【提分必做】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业1 北师大版选修1-1

2.2.1 抛物线及其标准方程

[基础达标]

1.已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)，则它的标准方程为( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2

＝－8x

C ．x 2＝8y

D ．x 2

＝－8y

解析：选D.p

2＝2，∴p ＝4，焦点在y 轴负半轴上，故其标准方程为x 2

＝－8y .

2.抛物线x 2

＝8y 的准线方程为( ) A ．y ＝－2 B ．x ＝－2 C ．y ＝－4 D ．x ＝－4 解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y ＝－2.

3.点P 为抛物线y 2

＝2px 上任一点，F 为焦点，则以P 为圆心，以|PF |为半径的圆与准线l ( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．位置由F 确定 解析：选B.圆心P 到准线l 的距离等于|PF |，∴相切． 4.如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60 °方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )

A ．(2＋3)a 万元

B ．(23＋1)a 万元

C ．5a 万元

D ．6a

万元

解析：选C.依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.

5.一个动圆的圆心在抛物线y 2

＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )

A ．(0，2)

B ．(0，－2)

C ．(2，0)

D ．(4，0)

解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x ＋2＝0的距离等于到焦点F (2，0)的距离，∴动圆必过定点(2，0)．

6.经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________．

解析：设抛物线的标准方程为y 2＝2px 或x 2＝－2py ，把P (4，－2)分别代入得(－2)

2

＝8p 或16＝－2p ×(－2)；∴p ＝12

或p ＝4，故对应的标准方程为y 2＝x 和x 2

＝－8y .

答案：y 2＝x 或x 2

＝－8y

7.已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．

解析：圆方程可化为(x －3)2＋y 2

＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝p

2

，∴p

＝2.

答案：2

8.过点A (0，2)且和抛物线C ：y 2

＝6x 相切的直线l 方程为________．

解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝0，与抛物线C 相切；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －2＝kx ，与y 2

＝6x 联立，消去x 得y －2＝k

6

y 2

，

即ky 2－6y ＋12＝0，由题意可知k ≠0，Δ＝(－6)2

－48k ＝0，∴k ＝34，∴y －2＝34

x .

即为3x －4y ＋8＝0.

答案：x ＝0或3x －4y ＋8＝0

9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．

解：设所求抛物线方程为x 2

＝－2py (p >0)，则焦点F 的坐标为⎝

⎛

⎭⎪⎫

0，－p 2.因为M (m ，－

3)在抛物线上，且|MF |＝5，

故⎩⎨⎧m 2＝6p ，

m 2

＋⎝

⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，

解得⎩⎨⎧p ＝4，

m ＝±2 6.

所以所求的抛物线方程为x 2

＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.

10.一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．

解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2

＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，由点B 在抛物线上，∴(a

2)2

＝－2p ·(－a

4

)，

p ＝a

2

，

∴抛物线方程为x 2

＝－ay .

将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64

a

.

∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a

>3.

解得a >12.21，∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13.

[能力提升] 1.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2

＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )

A ．2

B ．2 2

C ．2 3

D ．4

解析：选C.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32， ∴y 2

0＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.