2012年新课标高考“计数原理、统计与概率”试题评析
高考数学试题解析 分项版之专题13 统计 学生版 文
2012年高考数学试题解析 分项版之专题13 统计 学生版 文一、选择题:1.（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）13．(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）9（D ）115. (2012年高考湖北卷文科2) 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.656.(2012年高考四川卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A、101B、808C、1212D、20128.(2012年高考江西卷文科6)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A.30％B.10％C.3％D.不能确定二、填空题:9.(2012年高考山东卷文科14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.::，现用分10.（2012年高考江苏卷2）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．11. (2012年高考浙江卷文科11)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.12.(2012年高考广东卷文科13)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________.（从小到大排列）14. (2012年高考湖南卷文科11)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.15.(2012年高考湖北卷文科11)一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率(含答案)
2012年高考真题理科数学解析汇编：概率(含答案)一、选择题 1 ．（2012年高考（辽宁理））在长为12cm 的线段AB 上任取一点 C ．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为 （ ）A ．16B ．13C ．23D ．452 ．（2012年高考（湖北理））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π3 ．（2012年高考（广东理））(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（ ）A ．49B ．13C ．29D ．194 ．（2012年高考（北京理））设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ．22π- C ．6πD ．44π-5 ．（2012年高考（上海理））设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2,随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差,则 （ ）A ．1ξD >2ξD .B ．1ξD =2ξD .C ．1ξD <2ξD .D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.二、填空题 6 ．（2012年高考（上海理））三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示). 7 ．（2012年高考（上海春））某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示). 8 ．（2012年高考（江苏））现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____. 9 ．（2012年高考（新课标理））某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布2(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为_________三、解答题 10．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||X Y ξ-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.11．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列, 数学期望及方差;元件1元件2元件3(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.12．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).13．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望14．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p的值;(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.15．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.16．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为3 4 ,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为23,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E X.17．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望()E X和方差()D X.附:2 2112212211212(), n n n n nn n n nχ++++-=18．（2012年高考（江西理））如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望.19．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=.(1)求概率(0)Pξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.20．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.(Ⅰ)确定x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. (注:将频率视为概率)21．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.22．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.23．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x年01x<≤12x<≤2x>02x<≤2x>轿车数量(辆) 2 345545每辆利润(万元) 1 2 3 1.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ,生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ,分别求12,X X 的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.24．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.25．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ,其中x 为12,,n x x x 的平均数)26．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m+道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题1. 【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2,由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.2. 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,选A.3. 解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=.4. 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率. 5.[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t,211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x -+23)(t x -+24)(t x -+25)(t x -] ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;第8题图记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x ++++有大小,])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+')]22222()(2[155********52423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=)]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++< 2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A.[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题. 二、填空题6. [解析] 设概率p=nk ,则27232323=⋅⋅=C C C n ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C 种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=.7.14158. 【答案】35.【考点】等比数列,概率.【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105.9. 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯=三、解答题10. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i i i P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+=所以ξ的分布列为ξ24p82740811781随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键..11. 【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-=当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩ (2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯=222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 76.476> 得:应购进17枝12. 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===; 21543920(4)42C C P XC ===; 12543915(5)42C C P X C ===; 34392(6)42C P XC ===.故,所求X 的分布列为X 3456P54220104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P Xi =⋅==∑.【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133.13. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,k k A B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12k P B =, ()1,2,3k ∈(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11113392727=++=(2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯=()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,221131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次)14. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分(2)由题意,P(ξ=0)=1000110133=）（CP(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=10007291011101333=-）（）（C所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为: E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯.[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.15.解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:Y 1 2 3 4 5P0.1 0.4 0.3 0.1 0.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)===+==+==P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y=⨯+⨯+⨯=0.10.30.30.10.40.40.22(2)解法一X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间1超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟.所以(1)(1)(1)(2)===>+=P X P Y P Y P Y0.10.90.40.49=⨯+=X=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.51解法二X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,2所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y=====⨯===-=-==(1)1(0)(2)0.49P X P X P X所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.5116.解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ; (Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P , 1)2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PEX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241=.17. 【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意,,从而X 的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X 和方差()D X ,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 18. . 【解析】解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3620C =种选法,选取的3个点与原点O 在同一个平面上的选法有133412C C =种,因此V=0的概率123(0)205P V ===(2)V 的所有可能值为11240,,,,6333,因此V 的分布列为 V16132343P35120320320120由V 的分布列可得: EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查. 19. 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱. ∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1,的共有6对,∴ 212661(6611P Cξ===,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=-=--.∴随机变量ξ的分布列是:ξ01()Pξ411611111∴其数学期望61()=1=111111Eξ⨯+【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)Pξ=.(2)的共有6对,即可求出(Pξ=,从而求出(1)Pξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.20. 【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y++=+=所以15,20.x y==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X=========201101( 2.5),(3).100510010p X p X======X的分布为X33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)iX i=为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X的分布列都与X的分布列相同,所以121212 ()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知251010055%,35,y x y++=⨯+=从而解得,x y,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率. 21.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差.解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=, (700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:于()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=， 又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.22.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =.(Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P Cξ====,()113921227916622C C P Cξ====,()20392123126622C C P Cξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.23. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想. 解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==.(2)依题意12,X X 的分布列分别如下:ABC D PEF图 ①G5341X12 3p125350910(3)由(2)得1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯=219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.24. 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记iA 为事件“第i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===.(Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=;123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;(2)0.352P ξ==;123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=2X1.82.9p110910【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.25. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010b=,0=时,14。
2012年高考数学新课标理解析版
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.第一卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y B x y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为（ ）（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10【答案】：D【解析】：由题意得，当5x =时，4,3,2,1y =共4中情形；当4x =时，3,2,1y =共3种情形；当3x =时，2,1y =共2种情形；当2x =时，1y =共1种情形，共计10种可能，所以集合B 中的元素个数为10个，故选D.【点评】：本题考查了集合的运算性质，属于中低挡试题，关键在于准确把握试题的条件，正确、合理分类求解.(2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种【答案】：A【解析】：由题意得，先由甲地选1名教师2名学生，剩余的1名教师2名学生去乙地，则有122412C C =种不同的安排方法，故选A.【点评】：本题考查了排列组合的相关知识，属于中低档试题，准确把握题意是解题的关键.（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题： P 1:|z|=2, P 2:z 2=2i,P 3:z 的共轭复数为1+i, p 4:z 的虚部为-1，其中的真命题为（ ）（A ）p 2,p 3 (B)P 1,P 2 (C)P 2,P 4 (D)P 3,P 4【答案】：C【解析】：由题意得，22(1)112i z i i --===---+，则z =22(1)2z i i =--=， 1z i =-+，复数z 的虚部为1-，所以24,p p 是正确的，故选C.【点评】：本题考查了复数的基本概念和复数运算，正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键，属于中低挡试题，解题时需认真、细致.（4）设12F F 是椭圆E ：2222(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， 21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45【答案】：C【解析】：由题意得（如图所示）0122120F F P MF P ∠=⇒∠ 在直角2MF P ∆中，02sin60PM PF =， 又232F M a c =-，且02tan 6022PM F M a c a c ==⇒-- 所以34c e a ==，故选C. 【点评】：本题考查了圆锥曲线的几何性质——离心率的计算，正确把握条件是解题的关键.（5）已知{}n a 为等比数列，332a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7【答案】：D【解析】：由题意，根据等比数列的性质得56478a a a a ==-，又472a a +=，设47,a a 是方程2280x x --=的两根，则解得44772,4,4; 2.a a a a =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 解得1107a a +=-，故选D.【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质，属于中低档试题.（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出A,B,则（A ）A+B 为12,,...,n a a a 的和（B ）2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数（D ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【答案】：C【解析】：由题意，根据给定的程序框图可知，此程序框图是计算123,,,,N a a a a 的最大值与最小值的算法框图，A 表示计算123,,,,N a a a a 最大值，B 表示计算123,,,,N a a a a 的最小值，故选C.【点评】：本题考查了程序框图的相关知识，正确理解算法框图是解决此类问题的关键.（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A ）6 （B ）9（C ）12 （D ）18【答案】：B【解析】：由题意得，根据三视图的规则，原几何体表示底面为直角边长为腰直角三角形，高为3的三棱锥，所以几何体的体积为11139332V Sh ==⨯⨯=，故选B. 【点评】：本题考查了三视图的相关知识，根据三视图的规则得到原几何体的线面关系及度量关系，从而计算几何体的体积与表面积.（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，AB =，则C 的实轴长为（A （B ）（C ）4 （D ）8【答案】：C 【解析】：由题意得，设等轴双曲线的方程为22221x y a a-=，又抛物线216y x =的准线方程为4x =-.代入双曲线的方程得2216y a y =-⇒==解得2a =，所以双曲线的实轴长为24a =，故选C.【点评】：本题考查了等轴双曲线与抛物线的相关知识，计算相交弦长，确定圆锥曲线的几何性质.（9）已知ω >0,函数()sin()4f x x πω=+在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值范围是 15A.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13B.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1C.0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D (].0,2 【答案】：A【解析】：由题意得，函数()sin()4f x x πω=+的单调递减区间为3242x πππω≤+≤, 则544x ππω≤≤，所以544x ππωω≤≤，则5424ππππωω≤≥且，解得1524ω≤≤. 故选A.【点评】：本题考查了三角函数的性质，体现了三角函数性质的整体代换思想，属于中档试题，需细心认真求解.(10) 已知函数f(x)= 1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图像大致为【答案】：B【解析】：由题意得，函数()f x 的定义域为10,100,x x x x +>⎧⇒>-≠⎨≠⎩且， 令()()1ln(1)111x g x x x g x x x -'=+-⇒=-=++， 当()100x g x '-<<⇒>，()00x g x '>⇒<，则()f x 在区间()1,0-为单调递增函数，在区间()0,+∞为单调递减函数，所以()f x 的图象大致为B ，故选B.【点评】：本题考查了函数的性质，利用函数的性质选择函数的图象，属于中档试题.（11）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的求面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（ ）(A)6(C)3(D)2 【答案】：A【解析】：由题意得，ABC ∆的边长为1，所以1AO =， 在直角1AOO ∆中，1AO =，所以1OO =，所以三棱锥S ABC -的高h =，所以几何体的体积为211133436V Sh ==⨯⨯=，故选A. 【点评】：本题考查了组合体的性质，根据三棱锥与球的组合体，计算三棱锥的度量关系，本题属于中档试题，需认真把握几何体的线面关系和度量关系.（12）设点P 在曲线y=12e x 上，点 Q 在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为 （A ） 1-ln2 （Bln 2)- （C ）1+ln2 （D【答案】：B【解析】：由题意得，函数12x y e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称， 又1122x x y e y e '=⇒=，令11ln 2y x '=⇒=，1ln(2)y x y x '=⇒=，令211y x '=⇒=， 则121ln2x x -=-，所以PQln 2)-，故选B.【点评】：本题考查了互为反函数两函数之间的关系，同时考查了利用导数处理函数的性质，本题有一定的技巧性，属于中高档试题，需要细致审题，认真梳理条件.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知向量a,b 夹角为450，且|a|=1，则|b|= .【答案】：【解析】：由题意得，2222024444cos 45a b a a b b a b b -=-⋅+=-⋅+ ，则2044cos 4510a b b b -⋅+=⇒= 【点评】：本题考查了平面向量的数量积与向量的模的相关知识，属于中低档试题.(14) 设x,y 满足约束条件1,3,0,0,x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z=x-2y 的取值范围为 . 【答案】：[]3,3-【解析】：由题意得，画出实数,x y 满足约束条件所表示的可行域，当取可行域内点()3,0A 时，目标函数2z x y =-取得最大值，最大值为3，当取可行域内点()1,2B 时，目标函数2z x y =-取得最小值，最小值为3-，所以目标函数2z x y =-的取值范围为[]3,3-.【点评】：本题考查了利用线性规划求最值的知识，正确画出可行域，移动目标函数到边界认真计算最值是解题的关键.（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （100，,5），且各个部件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.【答案】：38【解析】：由题意得，三个电子元件的使用寿命服从正态分布2(1000,50)N ，则每个元件的寿命超过1000小时的概率均为12，则元件1和2超过1000小时的概率为1131224-⨯=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为313428⨯=. 【点评】：本题考查了相互独立事件发生的概率及对立事件的应用，体现了概率的计算方法，认真审题时解好概率问题的关键.（16）数列{}n a 满足1(1)n n n a a ++-=2n-1，则的前60项和为 .【答案】：1830【解析】：由题意，由1(1)21n n n a a n ++-=-,得21(1)21n n n a a n ++=-++=1(1)[(1)21]21n n n a n n ---+-++(1)(21)21n n a n n =-+--++,即2(1)(21)21n n n a a n n ++=--++,也有31(1)(21)23n n n a a n n +++=--+++,两式相加得1232(1)44n n n n n a a a a n ++++++=--++.设k 为整数，则41414243442(1)4(41)41610k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+, 于是1414604142434400()(1610)1830k k k k k k S aa a a k ++++===+++=+=∑∑. 【点评】：本题考查了数列的求和，采用两项并为一项的形式求解，属于中高档试题，把握数列问题的规律是解题的关键.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边cos 0a C C b c --=.(1) 求A ；(2) 若a=2,△ABC b,c.【命题立意】：本题主要考查了解三角形的相关知识，先利用正弦定理把条件做到边角的统一，得到A 、C 的关系，求解角A ，然后利用三角形的面积公式求解三角形的面积.【点评】：本题主要考查了通过将三角形中边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理与余弦定理，求解三角形中的问题，试题整体上比较稳定，思路比较容易.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ｉ）看花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，n N）的函数解析式.（ＩＩ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值问题.首先要理解事件的具体情况，然后对事件的情况分析、讨论，并结合概率求解结论，利用期望的数据对解决方案作出合理的预测.【点评】：首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况.（19）（本小题满分12分） 如图，之三棱柱1111,1,2ABC A B C AC BC AA -==中D 是棱1AA 的中点，1,DC BD ⊥ (Ｉ)证明：11DC BC ⊥;（ＩＩ）求二面角11A BD C --的大小.【命题立意】：本题中体现了证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明的基本方法以及求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成.【点评】：该题考查空间内的垂直关系的证明、空间角的计算.考查定理的理解和运用，空间向量的运用.同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解题时要注意法向量的计算和运用这一关键.（20）（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的交点为F ，准线为L ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交L 于B ，D 两点.（I ）若90,BFD ABD ∠= 的面积为P 的值及圆F 的方程；（II ）若A ，B,F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点m ，n 距离的比值.【命题意图】：本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离.【点评】：本题考查了抛物线与圆的结合点，并且在第二问中体现了分类讨论的数学思想方法，对学生的深度思维有一定的考查.（21）（本小题满分12分）已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. （I ） 求()f x 的解析式及单调区间；（II ） 若21(),2f x x ax b ≥++求(1)a b +的最大值. 【命题立意】：本试题考查了导数在研究函数中的运用，求解单调区间，另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的应用.是看导数的符号的实质不变，求解单调区间；第二问中，运用构造函数的思想是一个难点，解决这类问题的关键在于找到函数的导数，利用导数证明，转化为函数的最值问题.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF AB，证明：（I ） CD=BC ；（II ） △BCD ∽△GBD.【命题立意】：利用圆的性质，运用相似三角形与圆、四边形等的性质及关系计算.【点评】：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质.注意把握判定与性质的作用.(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos ,(3sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是=2ρ，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为23π（，）. （I ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； （II ） 设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围. 【命题立意】：本题考查曲线的参数方程与极坐标方程与直角坐标的普通方程之间的相互转化，以及极坐标方程的应用.【点评】：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x - 2|.(I)当a = -3时，求不等式f(x) ≥3的解集；(II)若f(x)≤|x - 4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.【命题立意】：求解含有绝对值的不等式，采用零点分段法，去掉绝对值求解，已知不等式的解集中含有字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的范围.【点评】：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性.。
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理
综上,共有 23+23+16=62 种
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 18 条抛物线. 列举法
是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.
错误!未找到引用源。 [答案]D
[解析]二项式 (1
x)7
展开式的通项公式为
Tk
1
=
C
k 7
x
k
,令
k=2,则 T3
C 72、x 2
2 8 20 30 种,选 D.
错误!未找到引用源。 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张,若都不
同色则有 C41 C41 C41 64 种,若 2 色相同,则有 C32C21C42C41 144 ;若红色卡片有 1 张,
则剩余 2 张若不同色,有 C41 C32 C41 C41 192 种,如同色则有 C41C32C42 72 ,所以共有
解析:由于
51=52-1, (52
1) 2012
C0 2012
52
2012
C1 2012
52
2011
...
C 2011 2012
521
1,
又由于 13|52,所以只需 13|1+a,0≤a<13,所以 a=12 选 D. 错误!未找到引用源。答案 A
【命题意图】本试题考查了排列组合的用用. 【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有 3 种,再填写右上角的数为 2 种,在
得: 60x2 6a3 24a4 (1 x) 60a5 (1 x)2 ,再运用赋值法,令 x 1 得: 60 6a3 ,即 a3 10 .
错误!未找到引用源。 【答案】 3 5
2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题J 计数原理 理
J 计数原理J1 基本计数原理10．J1、J2[2012·某某卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D [解析] 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.6．J1、J2[2012·卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7．K2、J1[2012·某某卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.197．D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：C15×C15＝25；另一类x为偶数，y为奇数共有：C14×C15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝545＝19.6．J1、J2[2012·某某卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种C．65种 D．66种6．D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J2 排列、组合11．J2[2012·某某卷] 现有16X不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4X．从中任取3X，要求这3X卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1X，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．48411．C [解析] 本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．法一：(排除法)先从16X卡片选3X，然后排除所取三X同色与红色的为2X的情况，C316－4C34－C24C112＝560－88＝472.法二：有红色卡片的取法有C14C23C14C14＋C14C13C24，不含红色卡片的取法有C14C14C14＋C13C24C18，总共不同取法有C14C23C14C14＋C14C13C24＋C14C14C14＋C13C24C18＝472.8．J2[2012·某某卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种 B．15种C．20种 D．30种8．C [解析] 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.5．J2[2012·某某卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!5．C [解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.2．J2[2012·课标全国卷] 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种2．A [解析] 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C12C24＝12种．故选A.11．J2[2012·全国卷] 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种C．24种 D．36种11．A [解析] 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A33＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有2A33＝12种不同的排法，故选A.6．J1、J2[2012·卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.10．J1、J2[2012·某某卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D [解析] 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.11．J2[2012·某某卷] 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( ) A．60条 B．62条C．71条 D．80条11．B [解析] 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；以上共计14条不同的抛物线；②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A35＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有4A23＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，以上两种情况合计14＋48＝62(条)．6．J1、J2[2012·某某卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种C．65种 D．66种6．D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J3 二项式定理1．J3[2012·某某卷] (1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．211．D [解析] 根据二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 7x r，取r ＝2得x 2的系数为C 27＝7×62＝21.5．J3[2012·某某卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160 [解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．J3[2012·某某卷] (a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________． 12．1 [解析] 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 5a 5－r x r ，令r ＝2，所以x 2的系数为C 25a 3，即有C 25a 3＝10，a ＝1，故填1.13．J3[2012·某某卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)13．－160 [解析] 由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r，令3－r ＝0，∴r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)326－3C 36＝－160.5．J3[2012·某某卷] 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．125．D [解析] 512 012＋a ＝a ＋(13×4－1)2 012＝(1－13×14)2012＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012(13×4)2＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 012，显然当a ＋1＝13k ，k ∈Z ，即a ＝－1＋13k ，k ∈Z 时，512 012＋a ＝13×4[－C 12 012＋C 22 012(13×4)1＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 011]，能被13整除．因为a ∈Z ，且0≤a <13, 所以a ＝12.故选D.10．J3[2012·某某卷] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)10．20 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6x12－3r ，令12－3r ＝3，解得r ＝3，所以x 3的系数为：C 36＝20.11．J3[2012·某某卷] (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________. 11．2 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是T r ＋1＝C r 4a 4－r x r, x 3的系数为8，即令r ＝3，所以C 34a 1＝8，所以4a ＝8，所以a ＝2.15．J3[2012·全国卷] 若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．15．56 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n ，再结合通项公式即可．由题有C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r －8，令2r －8＝2⇒r ＝5，∴1x2的系数为C 58＝56，故填56.7．J3[2012·某某卷] (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．37．D [解析] 本题考查二项式定理的简单应用．因为()x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15，又2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为2C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20()－15＝－2，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为x 2C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21()－14＝5，故二项式()x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为－2＋5＝3.5．J3[2012·某某卷] 在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－405．D [解析] 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 525－k x 10－3k，令10－3k ＝1，即k ＝3， 此时x 的系数为(－1)3C 3522＝－40.14．J3、B12[2012·某某卷] 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.14．10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．法一：由于f (x )＝x 5＝[]1＋x －15那么a 3＝C 25(－1)2＝10，故应填10.法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.法三：由等式两边对应项系数相等．即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．4．J3[2012·某某卷] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105 4．B [解析] 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k8·(x )8－k·⎝⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k.令4－k ＝0，则k ＝4，所以展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.J4 单元综合2012模拟题1．[2012·某某五校联考] 2011年某某世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有( )A ．25种B ．150种C ．240种D ．360种1.B [解析] 五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，分为两类，第一类有一样3人做，另2样各一人：C 35A 33＝60，第二类有两样各2人做，另一样1人做：12C 25C 23A 33＝90，总共有60＋90＝150种分派方法，选B.2．[2012·某某省重点中学联考] 在⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 20的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项2．B [解析] 本题主要考查二项式定理．属于基础知识、基本运算的考查．T r ＋1＝C r 20x20－r 3·x －r 2＝C r 20x 40－5r6，x 的幂指数是整数，则必需40－5r 是6的倍数，所以r ＝2,8,14,20共四项．3．[2012·某某一中检测] 每位学生可从本年级开设的A 类选修课3门，B 类选修课4门中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．(用数字作答)3．30 [解析] 因为从A 类选修课3门，B 类选修课4门中选3门，要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有C 37－C 33－C 34＝30种．4．[2012·某某省重点中学一模] 设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展示式中含x 2项的系数是________．4．－192 [解析] 本题主要考查求三角函数的定积分和二项式定理的通项公式．属于基础知识、基本运算的考查．a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ＝(－cos x ＋sin x)⎪⎪ π0＝2，二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展示式中含x 2项的系数是－C 1625＝－192.5．[2012·某某省重点中学联考] (1－2x)5(1－3x)4的展开式中按x 的升幂排列的第2项等于________．5．－22x [解析] 本题主要考查二项式定理的通项公式．属于基础知识、基本运算的考查．按x 的升幂排列的第2项为x 的一次项，它的系数为C 15(－2)＋C 14(－3)＝－22，第2项等于－22x.。
我的收藏-2012年福建省高考数学科分析【仅供参考】
2012年福建省高考数学试题分析一、试卷分析2012高考数学福建卷以《课程标准》和《考试大纲》为命题指导和命题依据，以福建省《考试说明》为命题直接依据，全面贯彻“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想和“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想。
命题全面考查学科基础，立足学科整体意义，依托学科知识本质，控制试题整体难度，有效检测学生进一步学习所必备的基础知识和基本技能，努力体现对知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观等目标的要求，以发挥试题对推进普通高中实施素质教育的积极导向；命题坚持能力立意，着力考查数学素养，注重考查运用所学知识分析问题和解决问题的能力，以凸显高考考试的选拔性特征。
1、合理控制考查力度试卷注重学科基础的全面考查，文、理科试卷的知识覆盖面均达80%以上，各版块知识的覆盖面达100%。
根据数学各分支在中学数学中的地位及课时比例，合理选取试题素材，确定恰当考查力度。
对非主干知识，如复数、常用逻辑用语、线性规划、二项式定理、程序框图等拓展学生视野、为进一步学习作初步准备的知识，只作为选择题、填空题考查，占分比例小，试题难度也较小；而作为中学数学主体内容的六大主干知识，在文、理科试卷中分别占126分和118分，不但占分比例大，而且在各类题型中都作了较深入的考查，并且配备了各种不同难度要求的试题。
试题不拘泥于知识内容的层次要求，对于支撑学科体系、揭示学科本质的知识点，尽管要求层次属了解，仍然根据试题设计需要，结合到解答题中进行考查。
2、立足数学学科本质试卷从数学各分支的核心内容、学科思想及教育价值入手设置试题，合理地检测学生的数学素养。
如理14、文8及理17、文20突出了对三角函数的性质及三角恒等变形的考查；理4、文4及理18、文19着重考查空间几何体的认识，空间点、线、面的位置关系；理16、文18突出了对统计图表的认识、统计量的实际意义的理解与应用、样本估计总体等知识的考查；理19、文21突出考查利用代数方法研究几何性质；理20、文22重点考查利用导数研究函数，突出导数的工具性作用；理14、文11、文17重点考查数列的概念，等差、等比数列的基本性质与计算，突出考查基本量法等。
2012年高考真题理科数学答案解析汇编：概率
七彩教育网 免费提供Word 版教学资源2012 年高考真题理科数学解析汇编：概率一、选择题1 ．（ 2012 年高考（辽宁理） ） 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C ．现作一矩形 , 领边长分 别等于线段 AC,CB 的长 , 则该矩形面积小于 32cm 2 的概率为 （ ）A ．1B ．1C ．2D ．463 352 ．（ 2012 年高考（湖北理））如图 , 在圆心角为直角的扇形OAB 中 , 分别以 OA , OB为直径作两个半圆 . 在扇形 OAB 内随机取一点 , 则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ． 1 2B ．11π 2πC ．2D ． 1ππ3 ．（ 2012 年高考（广东理） ） ( 概率 ) 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个 , 其个位数为 0 的概率是（）A ．4B ．1C ．2D ．19 3 9 90 x 2D ．在区域4 ．（ 2012 年高考（北京理） ） 设不等式组 y 表示的平面区域为0 2D 内随机取一个点 , 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（）A ．B ．2 C ．6D ．444 25 ．（ 2012 年高考（上海理））设 10 x 1x 2 x 3 x 4 104 , x 5 105 . 随机变量1 取值 x 1 、x 2 、 x 3 、 x 4 、 x 5 的概率均为 0.2, 随机变量 2 取值x12 x 2 、x22 x3 、x32x4、x42 x 5、x52 x 1的概率也为 0.2.若记D 1、D 2 分别为 1、 2的方差 ,则（ ）A ．D 1>D 2.B ．D 1=D 2.C ．D 1<D 2.D ．D 1与D 2的大小关系与x 1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 的取值有关 .二、填空题6 ．（ 2012 年高考（上海理） ） 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目 , 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 ______( 结果用最简分数表示 ).7 ．（ 2012 年高考（上海春） ） 某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作 , 则在选出的志愿者中 , 男、女都有的概率为 ______( 结果用数值表示 ).8 ．（ 2012 年高考 （江苏））现有 10 个数 , 它们能构成一个以 1 为首项 ,3 为公比的等比数列 ,若从这 10 个数中随机抽取一个数 , 则它小于 8 的概率是 ____.9 ．（ 2012 年高考（新课标理） ） 某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2正常工作 , 且元件 3正常工作 , 则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命( 单位 : 小时 ) 均服从正态分布 N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立, 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_________元件 1元件 3元件 2三、解答题10．（ 2012 年高考（天津理））现有4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性 , 约定 : 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏 , 掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏.( Ⅰ ) 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率:( Ⅱ ) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:( Ⅲ ) 用X ,Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数 , 记=|X Y| ,求随机变量的分布列与数学期望E.11．（ 2012 年高考（新课标理））某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量n( 单位 : 枝 , n N )的函数解析式.(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 ( 单位 : 枝 ), 整理得下表 :以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列,数学期望及方差;请说明理由 .12．（ 2012 年高考（浙江理） ） 已知箱中装有 4 个白球和5 个黑球 , 且规定 : 取出一个白球的 2分 , 取出一个黑球的 1 分 . 现从该箱中任取 ( 无放回 , 且每球取到的机会均等 )3 个球 , 记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和 .(Ⅰ)求 X 的分布列 ;( Ⅱ) 求 X 的数学期望 E ( X ).13．（ 2012 年高考（重庆理） ） ( 本小题满分 13 分,( Ⅰ) 小问 5 分,( Ⅱ) 小问 8 分.)甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投中者获胜 , 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为 1, 乙每次投篮投中的概率为13, 且各次投篮互不影响 .2( Ⅰ) 求甲获胜的概率 ;( Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望14．（ 2012 年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统( 简称系统 ) A 和 B ,系统 A 和 B 在任意时刻发生故障的概率分别为1和 p.10( Ⅰ) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 , 求 p 的值;50( Ⅱ) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 , 求 的概率分布列及数学期望 E .15．（ 2012 年高考（陕西理） ） 某银行柜台设有一个服务窗口 , 假设顾客办理业务所需的时间互相独立 , 且都是整数分钟 , 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率 ;(2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数, 求X的分布列及数学期望.16．（ 2012 年高考（山东理））先在甲、乙两个靶. 某射手向甲靶射击一次, 命中的概率为3,4命中得 1 分 , 没有命中得0 分 ; 向乙靶射击两次, 每次命中的概率为2,每命中一次得2 3分, 没有命中得0 分 . 该射手每次射击的结果相互独立. 假设该射手完成以上三次射击.( Ⅰ) 求该射手恰好命中一次得的概率;( Ⅱ) 求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .17．（ 2012 年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 , 随机抽取了100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”.( Ⅰ) 根据已知条件完成下面的2 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关 ?( Ⅱ) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中 , 采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众 , 抽取 3 次 , 记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X . 若每次抽取的结果是相互独立的, 求 X 的分布列 , 期望 E(X) 和方差 D(X) .2附 :2n( n 11n 22 n 12n 21) ,n 1 n 2 n 1n 218．（2012年高 考（ 江西 理） ）如 图 , 从A (1,0,0),A (2,0,0),B(0,2,0),B2(0,2,0),C(0,0,1),C2(0,0,2)这 6 个点中随机选取 31211个点 , 将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” , 记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内 , 此时“立体”的体积 V=0).(1) 求 V=0 的概率 ;(2) 求 V 的分布列及数学期望 .19．（ 2012 年高考（江苏） ） 设为随机变量 , 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条 , 当两条棱相交时 ,0 ; 当两条棱平行时 ,的值为两条棱之间的距离 ; 当两条棱异面时 , 1.(1) 求概率 P(0) ;(2)求的分布列 , 并求其数学期望E ( ) .20．（ 2012 年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据, 如下表所示 .一次购物159 至1317 件量至至12至及以48件16上件件件顾客数x3025y10( 人 )结算时间1 1.52 2.53(分钟/人 )已知这 100 位顾客中的一次购物量超过8 件的顾客占 55%.( Ⅰ) 确定 x,y的值 , 并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望;( Ⅱ) 若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算 , 且各顾客的结算相互独立, 求该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率 .．．．( 注 : 将频率视为概率)21．（ 2012 年高考（湖北理））根据以往的经验, 某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表 :降水量 X X 300300X 700700 X 900X 900工期延误天02610数 Y历年气象资料表明, 该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:( Ⅰ) 工期延误天数Y 的均值与方差;( Ⅱ) 在降水量X至少是 300的条件下,工期延误不超过 6 天的概率 .22．（ 2012 年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示 , 其中成绩分组区间是:40,50 、 50,60、60,70 、 70,80 、 80,90 、 90,100 .( Ⅰ) 求图中x的值 ;( Ⅱ) 从成绩不低于80 分的学生中随机选取 2 人 , 该 2 人中成绩在90 分以上 ( 含 90 分 )的人数记为, 求的数学期望.23．（ 2012 年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关, 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车 , 保修期均为 2 年 , 现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50 辆, 统计书数据如下 :品甲乙牌首次出现0 x 1 1 x 2x 20 x 2x 2故障时间x 年轿44车数量23555 ( 辆 )每 2.9123 1.8辆利润(万元)将频率视为概率, 解答下列问题:(I) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆, 求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出 , 记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 , 生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1, X2的分布列;(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 , 由于资金限制 , 只能生产其中一种品牌轿车 , 若从经济效益的角度考虑 , 你认为应该产生哪种品牌的轿车 ?说明理由 .24．（ 2012 年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．乒乓球比赛规则规定: 一局比赛 , 双方比分在10 平前 , 一方连续发球 2 次后 , 对方再连续发球 2 次 , 依次轮换 , 每次发球 , 胜方得 1 分 , 负方得 0 分 . 设在甲、乙的比赛中 , 每次发球 ,发球方得 1 分的概率为0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立,. 甲、乙的一局比赛中, 甲先发球 .(1) 求开始第 4 次发球时 , 甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 ;(2)表示开始第 4 次发球时乙的得分, 求的期望.25．（ 2012 年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类 , 并分别设置了相应的垃圾箱 , 为调查居民生活垃圾分类投放情况 , 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 吨生活垃圾 , 数据统计如下 ( 单位 :吨):“厨余垃“可回收“其他垃圾”箱物”箱圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1) 试估计厨余垃圾投放正确的概率;(2) 试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别当数据 a,b, c 的方差 S2最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明), 并求此时S2的值 .( 注 : 方差s21[( x1 x)2(x2 x)2( x n x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,x n的平均数) n26．（ 2012 年高考（安徽理））某单位招聘面试, 每次从试题库随机调用一道试题, 若调用的是A 类型试题,则使用后该试题回库, 并增补一道 A 类试题和一道B 类型试题入库, 此次调题工作结束; 若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库, 此次调题工作结束. 试题库中现共有 n m道试题 , 其中有n道A类型试题和m 道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后, 试题库中 A 类试题的数量.( Ⅰ) 求X n 2 的概率;( Ⅱ) 设m n ,求X的分布列和均值( 数学期望 ).2012 年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题 1.【答案】 C 【解析】设线段AC 的长为x cm, 则线段CB 的长为 ( 12 x )cm, 那么矩形的面积为2x(12 x) cm,由 x(12 x)32 , 解得 x 4或 x 8 . 又 0 x 12 , 所以该矩形面积小于32cm 2 的概率为 2,故选C3【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算 , 以及分析问题的能力 , 属于中档题 .2.考点分析 : 本题考察几何概型及平面图形面积求法 .解析 :令 OA1 , 扇形 OAB 为对称图形 , ACBD 围成面积为 S 1 , 围成 OC 为 S2 ,作对称轴 OD , 则过 C 点 . S 2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC 的面2积, S 21 1 1 1 12 . 在扇形 OAD 中 S 1为扇形面积减去2 2 2 2 282三角形 OAC 面积和S 2,S 1 1 1 21S 2 2, S 1 S 22 , 扇2 2 882164形 面积1OABS 选 A. 第8题图43. 解析 :D. 两位数共有 90 个 , 其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个 , 个位数为0的有 5 个, 所以概率为5 1 .45 94. 【答案】 D0 x2 , 而动点 D 可以存在的位置为正【解析】 题目中表示的区域表示正方形区域 0 y222 122方形面积减去四分之一的圆的面积部分, 因此 p44故选 D2 2,4【考点定位】 本小题是一道综合题 , 它涉及到的知识包括 : 线性规划 , 圆的概念和面积公式、概率 .5.[解析]E 1 0.2( x 1x 2 x 3 x 4 x 5 ) =t , E 20.2( x 1 2 x 2+ x 2 2 x 3+ x 3 2 x 4+ x 4 2 x 5+ x 52 x 1)=t ,D 1 0.2[( x 1 t) 2 + ( x 2 t)2 +( x 3 t) 2 +( x 4 t )2 +( x 5 t )2 ]七彩教育网全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载记x12x2x1,x22x3x2,,x52x1x5,同理得D 20.2[( x12x22x32x42x52 )2( x1x2x3x4x5 )t 5t 2 ] ,只要比较 x 2x2x2x 2x 2与 x2x2x2x2x2有大小 ,1234512345x12x22x32x42x5214 [( x1x2 )2(x2x3 )2( x1x2 ) 2 ]41 [ 2(x12x22x32x42x52 )(2x1x22x2 x32x3x42x4 x52x5 x1)]41 [ 2( x12x22x32 x42x52 ) (x12x22 ) (x22x32 ) ( x32x42 ) (x42x52) (x52x12)]x12x22x32x42x52,所以 D 2 D 1,选A.[评注]本题的数据范围够阴的, 似乎为了与选项 D 匹配 , 若为此范围面困惑, 那就中了阴招 ! 稍加计算 , 考生会发现 E 1和 E 2相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值, 故比第一组更“集中”、更“稳定” , 根据方差的涵义, 立得D 1>D 2而迅即攻下此题.二、填空题6.[ 解析] 设概率p= n k,则n C32C32C3227 ,求k,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同 , 有C32种 ; ②确定上述二人所选择的相同的项目,有C31种 ; ③确定另一人所选的项目 , 有C21种 . 所以k C32 C31 C2118,故p=182732 .7.14 158.【答案】3 . 5【考点】等比数列 , 概率 .【解析】∵以 1为首项 , 3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,- 27, ···其中有 5个负数 ,1 个正数 1 计 6 个数小于 8,∴从这 10 个数中随机抽取一个数, 它小于 8 的概率是6=3.9.【解析】使用寿命超过1000 小时的概率为10 5 38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502 )得 : 三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为1 p2超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率P1 1 (1 p) 234那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为 p 2p 1 p38三、解答题10. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式, 互斥事件、事件的相互独立性、 离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识 . 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力 .依题意,这 4个人中 , 每个人去参加甲游戏的概率为1, 去参加乙游戏的概率为2. 设33“ 这 4个 人 中 恰 有 i 人 去 参 加 甲 游 戏 ” 为 事 件 A i (i 0, 1, 2,,3则P( A i ) C 4i (1)i ( 2)4 i.3 3P( A 2 ) C 42( 1) 2( 2)28(1) 这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率为.3 3 27B , 则(2) 设“这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B A 3 A 4, 由于 A 3与 A 4互斥 ,故P(B) P(A 3) P( A 4 ) C 43 (1) 3( 2) C 44( 1)413339所以这 4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1 .9(3) 的所有可能的取值为0,2,4 , 由于 A 1与 A 3互斥, A 0与 A 4互斥 ,故P(0)P(A 2)8,P(2)P(A 1) P( A 3)40, P(4) P( A 0) P( A 4)17278181所以 的分布列为24p8 40 17278181随机变量的数学期望 E8 2 40 4 17148 .2781 8181【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点, 近年来都通过概率问题来考查 , 且常考常新 , 对于此类考题 , 要注意认真审题 , 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型, 独立事件、互斥事件等概率模型求解, 因此对概率型应用性问题 , 理解是基础 , 转化是关键 ..11. 【解析】 (1) 当 n 16 时 , y 16 (105) 80当 n 15 时 , y 5n 5(16 n)10n80得 : y10n 80(n 15)N )(n(2)(i)X 可取 60 , 70 , 80P( X 60) 0.1, P( X 70) 0.2, P( X 80) 0.7X的分布列为X607080P0.10.20.7EX600.1700.2800.776DX1620.1620.2420.744(ii)购进 17 枝时 , 当天的利润为y(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.476.476 得:应购进17枝12.【解析】本题主要考察分布列 , 数学期望等知识点 .( Ⅰ)X的可能取值有:3,4,5,6.P(X 3)C535;P(X 4)C52 C4120;C 342 C 34299P(X 5)C51C4215P(X 6)C432 C342;C342.99故 , 所求X的分布列为X34565201015521 P42422142144221( Ⅱ) 所求X的数学期望E( X)为:613 .E( X)=i P(X i )i43【答案】( Ⅰ) 见解析 ;( Ⅱ)13.313. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率, 考查运用概率知识解决实际问题的能力, 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响, 注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解 : 设A k, B k分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则P A k1,P B k1,k 1,2,332(1)记“甲获胜”为事件C, 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知, P C P A1P A1 B1A2P A1 B1 A2 B2 A3P A 1 PA 1PB 1PA 2PA 1PB 1PA 2PB 2PA 31 2 1 1 221 2 1 33 2 332311113 39 2727(2)的所有可能为 : 1,2,3由独立性知 : P1 P A 1 P A 1B 11 2 1 233 232 1 12 22P2 P A 1 B 1A 2P A 1B 1 A 2 B 21 2 3 2 3329221 P3 P A 1B 1 A 2 B 2 2 1329综上知 ,有分布列123P2 2 1399从而,E122 2 31 13(次)39 9914. [ 解析 ](1) 设: “至少有一个系统不发生故障”为事件 C, 那么1-P(C)=1-1 P=49 , 解得 P=14 分1050 151(2) 由题意 ,P(0 3 =0)= C （3 ）101000P(=1)= 11 21 ） 27C （3 10 ）（1 10 1000P(=2)= 21）（112 243C （310 ）100010 P(=3)= 31 01 3 729C （3）（110 ）100010所以 , 随机变量的概率分布列为 :12 3127 243 729P1000100010001000故随机变量 X 的数学期望为 :E=0 01272243372927 100011000.1000100010[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算, 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.15. 解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间, 用频率估计概率 , 得Y的分布列如下 :Y12345P0.10.40.30.10.1(1) A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务” , 则事件 A 对应三种情形 :①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟 , 且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟 , 且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟 ; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以 P( A)P(Y 1)P(Y3)P(Y3)P(Y1) P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22(2) 解法一X 所有可能的取值为0,1,2X0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P(X0)P(Y2)0.5X 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过 1分钟 , 或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟.所以 P(X1)P(Y 1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49X 2 对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以 P(X2)P(Y 1)P(Y 1)0.10.10.01所以 X 的分布列为X012P0.50.490.01EX00.510.4920.010.51解法二X 所有可能的取值为 0,1,2X0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟,所以 P(X0)P(Y2)0.5X2对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以P( X2)P(Y 1)P(Y1)0.10.10.01P( X1)1P( X0)P( X2)0.49所以 X 的分布列为X012P0.50.490.01EX 0 0.5 1 0.49 20.01 0.5116. 解析 :( Ⅰ)P3 (1)21C 211 2 7 ;4 343 336( Ⅱ)X 0,1,2,3,4,5P(X 0)1 ( 1)2 1.P(X 1) 3 (1)21,P(X 2)1C 211 2 1,4 3364 3 124 3 3 9 P(X 3)3C 211 2 1,P(X 4)1 (2) 21,P(X 5)3 ( 2)2 143 3 34394 33X 01 2345P11 11 1 136129393EX=0× 1+1× 1 +2× 1+3× 1 +4× 1+5× 1 =4135.36129 3 9 3 12 1217. 【答案及解析】(I) 由频率颁布直方图可知 , 在抽取的 100 人中 , “体育迷”有 25 人, 从而 2×2列联表如下 :由 2×2列联表中数据代入公式计算, 得 :因为 3.030<3.841, 所以 , 没有理由认为“体育迷”与性别有关 .(II) 由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25, 将频率视为概率 , 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为1,由题意 ,4, 从而 X 的分布列为 :【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列 , 期望E( X )和方差D ( X ) , 考查分析解决问题的能力、运算求解能力 , 难度适中 . 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.18. .【解析】解 :(1)从 6 个点中随机地选取 3 个点共有C6320 种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有C31C4312种,因此V=0的概率P(V0)1231124205(2)V 的所有可能值为0,,,,, 因此 V 的分布列为6333V011246333P31331520202020由 V 的分布列可得 :EV=0311*******562032032032040【点评】本题考查组合数 , 随机变量的概率 , 离散型随机变量的分布列、期望等 . 高考中 , 概率解答题一般有两大方向的考查 . 一、以频率分布直方图为载体 , 考查统计学中常见的数据特征 :如平均数 , 中位数 , 频数 , 频率等或古典概型 ; 二、以应用题为载体 , 考查条件概率 , 独立事件的概率 , 随机变量的期望与方差等 . 来年需要注意第一种方向的考查 .19. 【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8 个顶点中的一个, 过任意 1 个顶点恰有3条棱,∴共有8C32对相交棱.∴ P(8C32834.0)=6611 C122(2) 若两条棱平行 , 则它们的距离为 1 或2 ,其中距离为2的共有6对,∴ P(661416 2)=66,P(1)=1 P( 0) P(2)=11111=. C1221111∴随机变量的分布列是 :12P()4 6 1111111∴其数学期望 E( )=16 2 1 = 6 2 .1111 11【考点】概率分布、数学期望等基础知识.【解析】 (1) 求出两条棱相交时相交棱的对数 , 即可由概率公式求得概率 P( 0) .(2) 求出两条棱平行且距离为2 的共有 6 对, 即可求出 P( 2) , 从而求出 P( 1)( 两条棱平行且距离为 1 和两条棱异面 ), 因此得到随机变量的分布列 , 求出其数学期望 .20. 【解析】 (1) 由已知 , 得 25 y10 55, x y 35, 所以 x 15, y 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本, 将频率视为概率得p(X 1)15 3, p( X 1.5)303, p( X 2)25 1 , 10020100 101004p( X 2.5) 20 1, p( X3) 10 1 .X 的分布为1005100 10X 11.52 2.53P33 1 1120104510X 的数学期望为E(X) 13 1.5 3 2 1 2.5 13 1 1.9 .20 10 4 5 10( Ⅱ) 记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”, X i (i 1,2) 为该顾客前面第i 位顾客的结算时间 , 则P(A) P(X 11且X 21) P( X 1 1且X 2 1.5) P(X 1 1.5且X 2 1) .由于顾客的结算相互独立, 且 X 1, X 2 的分布列都与 X 的分布列相同 , 所以P(A)P(X 11) P(X 21) P(X 1 1) P(X 21.5) P( X 11.5) P( X 21)3 333 339 .2020 2010 1020809 . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为80【点评】本题考查概率统计的基础知识, 考查分布列及数学期望的计算 , 考查运算能力、分析问题能力 . 第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过8 件的顾客占55%知求得分布列和期望 ; 第二问 , 通过设事件 , 判断事件之间互斥关系 , 从而求得该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率 .．．．21. 考点分析 : 本题考察条件概率、 离散型条件概率分布列的期望与方差 .P解析 :( Ⅰ) 由已知条件和概率的加法公式有 :P( X 300) 0.3,AG 5D4FP(300 X 700) P( X 700) P( X300) 0.7 0.3 0.4 ,EB3CP(700 X900) P( X900)P( X700) 0.90.7 0.2 .图 ①P( X900) 1 P( X 900)1 0.9 0.1 .所以 Y 的分布列为 :Y 02610P0.30.40.20.1于是 , E(Y ) 00.3 2 0.4 6 0.210 0.13 ;D(Y) (0 20.3 (2 3)20.4 (6 3) 2(10 20.1 9.8 .3) 0.2 3)故工期延误天数 Y 的均值为 3, 方差为 9.8 .( Ⅱ) 由概率的加法公式 , P( X 300) 1 P( X 300) 0.7，又 P(300 X900) P ( X 900) P( X300) 0.9 0.3 0.6 .由条件概率 , 得 P(Y6 X300) P( X900 X300)P(300X 900) 0.6 6 .P(X300)0.7 7故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下 , 工期延误不超过6 天的概率是 6.722. 解析 : ( Ⅰ) 由 0.006 3 0.01 0.054 x 10 1 , 解得 x0.018 .( Ⅱ) 分数在 80,90 、90,100 的人数分别是 50 0.018 109 人、50 0.006 103 人 .所以的取值为 0、 1、 2.PC 30C 92 36 6, P1 C 31C 9127 9P2C 32C 90 31 C 12266 11C 122,C 12266,66 2222所以的数学期望是 E6 19 2111 1 .11 22 2222 223. 【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识 , 考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想 .解 :(1) 设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件2 31A ,则 P(A).50 10(2) 依题意 X 1, X 2 的分布列分别如下 :1 2 3X 1p1 3 9 X 21.82.925 50 10(3) 由 (2) 得p191010E( X 1) 1123 3 9 2.8650 1025E(X 2)1.81 9 2.79 2.91010E(X 1 ) E(X 2 ) , 所以应生产甲品牌的轿车 .24. 【命题意图】 本试题主要是考查了独立事件的概率的求解 , 以及分布列和期望值的问题 . 首先要理解发球的具体情况 , 然后对于事件的情况分析、讨论 , 并结合独立事件的概率求解结论 .解 :记A i为 事 件 “ 第 i 次 发 球 , 甲 胜 ”,i=1,2,3, 则P(A 1) 0.6,P( A 2 ) 0.6,P( A 3 )0.4 .( Ⅰ) 事件“开始第 4次发球时 , 甲、乙的比分为 1 比 2 ”为 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得P( A 1 A 2 A 3 A 1A 2 A 3 A 1A 2A 3) 0.6 0.40.60.4 0.60.6 0.4 0.40.40.352 .即开始第 4 次发球时 , 甲、乙的比分为 1比 2 的概率为 0.352( Ⅱ) 由题意0,1,2,3 .P( 0)P( A 1A 2 A 3 ) 0.6 0.6 0.4 0.144 ;P( 1) P( A 1A 2A 3A 1 A 2 A 3 A 1A 2 A 3)0.4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.6 0.60.6=0.408;P( 2) 0.352 ;P(3)P(A 1A 2 A 3)0.4 0.4 0.6 0.096所以E0.408 2 0.352 3 0.096 1.4【点评】首先从试题的选材上来源于生活 , 同学们比较熟悉的背景, 同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用, 以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切 , 容易入手 , 但是在讨论情况的时候, 容易丢情况 .25. 【考点定位】此题的难度集中在第三问, 其他两问难度不大 , 第三问是对能力的考查 , 不要求证明 , 即不要求说明理由 , 但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1) 由题意可知 :400 = 2600 3(2) 由题意可知 :200+60+40= 3100010(3) 由题意可知 : s 21 (a2 b 2 c 2 120000) , 因此有当 a600 , b0 , c 0 时 ,3有 s 280000 .26. 【解析】 (I) X n2 表示两次调题均为 A 类型试题 , 概率为n n 1nmn 2m 1( Ⅱ)mn 时 , 每次调用的是 A 类型试题的概率为 p2随机变量 X 可取 n, n 1,n 2P( Xn) (1 p)21 , P( Xn 1) 2 p(1p) 1 , P(Xn 2) p 2142 4X nn1 n 2P111424EX n1 (n1) 1 (n 2) 1 n 142 n 4 n 1答:( Ⅰ)X n 2 的概率为n m n 2( Ⅱ) 求 X 的均值为 n 1m。
2012年高考真题理科数学答案解析汇编：概率
2012年高考真题理科数学答案解析汇编：概率2012年高考真题理科数学解析汇编：概率一、选择题1 ．（2012年高考（辽宁理））在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积小于32cm 2的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．23 D ．45 2 ．（2012年高考（湖北理））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π- C ．2πD ．1π 3 ．（2012年高考（广东理））(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（） A ．49 B ．13 C ．29 D ．194 ．（2012年高考（北京理））设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为 D ．在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是果用数值表示).5 ．（2012年高考（江苏））现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3 为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____. 6 ．（2012年高考（新课标理））某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50)N ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________元件1元件2元件3三、解答题7．（2012年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:(Ⅲ)用,X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||ξ-,求随机变量ξ的分X Y布列与数学期望Eξ.8．（2012年高考（新课标理））某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n N )的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列,数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.9．（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).10．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次,乙每次投篮投中的概投篮投中的概率为13,且各次投篮互不影响.率为12(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望11．（2012年高考（四川理））某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任和p.意时刻发生故障的概率分别为110(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生,求p的值;故障的概率为4950(Ⅱ)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.12．（2012年高考（陕西理））某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.13．（2012年高考（山东理））先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶,命中得1分,没有射击一次,命中的概率为34命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概,每命中一次得2分,没有命中得0分.率为23该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.14．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X . 附:22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=15．（2012年高考（江西理））如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B1(0,2,0),B 2(0,2,0),C1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及数学期望. 16．（2012年高考（江苏））设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=.(1)求概率(0)Pξ=;(2)求ξ的分布列,并求其数学期望()Eξ.17．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2 钟的概率.(注:将频率视为概率)18．（2012年高考（湖北理））根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.19．（2012年高考（广东理））(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)80,90、[]90,100.60,70、[)70,80、[)(Ⅰ)求图中x的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.20．（2012年高考（福建理））受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下:品甲乙牌首次出现故障时间x 年01x<≤12x<≤02x<≤轿车数量(辆) 2 345545每辆利润1 2 31.8(万元)将频率视为概率,解答下列问题:(I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;(II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X,生产一辆乙品1牌轿车的利润为X,分别求12,X X的分布列;2(III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.．．．．．．．．．) 21．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.22．（2012年高考（北京理））近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100可回收物 30 240 30其他垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2S 的值. (注:方差2222121[()()()]ns x x x x x x n=-+-++-,其中x 为12,,nx x x 的平均数)23．（2012年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n m+道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).2012年高考真题理科数学解析汇编：概率参考答案一、选择题 1.【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm,则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2, 由(12)32x x -<,解得48x x <>或.又012x <<,所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23,故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.2.考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πSS ,扇形OAB 面积π41=S ,选A. 3.解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位第8题图数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为51459=. 4.【答案】D 【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯,故选D【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.5.[解析])(2.0543211x x x x x E ++++=ξ=t ,2221(2.0x x E +=ξ+232x x ++243x x ++254x x ++215x x +)=t ,211)[(2.0t x D -=ξ+22)(t x-+23)(t x-+24)(t x-+25)(t x-] ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +++++-++++=;记1221x x x '=+,2232x x x '=+,,5215x x x '=+,同理得 2ξD ]5)(2)[(2.02543212524232221t t x x x x x x x x x x +'+'+'+'+'-'+'+'+'+'=, 只要比较2524232221x x x x x '+'+'+'+'与2524232221x x x x x++++有大小,])()()[(221232221412524232221x x x x x x x x x x x ++++++='+'+'+'+' )]22222()(2[155********52423222141x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++=)]()()()()()(2[21252524242323222221252423222141x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++++++<2524232221x x x x x ++++=,所以12ξξD D <,选A.[评注] 本题的数据范围够阴的,似乎为了与选项D 匹配,若为此范围面困惑,那就中了阴招!稍加计算,考生会发现1ξE 和2ξE 相等,其中的智者,更会发现第二组数据是第一组数据的两两平均值,故比第一组更“集中”、更“稳定”,根据方差的涵义,立得1ξD >2ξD 而迅即攻下此题.二、填空题 6.[解析] 设概率p=nk,则27232323=⋅⋅=C C Cn ,求k ,分三步:①选二人,让他们选择的项目相同,有23C种;②确定上述二人所选择的相同的项目,有13C 种;③确定另一人所选的项目,有12C 种. 所以18121323=⋅⋅=C C C k ,故p=322718=.7. 14158.【答案】35.【考点】等比数列,概率.【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8, ∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是63=105. 9.【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p = 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138pp p =⨯=三、解答题 10.【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)iA i =,则4412()()()33i i iiP A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==.(2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+=所以ξ的分布列为2482740811781随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点,近年来都通过概率问题来考查,且常考常新,对于此类考题,要注意认真审题,从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型,独立事件、互斥事件等概率模型求解,因此对概率型应用性问题,理解是基础,转化是关键..11.【解析】(1)当16n ≥时,16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=- 得:1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩(2)(i)X 可取60,70,80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======X的分布列为222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=(ii)购进17枝时,当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 76.476> 得:应购进17枝12.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点.(Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.35395(3)42C P X C ===;21543920(4)42C C P X C ===;12543915(5)42C C P X C ===;34392(6)42C P X C ===.故,所求X 的分布列为X 3 456P20104221= 1554214= 214221=(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为:E (X )=6413()3i i P X i =⋅==∑. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) 133. 13.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.解:设,kkA B 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中,则()13k P A =,()12kP B =, ()1,2,3k ∈ (1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,()()()()111211223P C P A P A B A P A B A B A =++ ()()()()()()()()()111211223P A P A P B P A P A P B P A P B P A =++2212112113323323⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113392727=++=(2)ξ的所有可能为:1,2,3由独立性知:()()()111121213323P P A P A B ξ==+=+⨯= ()()()2211211222112122323329P P A B A P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫==+=⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2211222113329P P A B A B ξ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上知,ξ有分布列从而,221131233999E ξ=⨯+⨯+⨯=(次) 14.[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分 (2)由题意,P(ξ=0)=10001101303=）（C P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C P(ξ=3)=10007291011101333=-）（）（C所以,随机变量ξ的概率分布列为:故随机变量X 的数学期望为:E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯ . [点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.15.解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:Y1 2 3 4 5 P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)===+==+== P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y=⨯+⨯+⨯=0.10.30.30.10.40.40.22(2)解法一X所有可能的取值为0,1,2X=对应第一个顾客办理业务所需的时间超0过2分钟,所以(0)(2)0.5==>=P X P YX=对应第一个顾客办理业务所需的时间为11分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟.所以(1)(1)(1)(2)===>+=P X P Y P Y P Y=⨯+=0.10.90.40.49X=对应两个顾客办理业务所需时间均为1 2分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01=====⨯=P X P Y P Y所以X的分布列为X0 1 2P0.5 0.49 0.01EX=⨯+⨯+⨯=00.510.4920.010.51解法二 X 所有可能的取值为0,1,2X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= (1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-== 所以X 的分布列为X1 2 P0.50.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=16.解析:(Ⅰ)367323141)31(43122=⋅⋅⋅+⋅=C P ;(Ⅱ)5,4,3,2,1,0=X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(1222=⋅===⋅===⋅==C X P X P X P ,1)2(3)5(,1)2(1)4(,1213)3(2212=⋅===⋅===⋅==X P X P C X PEX=0×361+1×121+2×91+3×31+4×91+5×31=12531241 .17.【答案及解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:由2×2列联表中数据代入公式计算,得:因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14,由题意, ,从而X 的分布列为:【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望()E X和方差()D X,考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键.18. . 【解析】解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有3 620C=种选法,选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有133412C C=种,因此V=0的概率123(0)205P V===(2)V的所有可能值为11240,,,,6333,因此V的分布列为V 0 16132343P120320 320 120由V 的分布列可得:EV=31113234190562032032032040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体,考查统计学中常见的数据特征:如平均数,中位数,频数,频率等或古典概型;二、以应用题为载体,考查条件概率,独立事件的概率,随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.19.【答案】解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有238C 对相交棱.∴232128834(0)=6611C P C ξ⨯===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1,的共有6对, ∴212661(6611P C ξ==,416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=---.∴随机变量ξ的分布列是:ξ1()P ξ411611111∴其数学期望616()=1=111111E ξ⨯+【考点】概率分布、数学期望等基础知识. 【解析】(1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率(0)P ξ=. (2)的共有6对,即可求出(P ξ=,从而求出(1)P ξ=(两条棱平行且距离为1和两条棱异面),因此得到随机变量ξ的分布列,求出其数学期望.20.【解析】(1)由已知,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),( 1.5),(2),10020100101004p X p X p X =========201101( 2.5),(3).100510010p X p X ====== X的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(Ⅱ)记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2 钟”,(1,2)iX i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间,则121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立,且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)( 1.5)( 1.5)(1)P A P X P X P X P X P X P X ==⨯=+=⨯=+=⨯=(333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=.故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为980.【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得该顾客结算前的等候时间不．超过．．2 钟的概率.21.考点分析:本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差.解析:(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=,(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=.(900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为:ABC D PEF图 ①G534于是,()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=;2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8. (Ⅱ)由概率的加法公式,(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=， 又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=. 由条件概率,得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.22.解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =. (Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====,()113921227916622C C P C ξ====,()20392123126622C C P C ξ====,所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.23.【考点定位】本题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识、考查必然与或然思想.解:(1)设“品牌轿车甲首次出现故障在保修期内”为事件A ,则231()5010P A +==. (2)依题意12,X X 的分布列分别如下:1X123p125350910(3)由(2)得1139()123 2.86255010E X =⨯+⨯+⨯=219() 1.8 2.9 2.791010E X =⨯+⨯=12()()E X E X >,所以应生产甲品牌的轿车.24.【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解,以及分布列和期望值的问题.首先要理解发球的具体情况,然后对于事件的情2X1.82.9p110910况分析、讨论,并结合独立事件的概率求解结论. 解:记iA 为事件“第i 次发球,甲胜”,i=1,2,3,则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===. (Ⅰ)事件“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++,由互斥事件有一个发生的概率加法公式得123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.352=.即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)由题意0,1,2,3ξ=.123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=; 123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.408;(2)0.352P ξ==;123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯= 所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+⨯+⨯=【点评】首先从试题的选材上来源于生活,同学们比较熟悉的背景,同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用,以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题.情景比较亲切,容易入手,但是在讨论情况的时候,容易丢情况.25.【考点定位】此题的难度集中在第三问,其他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.(1)由题意可知:4002=6003(2)由题意可知:200+60+403=100010(3)由题意可知:22221(120000)3sa b c =++-,因此有当600a =,0b =,0c =时,有280000s=.26.【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p = 随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)4P X n p ==-=,1(1)2(1)2P X n p p =+=-=,21(2)P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +。
2012年全国高考新课标卷数学试题分析
2012年全国高考新课标卷数学试题分析2012年高考已经结束，今年是河北省自2009年进入高中新课改以来的第一年高考，所以试题一直备受一线教师及考生的关注和期待。
一．总体分析2012年全国卷数学高考试题总体难度高于去年全国课标卷，学生需要更多的思考时间与更大的思考空间。
与去年全国课标卷数学试题结构相同，分值相同，依然遵循着“稳定、变化、改革、创新”的出题方针。
今年数学试卷命题按照考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平。
试题主要内容分布在函数（含导数）、不等式、数列、立体几何、解析几何、概率统计、三角等主干知识上，不刻意追求知识的覆盖面，如新增内容中函数的零点、二分法、幂函数、茎叶图、条件概率、全称命题与特称命题、合情推理与演绎推理、独立性检验等今年就没有涉及到。
而对支撑学科知识体系的重点知识，考查时保持了较高的比例，构成了数学试卷的主体。
如理科试卷中函数与导数知识约22分（文科27分），立体几何约17分（文科17分），圆锥曲线约22分（文科22分）三角知识约17分（文科17分），概率统计约17分（文科17分）不等式及其应用约15分（文科15分，含三选一），其余小的知识点，在理科试卷中：集合、排列组合、复数、算法、平面向量、推理与证明、等比数列各5分；文科试卷中类似，新增内容在全卷中所占比例较小（本次只考查了三视图、程序框图、相关关系（文科）），同时无创新题，这也体现了保稳定，做好新课标过渡的出题宗旨。
虽然今年考题总体来说难度高于去年课标卷难度，但相对还是比较平稳的，具有很高的可信度，出题遵循了考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”这一原则。
很多题目似曾相识，但又不完全相同，适度创新，更加体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。
2012年高考数学试题分类考点47 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合
考点47 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合一、选择题1. （2012·广东高考理科·Ｔ7）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ） (A)49 (B)13 (C)29 (D)19【解题指南】解本小题的关键是求出构成个位数与十位数之和为奇数的两位数有多少个.由于构成两位数的这两个数字必须是一奇一偶，因而必须分包含0和不包含0两类情况进行讨论.【解析】选D. 构成个位数与十位数之和为奇数的两位数的数字必须是一奇一偶.若含有0,则0必须在个位,有155C =个.若不含有0,则有11254240C C A =个,共有45个.所以所求事件的概率为51459P ==.2.（2012·北京高考理科·Ｔ6）从0，2中选一个数字.从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )(A)24 (B)18 (C)12 (D)6【解题指南】考虑特殊元素0，与特殊位置个位.如果选0，则0只能在十位.个位必须是奇数.【解析】选B.当从0，2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，十位百位全排列即可，共有21232212C C A =个.当选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，共有21326C C =个.综上，共有12+6=18个. 3.（2012·浙江高考理科·Ｔ6）若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）(A)60种 (B)63种 (C)65种 (D)66种【解题指南】分全是偶数，全是奇数，两奇两偶三种情况进行分类计数.【解析】选D.均为奇数时，有455C =种；均为偶数时，有441C =种；两奇两偶时，有224560C C ⋅=种，共有66种.4.（2012·陕西高考理科·Ｔ8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共 有（ ）(A)10种 (B)15种 (C)20种 (D)30种【解题指南】根据决出胜负这一条件，可以分两类情况：甲赢或乙赢（设两人分别为甲、乙），则计算一种情形后再乘以2即可.【解析】选C.一方赢，则只需要在5局中赢3局即可，有3510C =种情形，所以共有10220⨯=种情形.故选C.5.（2012·辽宁高考理科·Ｔ5）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )(A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！【解题指南】采取“捆绑法”，将每家“绑在一起”，看成3个元素，全排列；然后每家3口人，再各自全排列.【解析】选C. 分步完成，先将每家“绑在一起”，看成3个元素，全排列，共有333!A =种排法；然后每家3口人，再各自全排列，则有3333333(3!)A A A =种排法； 据分步乘法计数原理，共有333343333(3!)A A A A =种方法.6.（2012·安徽高考理科·Ｔ10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或4【解题指南】利用排列、组合知识求解.先算出每个人都进行交换的次数，再根据与实际的交换次数的差进行分类讨论.【解析】选D .设6位同学分别用a,b,c,d ，e,f 表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行26C 15=（次）交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：（1）由3人构成的2次交换，如a-b 和a-c 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b,c 两人.（2）由4人构成的2次交换，如a-b 和c-e 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a,b,c,e 四人，故选D.7.（2012·新课标全国高考理科·T2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）(A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种【解题指南】将4名学生均分成两组后与2名教师搭配到一起，再分配到甲、乙两地，利用排列组合知识与分步乘法计数原理求得安排方案的种数.【解析】选A.将4名学生均分为2个小组共有224222C C A 3=种分法；将2个小组的同学分给两名教师共有222A =种分法，最后将两个小组的人员分配到甲、乙两地有222A =种分法,故不同的安排方案共有32212⨯⨯=种.8.（2012·山东高考理科·Ｔ11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )（A ）232 (B)252 (C)472 (D)484【解题指南】利用间接法来求解.【解析】选C.从16张不同的卡片从中任取3张共有560123141516316=⨯⨯⨯⨯=C 种，其中有两张红色的有11224C C ⨯,其中三张卡片颜色相同的有434⨯C .所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为316C -11224C C ⨯-434⨯C =472种.二、填空题9.（2012·湖北高考理科·Ｔ13）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N +）位回文数有______个.【解题指南】本题考查排列与组合的内容,解答本题可转化为填方格,利用计数原理求解.【解析】（Ⅰ）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,中间两位一样,有10种填法,共计90种填法.(Ⅱ)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.结合计数原理知有 910n⨯种填法.【答案】（Ⅰ）90 （Ⅱ）910n ⨯。
高考数学试题解析 分项版之专题12 概率 教师版 文
2012年高考数学试题解析 分项版之专题12 概率 教师版 文一、选择题:1.（2012年高考辽宁卷文科11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 (A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 452．(2012年高考北京卷文科3)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π-【答案】D3. (2012年高考湖北卷文科10)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.112π- B. 1π. C. 21π- D. 2π4.（2012年高考安徽卷文科10） 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ）（A ）15 （B ）25 （C ） 35 （D ）45【答案】B法二：（列举法）不妨记1个红球，2个白球和3个黑球记为112123,,,,,a b b c c c ，则从袋中任二、填空题:5. （2012年高考江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【考点定位】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.6. (2012年高考浙江卷文科12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________。
高考试卷中“统计与概率”试题的比较分析——以2012年、2013年理科
数学思想等方面的考查上 ， 都存在着一定 的
差异． 因此 ， 比较分 析试 题对 教学 和研 究有 十 分 重要 的意义 ．
为探究高考试卷中“ 统计与概率” 方面试 题的规律和特点， 给教 学和高考复习提供 良 好 的建议和指导， 已有的研究者们从不同的 视角对 此进 行 了相 关 研 究 ， 取 得 了一定 的研 究 结果 ． 其 主要特 点 ： 一是研 究课 程改 革后 的
１ ８ 题， 以商 业 为背景 将 函数 和 “ 统 计 与概 率” 结 合在 一起 ， 对 函数思 想及 模型 、 离散 型随机
２ ２
数学教学研 究
第 ３ ４ 卷第 １ ２期
２ ０ １ ５ 年 １ ２月
高考试卷中“ 统计与概率” 试题的 比较分析
— —
以２ ０ １ ２年 、 ２ ０ １ ３年理科试 卷为例
张定强 ， 曹 雪， 蒋会 兵
（ 西北 师范大学 教育学 院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
容和试题呈现的规律及特点 ， 并结合具体案 例进行 了分析［ １ ］ ； 二是针对某一年某一套试 卷中， 从知识考点的角度对试题进行解析 ， 总 结所考 查 的重 难 点Ｌ ２ ； 三 是 对 某 一 年 的 所有 高 考试题 ， 从分 值 、 题型 、 知 识 考 点 等 进 行统
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ９ — ２ １
２
６
２ ３ １ ４ ７ ６ ５
５ ５
１ Ｏ ２ ７ ０ ０
１ ９
１ Ｏ ６
１
１ ８ ２
２
教育背景
体 育 背 景 商 业 背 景
总 计
２
２ １
2012年高考数学试题分析及2013届高考备考建议--概率与统计
（A）
6 5
(B) 6 5
(C)
2
(D) 2
2010 理科(20)（本小题满分 12 分） 某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A , B , C , D 四个问题，规则如下：① 每位参加者计分器的初始分均为 10 分， 答对问题 A , B , C , D 分别加 1 分， 分， 分， 2 3 6 分，答错任意题减 2 分； ②每答一题，计分器显示累计分数，当累积分数小于 8 分时，答题结束， 淘汰出局；当累积分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；答完四题 累计分数不足 14 分时，答题结束淘汰出局； ③每位参加者按 A , B , C , D 顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题 A , B , C , D 回答正确的概率依次为 3 , 1 , 1 , 1 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4 2 3 4 （Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用 表示甲同学本轮答题的个数，求 的分布列和数学期望 E .
1 2
求 q 的值； 求随机变量 的数学期量 E ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大 小。
2
(2010 理科(5)已知随机变量 服从正态分布 N (0, ) ,若 P ( 2) 0.023 ，则 P ( 2 ≤ ≤ 2) (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977 (2010 理科（6）样本中共有 5 个个体，其值分别为 a , 0,1, 2, 3 .若该样本的平均值为 1，则样本方差为
文科数学近三年考查情况汇总
考点 知识点
随机抽样 统计与统 计案 例 用样本估计总体 独立性检验 回归分析 古典概型 几何概型 第１９题 第11题 第１９题 第7题 第18题 ２００９ 文科 第１９题 第１９题 第６题 ２０１０ 文科 ２０１１ 文科
2012年高考试题解析数学(文科)分项版之专题13 统计
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题13 统计一、选择题1、(2012年高考山东卷文科4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数(B)平均数(C)中位数(D)标准差2、(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）113、(2012年高考湖南卷文科5)设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关$y=0.85x-85.71，则系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为下列结论中不正确．．．的是A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x，y）C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4、(2012年高考湖北卷文科2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( )A 0.35B 0.45C 0.55D 0.655、(2012年高考四川卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）6、(2012年高考陕西卷文科3) 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ A ） A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，537、(2012年高考江西卷文科6)小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A.30％B.10％C.3％D.不能确定8、（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1二、填空题9、(2012年高考湖南卷文科13)图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)10、(2012年高考山东卷文科14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿.::，现用分层抽样的方法从该11、（2012年高考江苏卷2）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．12、(2012年高考广东卷文科13)由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。
高考数学 13 统计试题解析 教师版 文
2012年高考试题解析数学（文科）分项版之专题13 统计--教师版一、选择题:1.（2012年高考新课标全国卷文科3）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）12. (2012年高考山东卷文科4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差3．(2012年高考北京卷文科8)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 【答案】C【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C. 4. (2012年高考湖南卷文科5)设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5. (2012年高考湖北卷文科2) 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.656.(2012年高考四川卷文科3)交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同地分配方案共有( )A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【结果】C思路：依据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有25C 种选法。
然后连同其余三人,看成四个圆素,四个项目看成四个不同地位置,四个不同地圆素在四个不同地位置地排列方式数有4！种,依据乘法原理,完成这件事,共有254!240C ⨯=种不同地分配方案,故选：C ．【点睛】本题考查排列组合地应用问题,属基础题,关键是首先确定人数地分配情况,然后利用先选后排思想求解．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)25()()x x y xy ++地展开式中x 3y 3地系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【结果】C【思路】5()x y +展开式地通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭地各项与5()x y +展开式地通项地乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中,令3r =,可得：33345xT C x y =,该项中33x y 地系数为10,在42152r r r r T C x x y y -++=中,令1r =,可得：521332T C y x xy =,该项中33x y 地系数为5所以33x y 地系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式地通项公式,还考查了赋值法，转化能力及思路能力,属于中档题．3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)24121x x ++()()地展开式中3x 地系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24【结果】A【思路】因为2442412112=1x x x x x +++++()()()(),所以3x 地系数为314424812C C +=+=,故选A ．【点评】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项地系数,是常规考法。
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■ｒ１，－
，Leabharlann 锤ｃ 镬ｃ Ｃ 图 ３ 图 ４ 图 ５
例 １ （ ２ ０ １ ２年北 京 卷 ）从 ０ ， ２中选 一个 数 字 ，
从 １ ， ３ ， ５中选 ２ 个 数 字组 成 无重 复 数 字 的 三位 数 ， 其
中奇数 的个数 为 （
Ａ ２ ４ ；
纪念 品 （ 图４ ） ， 则 收到 ４份 纪 念 品 的 同学 （ Ｂ、 Ｃ） 人 数 为 ２ ；
对 于计 数原 理 的考 查 ， 主 要 考 查 ２个 基 本 原 理 、
若 在 ４个人 之 间 ， 不妨 设 仅 有 Ａ 与 Ｃ， Ｂ 与 Ｄ 没
交 换 纪念 品 （ 图５ ） ， 则收 到 ４份 纪念 品 的同学 （ Ａ、 Ｂ、 Ｃ 与 Ｄ） 人数 为 ４ ．
同 的安 排方 案共 有 （
Ａ １ ２；
） 种．
Ｃ ９； Ｄ ８
Ｂ １ ０；
法１ 按 照“ 先 分 组再 分 配 ” 原则 ， 先 把 ４名
学生 分 给 甲、 乙两地 ， 再对 ２名教 师所 在 的 ２
个位置全排列， 得． Ｃ ＿ ； ２ Ｃ ２ × Ａ ； × Ａ ￣ ＝１ ２ 种
） ．
Ｃ １ ２ ； Ｄ ６
彝麦
样 既条理 清 晰 ， 又 节约 时 间．
■ ，＇ ，
篓 龛
Ｂ １ ８ ；
中分 步） ” ， 二抓 关键 （ “ 交换” 的几何 解 释） ． 特 别指 出 ： 做 题 时， 应 画 出与题 意 等价 的简 图 ！一边 在 想象 中操 作， 一边在 图 中作 些标记 和 计数 ， 可不 必详 写 过程． 这
一
◇
北 京
董
武
次， 进行 交 换 的两 位 同学 互 赠 一 份 纪 念 品． 已知 ６ ） ． Ｂ １或 ４ ；
位 同学之 间共 进 行 了 １ ３次 交 换 ， 则 收 到 ４份 纪 念 品 计 数原 理 、 统计 与概 率 是 高考 必 考 内容 ， 其 中， 概 率 中离 散 型随机 变量 及其 分 布 列 、 数学 期 望 和方 差 问 题在 ２ ０ １ ２年 多数 省 市 的试 卷 中是 解答 题 ； 计数原理 、 统 计 问题 在试 卷 中多 是 选 择 题 或 填 空 题 ， 但小题 （ 分 值少） 不小 （ 难 度可 不小 ） ． 纵 观这 些试 题 ， 均 是 以实 际 问题 为 载 体 ， 全 面 考 查 计数 原理 、 统计 与 概率 的 知识 及 相关 的诸 多数 学 思 想和方 法 ， 如 分类 整 合 、 函数 与 方 程 、 数形结合 、 模 式
．
法 ２ 按 照“ 边分（ 分组） 边给（ 分配 ） ” 的原 则分 两
人 生 不 是 一 种 享 乐 ， 而 是 一 桩 十 分 沉 重 的 工 作
卟９
步， 甲地逐 步选 取 １名教 师和 ２ 名 学生 ． 有（ Ｃ ｉ ） （ Ｃ Ｃ ； ） 一１ ２种 ．
识 别等 ． １ 对 于计 数原 理 的考查
斩
的 同学人数 为 （ Ａ １或 ３ ；
Ｃ ２或 ３ ；
Ｄ ２或 ４ 所 以有 ２组 同学 未交 换 ． 如
因为 ６ 位 同学 共 有 ｃ ｉ ：１ ５次 交换 ， 而ｃ ； 一
１ ３ ＝１ ５ －１ ３ ＝２
，
图３ ， 用 正六边 形表 示 ６位 同学 的交 换情况 ， 顶 点表 示 ６位 同学 ， 实线 表示 二人交 换 ， 虚线表 示二人 未交 换． 若 在 ３个人 之 间 ， 不 妨 设 仅有 Ａ 与 Ｂ、 Ｃ未 交 换
例３ （ ２ ０ １ ２年全 国新课 标 卷）将 ２ 名 教师 ， ４名 学 生分 成 ２个 小 组 ， 分 别 安 排 到 甲、 乙两 地 参 加 社 会
实 践 活动 ， 每 个 小 组 由 １名 教 师 和 ２名 学 生 组 成 ， 不
开始 分 析 （ ３种 选择 ） ， 然 后是 十 位 （ ２种 选 择 ） ， 最 后 是 百位 （ ２种 选 择 ） ， 共 １ ２种 ； 如果是第二种情 况“ 偶 奇 奇” ： 首先 是个 位 （ ３ 种情况） ， 然 后 是 十位 （ ２种情 况 ） ， 最后 是 百 位 （ 不 能是 ０ ， １种 情 况 ） ， 共 ６种． 因此 总 共 １ ８种情 况． 故选 Ｂ ． 间接 法 ： 从 ０ ， ２中选 一 个 数 字 ， 从 １ ， ３ ， ５中选 ２ 个 数字 组 成无 重复 数字 的 三位 排 列 数 ， 减 去末 位 为 偶 数或 首 位 为 ０的 三 位 排 列 数 ， 共有 Ｃ ！ Ｃ ； Ａｉ — Ａｉ — Ｃ ； Ａ； ＝１ ８种 ．
题 蓄 目 塞 要 求 组 成Ｌ 臣 一 ＝ 圃 臣 ＿ 二
三位 奇 数 ， 那 么 对 于 此 图１ 图２ 三位 数 可 以分 成 两 种 情 况 ： 奇偶奇 （ 如图 １ ） ； 偶 奇 奇
（ 如图 ２ ） ． 如 果是 第一 种 “ 奇偶 奇” 的情况 ， 可 以从 个 位
彝 麓意
步， 正难 则反” ， 并 能 充分 识别 排 列 、 组合 数 公 式 中所 蕴含 的算法 思想． 要注 意 ： 同类 元 素一 次取 ， 不 同类元 素分 步取 以及 先选 后排 的策 略．
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例２ （ ２ ０ １ ２年 安 徽 卷 ）６位 同学 在 毕 业 聚会 活 动 中进 行 纪念 品的交 换 ， 任 意 两 位 同学之 间最 多交 换
排 列 与组合 的相 关 知识．在解决 这类 问题 时 ， 常常 “ 有
图用 图” 和“ 无 图想 图” ， 合 理 运 用 几 何 图示 法 直 观 解 决． 二项 式定 理 的考 查 ， 主要 涉及 利 用 通 项 公 式 求 展 开式 的特定 项 的 问题 ， 如求 系数 或 系数 的 相关 问 题 ， 或进 行 近似计 算 ， 或解 决整 除 问题． 题 型 以选 择 、 填 空