=；（2）1arccos 2
【解析】（1）先求出BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=,由此能求出四棱锥1A BCDE -的体积。

（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A E 与1B C 所成角的大小。

【详解】 （1）
在长方体1111ABCD A B C D -
中，DA =2DC =
，1DD =E 是AB 的中点.
∴12122
BCDE ABCD ADE S S S ∆=-=-=，
∴四棱锥1A BCDE -
的体积1
1113322
BC A BCD DE E V AA S -=⨯⨯== （2）
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则
1A
，E
，1B ，(0,2,0)C ，
1(0,1,A E ∴=
，1
(BC =，设异面直线1A E 与1B C 所成角为θ， 则11111cos 2
4A E B C A E B C
θ⋅=
=
=⋅， 1
arccos 2
θ∴=
∴异面直线1A E 与1B C
所成角为1
arccos 2
【点睛】
本题考查了棱锥的体积公式，解题的关键是熟记棱锥体积公式，同时也考查了用空间直角坐标系求立体几何中异面直线所成的角，此题需要一定的计算能力，属于中档题。

18．已知平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，AD =
，2AB =，F 是BC 边上的
点，且2BF FC =，若AF 与BD 交于E 点，建立如图所示的直角坐标系.
（1）求F 点的坐标； （2）求AF EC ⋅.
【答案】（1）82
(,)33F ；（2）
6215
. 【解析】（1）根据题意写出各点坐标，利用2BF FC =求得点F 的坐标。

（2）根据2
5
BE BD =求得点E 的坐标，再计算AF 、EC ，求出数量积。

【详解】
建立如图所示的坐标系，
则(0,0)O ，(2,0)B ，(3,1)C ，(1,1)D ，(1,1)BC = 由2BF FC =，所以2
3
BF BC =
， 设(,)F x y ，则(2,)BF x y =-, 所以22(2,)(,)33x y -=，解得8
3x =，23
y = 所以82
(,)33
F
（2）根据题意可知EBF
EDO ∆∆，所以222(,)555
BE BD ==-,
所以82(,)53E ，从而82(,)33AF =，73(,)55
EC =
872362
353515
AF EC ⋅=⨯+⨯=。

【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。

19．如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定，且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若
3AB BO ==.
（1）求失败点组成的区域；
（2）电子狗选择x 正半轴上的某一点P ，若电子狗在线段AP 上获胜，问点P 应在何处？
【答案】（1）以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点；（2）P 应在x 轴正半轴上.
【解析】（1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速度为2V ，由题意得2MB MA V V
≤ ，代入坐标计算求解即可。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有
2PB PA V V
≥ ，代入坐标计算求解即可。

【详解】 （1）设失败点为(,)M x y ，则(0,6)A ，(0,3)B ，不妨设机器人速度为V ，则电子狗速
度为2V ，由题意得2MB MA V V
≤ ，即22(2)4x y +-≤，即失败点为M 的轨迹为以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

故失败点组成的区域为：以(0,2)为圆心，2为半径的圆上和圆内所有点。

（2）设(,0)P x ，(0)x >由题意有2PB PA V V
≥，
≥，即20x ≥， 所以P 应在x 轴正半轴上点。

【点睛】
本题考查方程组法求点的轨迹方程，解决此题关键是理解题意，列出不等关系。

20．已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点
为B ，且b c =.
（1）求直线AB 的方向方量；
（2）若Q 是椭圆上的任意一点，求12FQF ∠的最大值；
（3）过1F 作AB 的平行线交椭圆于C 、D 两点，若||3CD =，求椭圆的方程.
【答案】（1）(或1)-；（2）2π；（3）22
142
x y +=.
【解析】（1）根据题意可得a ==，
2
AB k =
=-，即直线AB
的方向方量可以为(或1)-。

（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==, 222222
12(2)()424cos 10222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠===-≥，即可求解。

（3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=，直线CD 的方程为x b =-，利用韦达定理、弦长公式计算。

【详解】
（1）b c =，a ∴==，
∴右顶点,0)A ，上顶点(0,)B b ，则
2AB k =
=-，
∴ 直线AB
的方向方量为(
或1)-。

（2）在12F QF ∆中，设12,PF m PF n ==， 则222222
12(2)()424cos 1222m n c m n c mn b FQF mn mn mn
+-+--∠===- 22
22421102()2
b b m n a ≥-=-=+⋅ 当且仅当m n =时，即Q 为上（或下）顶点时，12FQF ∠的最大值，最大值为2
π. （3）设椭圆方程为22
2212x y b b
+=， C AB D ，∴直线CD
的方程为x b =-，
由22
2212x y b b x b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
可得2240y b +-=
12y y ⇒+=，2124b y y =-，
123CD y y ∴=-==，解得 22b =，24a =，
∴椭圆方程为22142
x y += 【点睛】
本题考查的知识点比较多，椭圆方程、方向向量、余弦定理、基本不等式、弦长公式等，综合性比较强，需熟记公式；同时本题也需有一定的计算能力.
21．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，通项公式13-=n n a ，数列{}n b 的通项公式为26n b n =-.
（1）若1n n
c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T 及lim n n T →∞的值； （2）若1(5)(7)
n n n e b b =
++，数列{}n e 的前n 项和为n E ，求1E 、2E 、3E 的值，根据
计算结果猜测n E 关于n 的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）对任意正整数n ，若1
()2
n n S t b n +>+恒成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）31[1()]23n n T =-，3lim 2
n n T →∞=；（2）113E =，225E =，337E =，21n n E n =+；证明见解析（3）72(
,)3t ∈+∞. 【解析】（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求解。

（2）求出1(21)(21)
n e n n ∴=-+，可求1E ，2E ，3E 的值，猜想n E 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。

（3）问题转化为2(6)3n n t ->
，对于任意正整数n 恒成立，设2(6)()3
n n f n -=，利用导数求出函数的最值即可求出t 的范围。

【详解】
13-=n n a ，111()3
n n n c a -∴==， 111()313113(1)()12322313
n
n n n T --∴==-=-⨯- ， lim n n T →∞∴=313(1lim )232
n n →∞-= （2）26n b n =-，
11(5)(7)(21)(21)n n n e b b n n ∴=
=++-+ 1113E e ∴==，2121123155E e e ∴=+=+=，31231113315357
E e e e ∴=++=++=， 猜想21
n n E n =+， 理由如下，
01：当1n =时，成立；
02：假设n k =时成立，则21
k k E k =+， 那么当1n k =+时，
111(23)1(21)(1)121(21)(23)(21)(23)(21)(23)2(1)1
k k k k k k k k k E E e k k k k k k k k +++++++=+=+===+++++++++
即 1n k =+时，猜想也成立，
故由01和02，可知猜想成立；
（3）131(31)132
n n n S -==--，若1()2n n S t b n +>+ 恒成立， 则1(3)62
n t n ⨯>- ，即2(6)3
n n t -> ，对于任意正整数n 恒成立， 设2(6)()3n n f n -= ，'1(6)ln 3()3
n n f n --∴=， 令'()0f n =，解得16ln 3
n =+ ， 当116ln 3
n <<+ 时，'()0f n >，函数()f n 单调递增， 当16ln 3n >+时，'()0f n <，函数()f n 单调递减， ln31>，
101ln 3
∴<<， 1667ln 3∴<+<， 62(66)(6)03f -==，772(76)2(7)33
f -==， max 72()(7)3
f n f ∴==， 723t ∴> 【点睛】
本题考查了等比数列的求和公式、取极限、数学归纳法、导数求函数的最值，综合性比较强；在求参数的取值范围时可采用“分离参数法”，构造新函数，研究函数的最值。