极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)

极坐标与参数方程高考真题
1、（2018北京理10）在极坐标系中，直线cos sin a ρθρθ+=（0a >）与圆2cos ρθ=相切，则
_______a =．
2、（2018江苏21C ）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
3、（2018新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
4、（2018新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θ
y θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线
l 的参数方程为1cos 2sin x t α
y t α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
5、（2018新课标Ⅲ理22）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）
，过点
(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
6、（2018天津理12）已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，
直线1232
x y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
(t 为参数)与该圆相交于A ，
B 两点，则AB
C ∆的面积为_______.
7、（2017新课标Ⅰ理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），直线
l 的参数方程为41x a t
y t
=+⎧⎨
=-⎩（t 为参数）．
（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
a ．
8、（2017新课标Ⅱ理22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
9、（2017新课标Ⅲ理22）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩
（t 为参数），直线l 2的
参数方程为2,
,x m m m
y k =-+⎧⎪
⎨=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)
，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．
10、（2017北京理11）在极坐标系中，点A 在圆2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），
则|AP|的最小值为___________．
11、（2017江苏21C ）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为x 82
t t
y ⎧=-+⎪
⎨=⎪⎩（t 为参数）,曲线C
的参数方程为2
x 2s ,
y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）。

设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值
12、（2017天津理11）在极坐标系中，直线4cos()106
ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________．
13、（2015安徽理12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3
R π
θρ=∈距离的最大值是_____．
14、（2015北京理11）在极坐标系中，点(2,)3
π
到直线(cos )6ρθθ+=的距离为_____．
15、（2015福建理22）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t
y t =+⎧⎨=-+⎩
（t 为参数），在极
坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l
sin(),()4
m m R π
θ-
=∈．
（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．
16、（2015广东理14）已知直线l
的极坐标方程为2sin()4
π
ρθ-=A
的极坐标为7)4
A π
，则点A 到直线l 的距离为____________．
17、（2015湖北理16）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t
y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+
⎪⎩
（t 为参数），l 与C 相交于A ，
B 两点，则||AB =______．
18、（2015湖南理16B ）
（Ⅱ）已知直线52:12
x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 设点M
的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值；
19、（2015江苏21C ）已知圆C
的极坐标方程为2sin()404
π
ρθ+--=，求圆C 的半径．
20、（2015陕西理23）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1322
x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C
的极坐标方程为ρθ=．
（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
21、（2015 新课标Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-= ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．
22、（2015 新课标Ⅱ理23）在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠）
，其中0απ≤<，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=． （Ⅰ）求2C 与1C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求||AB 的最大值．
23、（2015重庆理15）已知直线l 的参数方程为11x t
y t =-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44
ππ
ρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_______．
24、（2015广东文14）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2ρθθ+=-，曲线2C
的参数方程为2
x t
y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2
C 交点的直角坐标为_______．
25、（2014新课标Ⅰ理23）已知曲线22
:149x y C +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）． （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．
26、（2014新课标Ⅱ理23）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2
π
θ∈．
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D
处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标．
27、（2014广东理14）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2
sin cos ρθθ=和sin ρθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为_______．
28、（2014湖南理11）在平面直角坐标系中，倾斜角为
4π
的直线l 与曲线 C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩
(α为参数)交于 A 、B 两点，且2AB = ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_______．
29、（2014湖北理16）已知曲线1C
的参数方程是3x y ⎧=⎪
⎨=
⎪⎩
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为_____．
30、（2014陕西理15C ）在极坐标系中，点(2,)6
π
到直线sin()16π
ρθ-=的距离是_________．
31、（2014重庆理15）已知直线l 的参数方程为23x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=≥≤<，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ=________．
32、（2014福建理22）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为常数）．
(1)求直线l 和圆C 的普通方程；
(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．
33、（2014辽宁理23）将圆2
2
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．
(1) 写出C 的参数方程；
(2) 设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．
34、（2014江苏理23）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1222
x y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t
为参数）
，直线l 与抛物线2
4y x =相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．
35、（2016新课标Ⅰ理23）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
， ，
（t 为参数，a ＞0）．在
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ． （I ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
（II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．
36、（2016新课标Ⅱ理23）在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的
斜率．
xOy C 2
2
(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t α
α
=⎧⎨=⎩t l C ,A
B ||AB =l
37、（2016新课标Ⅲ23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
．
（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II ）设点P 在上，点Q 在上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
38、（2016北京理11）在极坐标系中，直线cos sin 10p θθ-=与圆2cos p θ-交于A ，B 两点， 则 |AB|=____________________．
39、（2016江苏21C ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 （t 为参
数），椭圆C 的参数方程为 （为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求
线段AB 的长．
xOy 1C ()sin x y θ
θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数x 2C sin()4
ρθπ
+=1C 2C 1C 2C 112x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩cos ,
2sin x y θθ=⎧⎨=⎩
θ
40、（2013新课标Ⅰ理23）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,
55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．
(1) 把1C 的参数方程化为极坐标方程；
(2) 求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．
41、（2013新课标Ⅱ理23）已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,
2sin x t y t
=⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为t α
=与2(02)t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
42、（2013广东理14）已知曲线C
的参数方程为x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，C 在点()1,1处的切线为l ，以
坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为_____．
43、（2013安徽理7）在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ． 0()R θρ=∈和cos 2ρθ= B ． ()2
R π
θρ=∈和cos 2ρθ=
C ． ()2
R π
θρ=
∈和cos 1ρθ= D ． 0()R θρ=∈和cos 1ρθ=
44、（2013江西理15A ）设曲线C 的参数方程为2
x t
y t =⎧⎨=⎩
(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为______．
45、（2013陕西理15C ）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆2
2
0x y x +-=的参数方程为________．
46、（2013重庆理15）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极
坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线23
,x t y t
⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则||AB =_____．
47、（2013湖南理9）在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆C ：3cos ,
2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ
为参数）的右顶点，则常数a 的值为_______．
48、（2013湖北理16）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参考，)0a b >>．
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l
与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭(m 为非零常数)与b ρ=．若直线l 经过椭圆C 的焦
点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为______ ．
49、（2013天津理11）已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=，圆心为C ，点P 的极坐标为(4,)3
π
，则CP =
_______．
50、（2013辽宁理23）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ρθ=
，cos()=24
π
ρθ-
(1)求1C 与2C 交点的极坐标；
(2)设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为33
12
x t a
b y t ⎧=+⎪
⎨=+⎪⎩(t R ∈为参数)，求a ，b 的值．
51、（2013福建理21B ）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A
的极坐标为)4π
，直线l 的极坐标方程为cos()4
a π
ρθ-=，且点A 在直线l 上．
(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；
(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆C 的位置关系．
52、（2012新课标理23）已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、
C 、
D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
(1)求,,,A B C D 点的直角坐标；
(2)设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
PA PB PC PD +++的取值范围．
53、（2012江苏21C ）在极坐标中，已知圆C 经过点)4
P π
，圆心为直线sin()32πρθ-=-
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
54、（2012湖南理9）在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,
12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数) 与曲线
2sin ,
:3cos x a C y θθ
=⎧⎨
=⎩ ( θ 为参数，0a >)有一个公共点在X 轴上，则a = ______．
55、（2012福建理21B ）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知直线l 上两点,M N
的极坐标分别为)2π，圆C
的参数方程22cos 2sin x y θ
θ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
56、（2012陕西理15C ）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为_____．
57、（2012辽宁理23）在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=．
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的
交点坐标（用极坐标表示）；
(2)求出1C 与2C 的公共弦的参数方程．
58、（2011新课标理23）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数），M
是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ． （Ⅰ）求2C 的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2
C 的异于极点的交点为B ，求AB ．。