近世代数 子群的陪集PPT资料(正式版)

定理３ 一个有限群 的任一个元 的阶 都整除 的阶．
定义1 由上面的等价关系 定义1 由上面的等价关系
a b ，当而且只当 ab1 H 的时候
由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
例３ 对于有限群 的阶N的一个因子k, 可以没有k阶子群,也可以没有k阶元素．
a 定我义们看一一个个定群群义2的和由一个等子的价群一关个子的系群右陪集．（我所或们左决规陪定定集一）的个的的类个元数叫叫做中做间子的在群关系 里H 的：指数的．右陪集．包含
a 所以右陪集 H a 的象与 的选择无关， 是一个S r 到 S l
的映射；
（ⅱ） S l 的任意元 a H 是 S r 的元 H a 1 的象，所以 是 一个满射；
（ⅲ） a 1 H b 1 H ( a 1 ) 1 b 1 a b 1 H H a H b
证完． 定义 一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪集）的个
数叫做 H 在 G 里的指数．
9.4 拉格朗日定理 下面我们要用左陪集来证明几个重要定理． 定理２ 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群．那么 H 的 阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并且
N nj
证明 G 的阶 N 既是有限，H 的阶 n 和指数 j 也都是有
限正整数．G 的 N 个元被分成 j 个左陪集，而且由引理， 每一个左陪集都有 个元n ，所以
近世代数课件 子群 的陪集
我们看一个群 G 和 G 的一个子群 H ．我们规定一个的 元 G 中间的关系 ：
a b ，当而且只当 a1bH 的时候
给了 a 和 b ，我们可以唯一决定，a 1 b 是不是属于 H ，所以 是一
个关系,并且:
，
Ⅰ a1aeH 所以 a a
，
Ⅱ a 1 b H (a 1 b) 1b 1a H所以
a b b a
Ⅲ ………….所以
，
ab
b c a c
这样， 是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个
G 的分类: [a],[b],[c]……,这里
[a]{x x a} 称为a的等价类
引理1 [a]=aH={ah| h属于} 证明:
(1) x [a ] x H
(2) x H x [a ]
:
(1)H{(1) (1 2 ) } 我们看一个群 和 的一个，子群 ．我们规定一个的元 中间的关系 ：
我们看一个群 和 的一个子群 ．我们规定一个的元 中间的关系 ：
(5) 任意两个左陪集
(13)H{(13) 是一个
的分类:
[a],与[b],[c]…间…的,这一里一映射，．因为：
近世代数课件 子群的陪集
例１ GS3 {(1，) ( 1 2 ) ， ( 1 3 ) ， ( 2 3 ) ， (1 2 3，) (1 3 2 )}
H {(1) ( 1 2 ) } 这样，子群 把整个 分成(1)H,(13)H, (23)H三个不同的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是
个分类． 由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH.
(1 2 3 )}
由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
(23)H ，{(23) (1 3 2 )}
注意 (12)H=?? (123)H=??? (132)H=?? 这样，子群 H 把整个 G 分成(1)H,(13)H, (23)H三个不 Fra Baidu bibliotek的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是 G ，
定义1 由上面的等价关系
所决定的类 H 叫做子群的左陪集.
由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH. 由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
(1) a H b H a 1 b H
(2) b a H a H b H
(3)
eHH
(4) a H H a H
(5) 任意两个左陪集 aHbH 或者 aH bH
因此，它们的确是 G 的一个分类．
9.2子群的右陪集
比照左陪集,给出右陪集,以及性质
的分类: [a],[b],[c]……,这里
（ⅱ） 的任意元 是 的元 的象，所以 是一个满射；
的左陪集所作成的集合记做
近世代数课件右子陪群的集陪是集 从等价关系 ：
给了 和
，我们可以唯一决定， 是不是属于 ，所以 是一个关系,并且:
N nj
证完
定理３ 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整
除 G 的阶． 证明……… 证完．
例３ 对于有限群 G 的阶N的一个因子k, G 可以没有k 阶子群,也可以没有k阶元素．
例4 对于有限群循环 G 的阶N的一个因子k, G 恰 有一个k阶子群.
例5 1-5阶群的分类
作业 P70: 13
谢谢观看
9.3子群的指数 引理2 H,aH,Hb 之间存在1-1映射.
证明:………..
H
的左陪集所作成的集合记做 S
,
l
H 的右陪集所作成的集合叫做 S r
定理１ S r 和 S l 之间存在1-1映射．
证明 构造: : Sr Sl
: Haa1H
是一个 S l 与 S r 间的一一映射．因为：
(1)
H a H b a b 1 H ( a b 1 ) 1 b a 1 H a 1 H b 1 H
由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:
定义 一个群 的一个子群 的右陪集（或左陪集）的个数叫做 在 里的指数．
H a 定义
定义
一个群 一个群
的的的一一个个陪子子集群群 我的的们右右用陪陪集集符（（号或或左左陪 陪集集））的的来个个数数表叫叫示做做 ．在在
里的指数． 里的指数．
性质2 (1)------(5)
，因此，它们的确是
的一
(5) 任意两个左陪集
，
近世代数课件 子群的陪集
的右陪集所作成的集合叫做
(1)------(5) 例３ 对于有限群 的阶N的一个因子k, 可以没有k阶子群,也可以没有k阶元素．
所 由决等定价的 类类 的性质可那以叫推么做出子(左注群陪集意的我一些们重规要性定质的: 乘法顺序和书上的相反)