高考物理电磁感应现象的两类情况-经典压轴题

高考物理电磁感应现象的两类情况-经典压轴题
一、电磁感应现象的两类情况
1．如图所示，光滑的长平行金属导轨宽度d=50cm ，导轨所在的平面与水平面夹角θ=37°，导轨上端电阻R=0.8Ω，其他电阻不计．导轨放在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.4T ．金属棒ab 从上端由静止开始下滑，金属棒ab 的质量m=0.1kg ．（sin37°=0.6，g=10m/s 2）
（1）求导体棒下滑的最大速度；
（2）求当速度达到5m/s 时导体棒的加速度；
（3）若经过时间t ，导体棒下滑的垂直距离为s ，速度为v ．若在同一时间内，电阻产生的热与一恒定电流I 0在该电阻上产生的热相同，求恒定电流I 0的表达式（各物理量全部用字母表示）．
【答案】（1）18.75m/s （2）a=4.4m/s 2
（32
22mgs mv Rt
【解析】
【分析】根据感应电动势大小与安培力大小表达式，结合闭合电路欧姆定律与受力平衡方程，即可求解；根据牛顿第二定律，由受力分析，列出方程，即可求解；根据能量守恒求解；
解：（1）当物体达到平衡时，导体棒有最大速度，有：sin cos mg F θθ= ， 根据安培力公式有： F BIL =， 根据欧姆定律有： cos E BLv I R R
θ==， 解得： 222
sin 18.75cos mgR v B L θ
θ
=
=； （2）由牛顿第二定律有：sin cos mg F ma θθ-= ， cos 1BLv I A R
θ
=
=， 0.2F BIL N ==， 24.4/a m s =；
（3）根据能量守恒有：22012
mgs mv I Rt =
+ ， 解得： 2
02mgs mv I Rt -=
2．如图所示，在倾角30o θ=的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等、方向分别垂直斜面向上和垂直斜面向下的匀强磁场，两磁场宽度均为L 。

一质量为m 、边长为L 的正方形线框距磁场上边界L 处由静止沿斜面下滑，ab 边刚进入上侧磁场时，线框恰好做匀速直线运动。

ab 边进入下侧磁场运动一段时间后也做匀速度直线运动。

重力加速度为g 。

求：
（1）线框ab 边刚越过两磁场的分界线ff′时受到的安培力； （2）线框穿过上侧磁场的过程中产生的热量Q 和所用的时间t 。

【答案】(1)安培力大小2mg ，方向沿斜面向上(2)4732mgL Q = 7
2L
t g
= 【解析】 【详解】
(1）线框开始时沿斜面做匀加速运动，根据机械能守恒有
2
1sin 302
mgL mv ︒=
， 则线框进入磁场时的速度
2sin30v g L gL =︒=
线框ab 边进入磁场时产生的电动势E =BLv 线框中电流
E I R
=
ab 边受到的安培力
22B L v
F BIL R
== 线框匀速进入磁场，则有
22sin 30B L v
mg R
︒= ab 边刚越过ff '时，cd 也同时越过了ee '，则线框上产生的电动势E '=2BLv 线框所受的安培力变为
22422B L v
F BI L mg R
==''=
方向沿斜面向上
（2）设线框再次做匀速运动时速度为v '，则
224sin 30B L v mg R
︒=
'
解得
4v v =
'=根据能量守恒定律有
2211
sin 30222
mg L mv mv Q ︒'⨯+=+
解得4732
mgL
Q =
线框ab 边在上侧磁扬中运动的过程所用的时间1L t v
=
设线框ab 通过ff '后开始做匀速时到gg '的距离为0x ，由动量定理可知：
22sin 302mg t BLIt mv mv ︒-='-
其中
()022BL L x I t R
-=
联立以上两式解得
()02432L x v t v
g
-=
-
线框ab 在下侧磁场匀速运动的过程中，有
00
34x x t v v
='=
所以线框穿过上侧磁场所用的总时间为
123t t t t =++=
3．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 倾斜放置，两导轨间距离为L ，导轨平面与水平面间的夹角θ，所处的匀强磁场垂直于导轨平面向上，质量为m 的金属棒
ab 垂直于导轨放置，导轨和金属棒接触良好，不计导轨和金属棒ab 的电阻，重力加速度为g ．若在导轨的M 、P 两端连接阻值R 的电阻，将金属棒ab 由静止释放，则在下滑的
过程中，金属棒ab 沿导轨下滑的稳定速度为v ，若在导轨M 、P 两端将电阻R 改接成电容为C 的电容器，仍将金属棒ab 由静止释放，金属棒ab 下滑时间t ，此过程中电容器没
有被击穿，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小为多少？ （2）金属棒ab 下滑t 秒末的速度是多大？ 【答案】（1）2sin mgR B L v
θ=2）sin sin t gvt v v CgR θθ=+ 【解析】
试题分析：（1）若在M 、P 间接电阻R 时，金属棒先做变加速运动，当加速度为零时做匀速运动，达到稳定状态．则感应电动势E BLv =，感应电流E
I R
=
，棒所受的安培力F BIL =
联立可得22B L v
F R
=，由平衡条件可得F mgsin θ=，解得2
mgRsin B L v θ （2）若在导轨 M 、P 两端将电阻R 改接成电容为C 的电容器，将金属棒ab 由静止释放，产生感应电动势，电容器充电，电路中有充电电流，ab 棒受到安培力． 设棒下滑的速度大小为v '，经历的时间为t 则电容器板间电压为 U E BLv ='=
此时电容器的带电量为
Q CU = 设时间间隔△t 时间内流经棒的电荷量为Q
则电路中电流
Q C U CBL v i t t t ∆∆∆===∆∆∆，又v
a t
∆=∆，解得i CBLa = 根据牛顿第二定律得mgsin BiL ma θ-=，解得22mgsin gvsin a m B L C v CgRsin θθ
θ
=
=++
所以金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，ts 末的速度gvtsin v at v CgRsin θ
θ
'==
+．
考点：导体切割磁感线时的感应电动势；功能关系；电磁感应中的能量转化
【名师点睛】本题是电磁感应与电路、力学知识的综合，关键要会推导加速度的表达式，通过分析棒的受力情况，确定其运动情况．
4．如图1所示，在光滑的水平面上，有一质量m =1kg 、足够长的U 型金属导轨abcd ，间距L =1m 。

一电阻值0.5ΩR =的细导体棒MN 垂直于导轨放置，并被固定在水平面上的两立柱挡住，导体棒MN 与导轨间的动摩擦因数0.2μ=，在M 、N 两端接有一理想电压表（图中未画出）。

在U 型导轨bc 边右侧存在垂直向下、大小B =0.5T 的匀强磁场（从上向
下看）；在两立柱左侧U 型金属导轨内存在方向水平向左，大小为B 的匀强磁场。

以U 型导轨bc 边初始位置为原点O 建立坐标x 轴。

t =0时，U 型导轨bc 边在外力F 作用下从静止开始运动时，测得电压与时间的关系如图2所示。

经过时间t 1=2s ，撤去外力F ，直至U 型导轨静止。

已知2s 内外力F 做功W =14.4J 。

不计其他电阻，导体棒MN 始终与导轨垂直，忽略导体棒MN 的重力。

求：
（1）在2s 内外力F 随时间t 的变化规律； （2）在整个运动过程中，电路消耗的焦耳热Q ；
（3）在整个运动过程中，U 型导轨bc 边速度与位置坐标x 的函数关系式。

【答案】（1）2 1.2F t =+；（2）12J ；（3）2v x =0≤x ≤4m ）；
6.40.6v x =-324m m 3x ⎛
⎫≤< ⎪⎝
⎭；v =0（32m 3x ≥）
【解析】 【分析】 【详解】
（1）根据法拉第电磁感应定律可知：
U BLv kt t ===
得到：
2U v t BL
==
根据速度与时间关系可知：
22m/s a =
对U 型金属导轨根据牛顿第二定律有：
F IBL IBL ma μ--=
带入数据整理可以得到：
2 1.2F t =+
（2）由功能关系，有
f W Q W =+
由于忽略导体棒MN 的重力，所以摩擦力为：
A f F μ=
则可以得到：
f
A Q W
W μμ==
则整理可以得到：
(1)f W Q W Q μ=+=+
得到：
Q=12J
（3）设从开始运动到撤去外力F 这段时间为1
2s t
=，这段时间内做匀加速运动；
①1t t 时，根据位移与速度关系可知：
v ==1t t =时根据匀变速运动规律可知该时刻速度和位移为：
14m/s v = 14m x =
②1t t >时，物体做变速运动，由动量定理得到：
1(1)BL q mv mv μ-+∆=-
整理可以得到：
2211(1)(1)(4)
6.40.6BL q B L x v v v x m mR
μμ+∆+-=-==--
当32
3
x m =
时： 0v =
综合上述，故bc 边速度与位置坐标x 的函数关系如下：
v =0≤x≤4m ）
6.40.6v x =-324m m 3x ⎛
⎫≤< ⎪⎝
⎭
0v =（32
m 3
x ≥）
5．如图所示空间存在有界匀强磁场，磁感应强度B =5T ，方向垂直纸面向里，上下宽度为d =0.35m.现将一边长L =0.2m 的正方形导线框自磁场上边缘由静止释放经过一段时间，导线框到达磁场下边界，之后恰好匀速离开磁场区域.已知导线框的质量m =0.1kg ，电阻
2R =Ω.（g 取10m/s 2)求:
（1）导线框匀速穿出磁场的速度； （2）导线框进入磁场过程中产生的焦耳热；
（3）若在导线框进入磁场过程对其施加合适的外力F 则可以使其匀加速地进入磁场区域，且之后的运动同没施加外力F 时完全相同。

请写出F 随时间t 变化的函数表达式. 【答案】(1)2m/s (2)0.15J (3)F =0.75-1.25t (0<t <0.4s) 【解析】 【详解】
（1）导线框匀速穿出磁场过程中，感应电动势： E BLv =
感应电流：BLv
I R
=
, 线框受到的安培力：22=B L v
F BIL R =安培
线框匀速穿出磁场，由平衡条件得：22g B R
m L v
=
解得：v =2m/s
（2）自导线框刚要进入磁场至刚要离开磁场的过程中，仅进人磁场过程中有焦耳热产生，由能量守恒得：2
12
mgd mv Q =+ 得：Q =0.15J
（3）导线框刚好完全进入磁场至刚好要离开磁场的过程
()22
02v v g d L -=-
得：导线框刚好完全进入磁场的速度v 0=1m/s
导线框进入磁场的过程由2
02v aL =
得：a =2.5m/s 2
2012
L at =
得：t 0=0.4s
取向下为正方向有：22'
'B L v mg F mav at R
--==
得：F =0.75-1.25t (0<t <0.4s)
6．如图所示，在倾角θ=10°的绝缘斜面上固定着两条粗细均匀且相互平行的光滑金属导轨DE 和GH ，间距d =1m ，每条金属导轨单位长度的电阻r 0=0.5Ω/m ，DG 连线水平，且DG 两端点接了一个阻值R =2Ω的电阻。

以DG 中点O 为坐标原点，沿斜面向上平行于GH 方向建立x 轴，在DG 连线沿斜面向上的整个空间存在着垂直于斜面向上的磁场，且磁感应强度大小B 与坐标x 满足关系B =（0.6+0.2x ）T ，一根长l =2m ，电阻r =2Ω，质量m =0.1kg 的粗细均匀的金属棒MN 平行于DG 放置，在拉力F 作用下以恒定的速度v =1m/s 从x =0处沿x 轴正方向运动，金属棒与两导轨接触良好。

g 取10m/s 2，sin10°=0.18，不计其它电阻。

（提示：可以用F -x 图象下的“面积”代表力F 所做的功）求： (1)金属棒通过x =1m 处时的电流大小； (2)金属棒通过x =1m 处时两端的电势差U MN ； (3)金属棒从x =0到x =2m 过程中，外力F 做的功。

【答案】(1)0.2A ；(2)1.4V ；(3)0.68J 【解析】 【分析】 【详解】
(1)金属棒连入电路部分产生的感应电动势为
11(0.60.21)11V=0.8V E B dv ==+⨯⨯⨯
根据闭合电路欧姆定律可得电流大小
1
10
0.2A
2E I d R r xr l
=
=++ (2)解法一：根据欧姆定律可得金属棒通过1m x =处时两端的电势差
101(2)() 1.4V MN U I R xr B l d v =++-=
解法二：根据闭合电路欧姆定律可得金属棒通过1m x =处时两端的电势差
11
1
(0.60.21)210.22V 1.4V 2
MN d U B lv I r l =-=+⨯⨯⨯-⨯⨯= (3)金属棒做匀速直线运动，则有
sin F mg BdI θ=+
其中
0(0.60.2)
11
A 0.2A
32Bdv x I d x R r xr l
+⨯⨯=
==+++ 可得
0.300.04F x =+
金属棒从x =0到x =2m 过程中，外力F 做的功
0.300.38
2J 0.68J 2
W Fx +==⨯=
7．如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.5T .在匀强磁场区域内，有一对光滑平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距L ＝1m ，电阻可忽略不计．质量均为m ＝lkg ，电阻均为R ＝2.5Ω的金属导体棒MN 和PQ 垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好．先将PQ 暂时锁定，金属棒MN 在垂直于棒的拉力F 作用下，由静止开始以加速度a ＝0.4m /s 2向右做匀加速直线运动，5s 后保持拉力F 的功率不变，直到棒以最大速度v m 做匀速直线运动.
(1)求棒MN 的最大速度v m ；
(2)当棒MN 达到最大速度v m 时，解除PQ 锁定，同时撤去拉力F ，两棒最终均匀速运动.求解除PQ 棒锁定后，到两棒最终匀速运动的过程中，电路中产生的总焦耳热.
(3)若PQ 始终不解除锁定，当棒MN 达到最大速度v m 时，撤去拉力F ，棒MN 继续运动多远后停下来?（运算结果可用根式表示）
【答案】（1）25m /s m v = （2）Q =5 J （3）5m x = 【解析】 【分析】 【详解】
(1)棒MN 做匀加速运动，由牛顿第二定律得：F -BIL =ma 棒MN 做切割磁感线运动，产生的感应电动势为：E =BLv 棒MN 做匀加速直线运动，5s 时的速度为：v =at 1=2m/s 在两棒组成的回路中，由闭合电路欧姆定律得：2E I R
=
联立上述式子，有：222B L at
F ma R
=+
代入数据解得：F =0.5N
5s 时拉力F 的功率为：P =Fv 代入数据解得：P =1W
棒MN 最终做匀速运动，设棒最大速度为v m ，棒受力平衡，则有：
0m m
P
BI L v -= 2m
m BLv I R
=
代入数据解得
:m v =
(2)解除棒PQ 后，两棒运动过程中动量守恒，最终两棒以相同的速度做匀速运动，设速度大小为v ′，则有：2m mv mv '=
设从PQ 棒解除锁定，到两棒达到相同速度，这个过程中，两棒共产生的焦耳热为Q ，由能量守恒定律可得：2211
222
m Q mv mv '=-⨯ 代入数据解得：Q =5J ；
(3)棒以MN 为研究对象，设某时刻棒中电流为i ，在极短时间△t 内，由动量定理得：-BiL △t =m △v
对式子两边求和有：()()m BiL t m v ∑-∆=∑∆ 而△q =i △t
对式子两边求和，有:()q i t ∑∆=∑∆ 联立各式解得：BLq =mv m ， 又对于电路有：2E q It t R
==
由法拉第电磁感应定律得：BLx
E t
= 又2BLx
q R
=
代入数据解得：x =
8．如图所示，在倾角为37︒的光滑斜面上存在两个磁感应强度均为B 的匀强磁场区域。

磁场Ⅰ的方向垂直于斜面向下，其上下边界'AA 与DD'的间距为H 。

磁场H 的方向垂直于斜面向上，其上边界'CC 与'DD 的间距为h 。

线有一质量为m 、边长为L （h <L <H ）、电阻为R 的正方形线框由'AA 上方某处沿斜面由静止下滑，恰好能匀速进入磁场Ⅰ。

已知当cd 边刚要进入磁场Ⅱ的前一瞬间，线框的加速度大小为10.2a g =，不计空气阻力，求： (1)cd 边刚到达'AA 时的速度1v ；
(2)cd 边从'AA 运动到'CC 过程中，线框所产生的热量Q ； (3)当cd 边刚进入磁场H 时，线框的加速度大小2a 。

【答案】(1)12235mgR v B L =(2)322
44
3()2525mg H h m g R Q B L
+=-(3)2a g =- 【解析】 【分析】 【详解】
(1)cd 边刚到达'AA 时有
221
sin 37B L v mg R
︒
= 解得
122
35mgR
v B L =
(2)已知当cd 边刚要进入磁场Ⅱ的前一瞬间，由牛顿第二定律得
222
1sin 37B L v mg ma R
︒
-=
解得
22225mgR v B L
=
由能量守恒得
2
21()sin 372
mg H h Q mv ︒+=+
解得
322
44
3()2525mg H h m g R Q B L +=-
(3)当cd 边刚进入磁场II 时，ab ，cd 两边分别在两磁场中切割磁感线，则有此时线圈中的电动势变为只有cd 切割时的两倍，电流也为两倍，由左手定则可知，ab ，cd 两边受的安培力相同，方向沿斜面向上，线圈此时受的安培力变为原来的4倍，则有
222
2sin 374B L v mg ma R
︒
-=
解得
2a g =-。

9．如图，两根相距l ＝0.4m 、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R ＝0.15Ω的电阻相连．导轨x ＞0一侧存在沿x 方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k ＝0.5T/m ，x ＝0处磁场的磁感应强度B 0＝0.5T ．一根质量m ＝0.1kg 、电阻r ＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直．棒在外力作用下从x ＝0处以初速度v 0＝2m/s 沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变．求：
(1)同路中的电流；
(2)金属棒在x ＝2m 处的速度；
(3)金属棒从x ＝0运动到x ＝2m 过程中安培力做功的大小； (4)金属棒从x ＝0运动到x ＝2m 过程中外力的平均功率． 【答案】(1)2(2)(3)1.6(4)0.71 【解析】 【分析】 【详解】
（1）因为运动过程中电阻上消耗的功率不变，所以回路中电流不变，感应电动势不变 x ＝0处导体棒切割磁感线产生电动势
电流
（2） x ＝2m 处
解得
（3）
F-X 图像为一条倾斜的直线，图像围成的面积就是二者的乘积即 x ＝0时，F=0．4N x ＝2m 时，F=1．2N
（4） 从x ＝0运动到x ＝2m ，根据动能定理
解得
解得
所以
【点睛】
（1）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律相结合，来计算感应电流的大小；（2）由因棒切割产生感应电动势，及电阻的功率不变，即可求解；（3）分别求出x=0与x=2m 处的安培力的大小，然后由安培力做功表达式，即可求解；（4）依据功能关系，及动能定理可求出外力在过程中的平均功率．
10．如图，两根相距l =0.4m 的平行金属导轨OC 、O ′C ′水平放置。

两根导轨右端O 、O ′连接着与水平面垂直的光滑平行导轨OD 、O ′D ′，两根与导轨垂直的金属杆M 、N 被放置在导轨上，并且始终与导轨保持保持良好电接触。

M 、N 的质量均为m =0.2kg ，电阻均为R =0.4Ω，N 杆与水平导轨间的动摩擦因数为μ=0.1。

整个空间存在水平向左的匀强磁场，磁感应强度为B =0.5T 。

现给N 杆一水平向左的初速度v 0=3m/s ，同时给M 杆一竖直方向的拉力F ，使M 杆由静止开始向下做加速度为a M =2m/s 2的匀加速运动。

导轨电阻不计，（g 取10m/s 2）。

求：
(1)t =1s 时，N 杆上通过的电流强度大小；
(2)求M 杆下滑过程中，外力F 与时间t 的函数关系；（规定竖直向上为正方向） (3)已知N 杆停止运动时，M 仍在竖直轨道上，求M 杆运动的位移；
(4)在N 杆在水平面上运动直到停止的过程中，已知外力F 做功为﹣11.1J ，求系统产生的总热量。

【答案】（1）0.5A （2）F=1.6﹣0.1t （3）7.84m （4）2.344J 【解析】 【详解】 (1)M 杆的速度：
21m/s 2m/s M v a t ==⨯=
感应电流：
0.50.420.5A A 2220.4
E BLv I R R ⨯⨯=
===⨯ (2)对M 杆，根据牛顿第二定律：
M mg F BIl ma --=
M v a t =
整理得：
2M M Bla t
F mg ma B l R
=--⨯
⨯ 解得：
1.60.1F t =-
(3)对N 杆，由牛顿第二定律得：
()2M N Bla t
mg B l ma R
μ+⨯
⨯= 可得：
222M N B l a t
a g mR
μ=+
解得：
10.05N a t =+
可做N a t -图
可得：
0001(10.05[)]v t t =++
解得：
0 2.8s t =
位移：
22011
2 2.87.84m 2m 2
M s at =
=⨯⨯= (4)对M 杆，则有：
21
02
M F M mgS W W mv ++=
-安 解得：
1.444J I W Q ==安
对N 杆，则有：
22011
0.23J 0.9J 22
f W mv =
=⨯⨯= 总热量：
1.4440.9J
2.344J I f Q Q W =+=+=总
11．如图所示，水平面上有一个高为d 的木块，木块与水平面间的动摩擦因数为μ=0.1．由均匀金属材料制成的边长为2d 、有一定电阻的正方形单匝线框，竖直固定在木块上表面，它们的总质量为m ．在木块右侧有两处相邻的边长均为2d 的正方形区域，正方形底边离水平面高度为2d ．两区域各有一水平方向的匀强磁场穿过，其中一个方向垂直于纸面向里，另一个方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ中的磁感应强度为区域Ⅰ中的3倍．木块在水平外力作用下匀速通过这两个磁场区域．已知当线框右边MN 刚进入Ⅰ区时，外力大小恰好为0320
F g m =
，此时M 点电势高于N 点，M 、N 两点电势差U MN =U ．试求：
（1）区域Ⅰ中磁感应强度的方向怎样？
（2）线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中通过线框任一横截面的电量q ． （3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，拉力的大小F ． （4）MN 在Ⅱ区运动过程中拉力做的功W ．
【答案】（1）向外 （2）340mgd q U = （3）
4750mg （4）47
25
mgd 【解析】 【详解】
（1）因为线框从左向右匀速通过这两个磁场区域，所以拉力方向向右，安培力方向向左。

因为M 点电势高于N 点，由右手定制可判断区域Ⅰ中磁感应强度的方向向外。

（2）设线框的总电阻为R ，磁场Ⅰ区的磁感强度为B ，线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中有一半长度切割磁感线产生感应电动势，有
Bdv I R
R
ε
=
=
，33
44U I R Bdv =⋅=
线框右边MN 在Ⅰ区运动过程中，木块与线框受力平衡，有
0A F F mg μ--=
解得
31
0.12020
A F BId mg mg mg ==
-= 通过线框任一横截面的电量q 为q It =，其中2d
t v
= 联立以上各式，解得
340mgd
q U
=
（3）MN 刚到达Ⅱ区正中间时，流过线框的电流为
34'4Bdv Bdv Bdv
I I R R
+=
== 线框左、右两条边均受到向左的安培力作用，总的安培力大小为
4
''3'165
A A F BI d BI d F mg =+==
由于线框上边各有一半处在磁场Ⅰ区、Ⅱ区中，所以分别受到向上与向下的安培力作用，此时木块受到的支持力N 为
7
3''85
A N mg BI d BI d mg F mg =+-=+=
木块与线框组成的系统受力平衡，因此拉力F 为
4747
'55050
A F F N mg mg mg μ=+=+=
（4）随着MN 在磁场Ⅱ区的运动，木块受到的支持力N x 随发生的位移x 而变化，有
3''(2)2'4'x N mg BI x BI d x mg BI d BI x =+--=-+
由于N x 随位移x 线性变化，因此MN 在Ⅱ区运动过程中木块受到的平均支持力为
4'27
2'2'25
BI d N mg BI d mg BI d mg ⋅=-+
=+= 此过程中拉力做的功W 为
4747
'222255025
A W F d N d mg d mg d mgd μ=⋅+⋅=⋅+⋅=
12．某电子天平原理如图所示，E 形磁铁的两侧为N 极，中心为S 极，两极间的磁感应强度大小均为B ，磁极宽度均为L ，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C 、D 与外电路连接，当质量为m 的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I 可确定重物的质量．已知线圈匝数为n ，线圈电阻为R ，重力加速度为g.问：
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C 端还是从D 端流出？ (2)供电电流I 是从C 端还是从D 端流入？求重物质量与电流的关系；
(3)若线圈消耗的最大功率为P ，该电子天平能称量的最大质量是多少？ 【答案】（1）感应电流从C 端流出 （2）2nBL
m I g =（3）02nBL P
m g
R
= 【解析】 【分析】 【详解】
（1）根据右手定则，线圈向下切割磁感线，电流应从Ｄ端流入，从Ｃ端流出
（２）根据左手定则可知，若想使弹簧恢复形变，安培力必须向上，根据左手定则可知电流应从D 端流入，根据受力平衡2mg nBI L =⋅① 解得2nBL
m I g
=
② （3）根据最大功率2P I R =得P I R
=③ ②③联立解得：02nBL P
m g R
=
13．如图所示，两根间距为L 的光滑金属导轨CMM ′P ′P 、DNN ′Q ′Q 固定放置，导轨MN 左侧部分向上弯曲，右侧水平。

在导轨水平部分的左右两端分布着两个匀强磁场区域MM ′N ′N 、P ′PQQ ′，区域长度均为d ，磁感应强度大小均为B ，Ⅰ区方向竖直向上，Ⅱ区方向竖直向下，金属棒b 静止在区域Ⅱ的中央，b 棒所在的轨道贴一较小的粘性纸片（其余部分没有），它对b 棒的粘滞力为b 棒重力的k 倍，现将a 棒从高度为h 0处静止释放，a 棒刚一进入区域Ⅰ时b 棒恰好可以开始运动，已知a 棒质量为m ，b 棒质量为2m ，a 、b 棒均与导轨垂直，电阻均为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g ，则 (1)h 0应为多少？
(2)将a 棒从高度小于h 0的某处静止释放，使其以速度v 1（v 1为已知量）进入区域Ⅰ，且能够与b 棒发生碰撞。

求从开始释放a 棒到a 、b 两棒刚要发生碰撞的过程中，a 棒产生的焦耳热。

(3)调整两磁场区域间的距离使其足够远（区域大小不变），将a 棒从高度大于h 0的某处静止释放，使其以速度v 2（v 2为已知量）进入区域Ⅰ，经时间t 0后从区域Ⅰ穿出，穿出时的
速度为
1
2
v 2，请在同一直角坐标系中画出“从a 棒进入磁场开始，到a 、b 两棒相碰前”的过程中，两棒的速度—时间图象（必须标出t 0时刻b 棒的速度，规定向右为正方向）。

【答案】（1）22244
8R k m g
B L
（2）222213388B L d B L d v R mR ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）
【解析】 【详解】
(1)设a 棒刚进入区域Ⅰ时的速度为0v ，由机械能守恒得：
2001
2
mgh mv =
由b 棒恰好开始运动时受力平衡得
220
22B L v mgk BLI R
==
解得：
222044
8R k m g
h B L
= (2)设a 棒穿出区域Ⅰ时的速度为1v '，与b 棒相碰前的速度为v ，则有：
11111mv mv BL t BLq I -='= 1222mv mv BLI t BLq ='-=
12q BLd
R = 24q BLd
R
=
联立可得：
22134B L d
mv mv R
-=
a 棒产生的焦耳热：
2211
2(1)4
a Q Q m v v -==
可得：
2222133()88a B L d B L d v R
Q R =-
(3)①判断0t 时刻b 棒能否穿出区域Ⅱ，假定b 不能穿出区域Ⅱ，并设0t 时的速度大小为
b v ，00t 阶段a 、b 棒受到的冲量相等，有：
221
()22
b m v v mv -=
解得：
214
b v v =
因22
21
a b v v v >
=，故有： 12b a v v < 12
b x d <
所以假设成立，即在a 棒穿出Ⅰ区时b 棒尚在Ⅱ区； ②判断0t 后，b 棒能否穿出区域Ⅱ，假定b 棒不能穿出区域Ⅱ 因10222b BLI t mv BLI t ==，则有：
1022I t I t =
即：
12q q =
所以：
22(2)a b b BL v v t v t R
R
-=
设在0t 前后b 棒在区域Ⅱ中走过的距离分别为1x 、2x ，则有：
10b x v t = 220()b a b x v t v v t =-=
解得：
12000(12
)b a b a x x v t v v t v t d d ==+=+->
所以假设不成立，即b 棒能穿出区域Ⅱ且速度不为零； 两棒的速度-时间图象如图所示：
14．如图(a )所示，一个电阻值为R 、匝数为n 的圆形金属线圈与阻值为2R 的电阻R 1连接成闭合回路，线圈的半径为r 1, 在线圈中半径为r 2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随时间t 变化的关系图线如图(b )所示，图线与横、纵轴的截距分别为t 0和B 0，导线的电阻不计．求
(1) 0~t 0时间内圆形金属线圈产生的感应电动势的大小E ； (2) 0~t 1时间内通过电阻R 1的电荷量q ．
【答案】（1）2020n B r E t π=（2）2
0120
3n B t r q Rt π=
【解析】 【详解】
（1）由法拉第电磁感应定律E n t
φ
∆=∆有2020n B r B E n S t t π∆==∆ ① （2）由题意可知总电阻 R 总=R +2R =3 R ② 由闭合电路的欧姆定律有电阻R 1中的电流E
I R =
总
③ 0~t 1时间内通过电阻R1的电荷量1q It = ④
由①②③④式得2
01203n B t r q Rt π=
15．如图所示，两平行光滑的金属导轨MN 、PQ 固定在水平面上，相距为L ，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n 个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2、3、…n 组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B 、2B 、3B 、…nB ，两导轨左端MP 间接入电阻R ，一质量为m 的金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻。

（1）对导体棒ab 施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n 个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中，通过电阻R 的电荷量q 。

（2）对导体棒ab 施加水平向右的恒力F0，让它从磁场1左侧边界处开始运动，当向右运动距离为时做匀速运动，求棒通过磁场区1所用的时间t 。

（3）对导体棒ab 施加水平向右的恒定拉力F1，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab 进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的水平拉力，使棒ab 保持该匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab 通过第i 磁场区时的水平拉力Fi 和棒ab 通过整个磁场区过程中回路产生的电热Q 。

【答案】⑴；⑵；⑶
【解析】
试题分析:⑴电路中产生的感应电动势。

通过电阻的电荷量。

导体棒穿过1区过程。

解得
（2）棒匀速运动的速度为v，则
设棒在前x0/2距离运动的时间为t1，则
由动量定律：F0 t1-BqL=mv；解得：
设棒在后x0/2匀速运动的时间为t2，则
所以棒通过区域1所用的总时间：
（3）进入1区时拉力为，速度，则有。

解得；。

进入i区时的拉力。

导体棒以后通过每区都以速度做匀速运动，由功能关系有
解得。

考点：动能定理的应用；导体切割磁感线时的感应电动势；电磁感应中的能量转化。