2018年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3.1 实际问题与二次函数课后作业 (新版)新人教版
九年级数学上册 第二十二章 二次函数22.3实际问题与二次函数(2)教学
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____y_=_(6_0_+_x_)_(_3_0_0_-1_0_x_)_-_4_0_(3_0_0_-_1_0_x_)________________元
12/即12/20y21=-10x2+100x+6000
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(0≤X≤30)
y=-10x2+100x+6000(0≤X≤30)
x=- 2b=a5时，y最大值=-10×52+100×5+6000=6250
平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能使得利 润最大？（为了便于计算(jì suàn)，要求每箱的价格为整数）
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思考(sīkǎo)
有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时 市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但 是，放养一天需各种(ɡè zhǒnɡ)费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，
假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）.
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⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数关系式。
⑶该经销商将这批蟹放养多少(duōshǎo)天后出售，可获最大利润，（利润=销售总 额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
所以，当定价(dìng jià)为65元时，利润最大，最大利润为6250元
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线(zhíx，iàn)x顶=-点4 坐标是 (-4 ，-1) 。当x= 时-4 ，函数有最 值，大 是 。-1
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是
直线x，=2顶点
坐标是 (2 ，1) .当x= 时2 ，函数有最 值小，是 。 1
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22.3实际(shíjì)问题与二次函数
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基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象(tú xiànɡ)是一条 抛物线，它的对称
轴是
直线(zh，íxià顶n)x点=坐h 标是
(h.，k)
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条
，抛它物的线对称
轴是
=-20（x2-5x-300）
=-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20）
所以(suǒyǐ)定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能
使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 元. 获202得2/2/2(2huòdé)最大利润为6250
水面宽度 当
时，
62
所以，水面下降1m，水面的宽
度为 2 m6 .
∴20水22/2面/22 的宽度增加了 2 64m
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y
y
0
X
(1) y
0
X
0 y
x (2)
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(3)
0
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X (4)
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
能力拓展
1.已知某商品的进价为每件40元。现在的售价
是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查 反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要 少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20 件。如何定价才能使利润最大？
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0≤x≤20） ∴定价为60-2.5=57.5时，利润有最大值6125元.
怎样确定x 的取值范围
已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。市场调查反映： 如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价 为多少元？ 若设定价每件x元，那么每件商品的利润可表 示为（x-40） 元，每周的销售量可表示 为 [300-10(x-60) ]件，一周的利润可表示 为 (x-40)[300-10(x-60)] 元，要想获得6090元 利润可列方程 (x-40)[300-10(x-60)]=6090 .
2.窗户面积S 2 xy
例２：有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角 为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平 行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）． 2 （1）当x=0时，S=_____________ ； 2 S=2X+2 当x = 10时，S =______________ ； （2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式； （3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式； S=-2X+22 （4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写 出最大值．
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数：22.3.2 利用二次函数求实际中最值问题》
22.3 实际问题与二次函数
22.3.2 利用二次函数求实际中最值问题
第二十二章 二次函数
运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际 上是根据实际问题中常量与变量的关系，构造出 y=ax2+bx+c,y=a(x-h)2+k或y=a(x-x1)(x-x2)等二次函 数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定基 础.
第二十二章 二次函数
(2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨 论，自己写出答案．
解：设降价x元时利润最大， 则每星期可多卖20x件,实际卖出（300+20x）件， 销售额为（60-x)（300+20x）元，买进商品需付 40（300+20x）元， 因此，得利润 y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x), 即y=-20x2+100x+6000(0≤x≤20）， 当x=2.5时，y最大， 也就是说，在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．我们先 来看涨价的情况．
第二十二章 二次函数
(1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变
化．我们先来确定y随x变化的函数解析式．涨价x元时，
每星期少卖_1_0_x__件，实际卖出(_3_0_0_－__1_0_x_)_件，销售额 为_(_6_0_＋__x_)_(_3_0_0_－__1_0_x_)元，买进商品需付_4_0_(_3_0_0_－__1_0_x_)
第二十二章 二次函数
【例1】某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日 租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增 加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各 项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y 元，(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)． (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 (_1__4_0_0_－__5_0_x_)_(_0_≤__x_≤__2_0_)_元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)与每日租出汽车的辆数x之 间的函数关系式．
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。
九年级数学上册 第二十二章《二次函数》22.3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的面积问题试题
22.3实际问题与二次函数第1课时几何图形的面积问题知识要点基础练知识点利用二次函数求图形面积的最值1.用长60 m的篱笆围成一个矩形花园,则围成的花园的最大面积为(D)A.150 m2B.175 m2C.200 m2D.225 m22.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定3.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为4平方米.4.手工课上,小明准备做个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm,菱形的面积为S,随其中一条对角线的长x的变化而变化.(1)求S与x之间的函数解析式.(不要求写出取值范围)(2)当x是多少时,菱形风筝的面积S最大?最大的面积是多少?解:(1)S=x(60-x)=-x2+30x.(2)由(1)得S=-x2+30x=-(x-30)2+450,故当x是30 cm时,菱形风筝的面积S最大,最大的面积是450 cm2.综合能力提升练5.合肥寿春中学劳动课上,老师让学生利用成直角的墙角(墙足够长),用10 m长的栅栏围成一个矩形的小花园,花园的面积S m2与它一边长a m的函数解析式是S=-a2+10a ,面积S 的最大值是25.6.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为2s.7.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144 m2.8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,若该纸盒侧面积的最大值是 cm2,则a的值为3cm.9.在美化校园的活动中,巢湖一中初三一班的兴趣小组利用如图所示的直角墙角(两边足够长),用32 m长的藤条圈成一个长方形的花圃ABCD(藤条只围AB,BC两边),设AB=x m.(1)若花圃的面积为252 m2,求x的值;(2)正好在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,如果把将这棵桃树围在花圃内(含边界,不考虑树的粗细),老师让学生算一下花圃面积的最大值是多少?解:(1)因为AB=x,则BC=32-x,所以x(32-x)=252,解得x1=14,x2=18,故x的值为14 m或18 m.(2)因为AB=x,所以BC=32-x,所以S=x(32-x)=-x2+32x=-(x-16)2+256,因为在P处有一棵桃树与墙CD,AD的距离分别是17 m和8 m,所以,所以8≤x≤15,所以当x=15时,S取到最大值为S=-(15-16)2+256=255,故花圃面积S的最大值为255 m2.10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s 的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2.(2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)t为何值时S最小?求出S的最小值.解:(1)设x秒后△PBQ的面积等于8 cm2.则AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,∴×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4.运动开始后第2秒或第4秒时△PBQ的面积等于8 cm2.(2)第t秒时,AP=t cm,PB=(6-t) cm,BQ=2t cm,∴S△PBQ=·(6-t)·2t=-t2+6t.∵S矩形ABCD=6×12=72,∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,∴当t=3秒时,S有最小值63 cm2.11.工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大?(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?解:(1)如图所示:设裁掉的正方形的边长为x dm,由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6(舍去),答:裁掉的正方形的边长为2 dm,底面积为12 dm2.(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0<x≤2.5,设总费用为w元,由题意可知w=0.5×2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0<x≤2.5时,w随x的增大而减小,所以当x=2.5时,w有最小值,最小值为25元,答:当裁掉边长为2.5 dm的正方形时,总费用最低,最低费用为25元.拓展探究突破练12.(安徽中考)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围;(2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?解:(1)设AE=a,由题意得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴y=AB·BC=a·x=x,即y=-x2+30x(0<x<40).(2)∵y=-x2+30x=-(x-20)2+300,∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.13.如图,一面利用墙,用篱笆围成一个外形为矩形的花圃,花圃的面积为S平方米,平行于院墙的一边长为x米.(1)若院墙可利用最大长度为10米,篱笆长为24米,花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形,求S与x之间函数关系.(2)在(1)的条件下,围成的花圃面积为45平方米时,求AB的长.能否围成面积比45平方米更大的花圃?如果能,应该怎么围?如果不能请说明理由.(3)当院墙可利用最大长度为40米,篱笆长为77米,中间建n道篱笆间隔成小矩形,当这些小矩形为正方形,且x为正整数时,请直接写出一组满足条件的x,n的值.解:(1)由题意得:S=x×=-x2+8x(0<x≤10).(2)由S=-x2+8x=45,解得x1=15(舍去),x2=9,所以x=9,AB==5,又S=-x2+8x=-(x-12)2+48,0<x≤10,因为当x≤10时,S随x的增大而增大,所以当x=10米时,S最大,为平方米>45平方米,所以平行于院墙的一边长为10米时,就能围成面积比45平方米更大的花圃.(3)根据题意可得,则n=4,x=35或n=2,x=33.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
专题22.3.1 实际问题与二次函数(几何图形最值)(练习)(解析版)
第二十二章二次函数22.3.1 实际问题与二次函数（几何图形最值）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是( )A．y=-0.5x2+5x B．y=-x2+10x C．y=0.5x2+5x D．y=x2+10x【答案】A【分析】一条直角边为x，则另一条直角边为10-x，再利用三角形面积公式即可列式.【详解】解：由题意得，y=12x(10−x)=−0.5x2+5x，故选择A.【点睛】本题考查了运用三角形面积公式列二次函数表达式.2．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193 B．194 C．195 D．196【答案】C【分析】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m 求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【详解】∵AB=m米，∴BC=（28-m）米．则S=AB•BC=m（28-m）=-m2+28m．基础篇即S=-m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，{m≥628−x≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m=13时，S最大值=195，即花园面积的最大值为195m2．故选C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与m的函数关系式是解题关键．3．（2017·甘肃中考真题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，故选：A.4．有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（）A．s=﹣3x2+24x B．s=﹣2x2﹣24xC．s=﹣3x2﹣24x D．s=﹣2x2+24x【答案】A【分析】AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．【详解】解：如图所示：AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，所以S=（24﹣3x）x=﹣3x2+24x．故选：A．【点睛】考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够用自变量x表示出矩形的长与宽．5．（2018·全国初三课时练习）如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，S=（40-2x）x= -2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则即x的长为10m．故选A．6．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（）m2A ．45B ．83C ．4D ．56【答案】B【解析】设窗户的宽是x ，根据题意得S =()832x x- =2348(04)233x x ⎛⎫--+<< ⎪⎝⎭ ∴当窗户宽是43m 时，面积最大是83m²,故选B. 点睛：根据窗户框的形状可设宽为x ，其高就是8-3x 2，所以窗户面积S =()832x x -，再求出二次函数解析式—顶点式即可求出最大面积。
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。
这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。
因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标1.了解二次函数在实际问题中的应用。
2.能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。
例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。
通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。
每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。
九年级数学上册第二十二章22.3实际问题与二次函数22.3.1实际问题与二次函数一备课资料教案新版新人教版2018
第二十二章 22.3.1实际问题与二次函数（一）知识点1:利润最大问题1.在现实生活中常常遇到一类求最大(小)值的问题.如在产品的营销过程中何时获得最大利润;在生产中如何获得最大的产值以及怎样获得最好的效果等.这些问题都可以转化为二次函数问题,利用二次函数的性质加以解决.2.解销售中最大利润问题的步骤:(1)利用应用题中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.知识点2:面积最大问题1.几何图形中的二次函数问题常见的有:几何图形中面积的最值、用料的最佳方案等.2.利用平面几何图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数解析式,并利用二次函数的图象和性质确定最大或最小面积.3.求几何图形面积的常见方法有:利用几何图形的面积公式求出几何图形的面积;利用几何图形面积的和或差求几何图形的面积;利用相似比求几何图形的面积等.4.解决面积问题的一般步骤:(1)利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式列出等量关系;(2)把等量关系转化为二次函数的解析式;(3)求二次函数的最大值或最小值.拓展提高：在处理复杂图形面积时常用的方法是:把复杂的几何图形进行分割求和.考点1：利用二次函数求最大利润问题【例1】李经理按市场价格10元/千克在某地收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.(1)若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为y元,试写出y与x之间的函数解析式;(2)李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?解:(1)由题意得y与x之间的函数解析式为:y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940x+20 000(1≤x≤110,且为整数).(2)由题意得:-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500,解方程得:x1=50,x2=150(不合题意,舍去).答:李经理想获得利润22 500元,需将这批香菇存放50天后出售.(3)设最大利润为W元,由题意得W=-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=-3(x-100)2+30 000.∵0<100<110,∴当x=100时,W取得最大值,其最大值为30 000.答:存放100天后,出售这批香菇可获得最大利润,最大利润是30 000元.点拨：(1)存放x天后,香菇的市场价格为(10+0.5x)元/千克,此时香菇损坏6x千克,还可出售的香菇有(2 000-6x)千克,因此y=(10+0.5x)(2 000-6x).(2)销售总金额为(10+0.5x)(2 000-6x)元,收购成本为(10×2 000)元,各种费用为340x元,由利润=销售总金额-收购成本-各种费用,可得方程-3x2+940x+20 000-10×2 000-340x=22 500.(3)由二次函数的最大值可得结果.考点2：利用二次函数求面积的最大值【例2】星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m,如图所示,设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.(1)若平行于墙的一边的长为y m,直接写出y与x之间的函数解析式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.解:(1)y=30-2x(6≤x<15).(2)设矩形苗圃园的面积为S m2,则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x.∴S=-2(x-7.5)2+112.5.由(1)知,6≤x<15,∴当x=7.5时,S取得最大值,S最大值=112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5 m时,这个苗圃园的面积最大,最大值为112.5.(3)函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象如图所示,结合图象,当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.点拨：因为0<y≤18,所以0<30-2x≤18,所以6≤x<15,画出函数S=-2(x-7.5)2+112.5(6≤x<15)的图象,当S=88时,-2(x-7.5)2+112.5=88,解得x1=11,x2=4(舍).所以当这个苗圃园的面积不小于88 m2时,x的取值范围是6≤x≤11.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
2018年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 实际问题与二次函数(一)
最高的时间是第___1_0_.5___s.
课堂小测本
4. （20分）现有一块矩形场地，如图K22-3-1所示，长 为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植： A. 兰花；B. 菊花；C. 月季；D. 牵牛花. （1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长 x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）； （2）当x是多少时，种植菊花 的面积最大？最大面积是多少？
十二章二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 实际问题二次函数（一）
课堂小测本
易错核心知识循环练 1. （10分）二次函数y=x2-2x-3的图象与y轴的交点坐 标是（ A ）
A. （0，-3） C. （1，-4）
B. （1，0） D. （3，0）
课堂小测本
2. （10分）若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个实数 根，则2 014-m2+5m的值是（ B ）
课堂小测本
核心知识当堂测 1. （10分）长方形的周长为24 cm，其中一边为x cm （其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y与x 的关系可以写为（ C ）
A. y=x2 C. y=（12-x）x
B. y=12-x2 D. y=2（12-x）
课堂小测本
2. （10分）烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行
Hale Waihona Puke A. 2 011 C. 2 013
B. 2 012 D. 2 014
3. （10分）已知x2+3x+6的值为9，则代数式3x2+9x－ 2的值为_____7___.
课堂小测本
4. （10分）已知点A（x1，y1）,B（x2，y2）在二次函 数y=（x－1）2+1的图象上，若x1>x2>1，则 y1____>____y2. （填“＞”“＜”或“=”） 5. （10分）一块矩形草地，长为8 m，宽为6 m，若将 长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都需增加 多少米？
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3.1 实际问题与二次函数
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x
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即 配方得
y 3 x2 3x. 2
y3(x1)2 3.
2
2
所以，当x=1时，函数(hánshù)取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时
6 3x 1.5. 2
因此，所做矩形( jǔxíng)窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的 透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
问题2 如何(rúhé)用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
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解:根据(gēnjù)题意S得=l(30-l),
s
即 S=-l2+30l (0<l<30).
因此，当
l
b 30 2a 2(1)源自15时，200100
S有最大值 4acb2 302 225
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归纳总结
二次函数解决几何(jǐ hé)面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用(lìyòng)公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围 内.
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不正确.
问题5 如何(rúhé)求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题(wèntí)6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
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方法总结
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值
2018-2019学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数(第2课
第2课时 实际问题与二次函数（2）※教学目标※【知识与技能】将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.【过程与方法】通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.【情感态度】感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】利用二次函数解决有关拱桥问题.【教学难点】建立二次函数的数学模型.※教学过程※一、问题导入问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？答案 解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+.（2）P =()()()22402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元.（3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =．∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.二、探索新知探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？提问（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？（3）题中“水面下降1m 的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为2y ax =.由抛物线经过点（2，-2），可得222a -=⨯，12a =-.这条抛物线表示的二次函数为212y x =. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为-3.请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.水面下降1m 三、巩固练习1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该运动员的身高为1.8米．（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？答案：1.如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为()20y ax a =≠.设A ，B ，D三点坐标依次为（A x ，A y ），（B x ，B y ），（D x ，D y ）.由题意，得AB =1.6，∴0.8A x =-，0.8B x =，又可得1 1.60.42D x ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭=-0.4.∴当0.8x =-时，A y =()2•0.80.64a a -=,当0.4x =-时，()2•0.40.16y D a a =-=.∵2.20.7 1.5A D y y -=-=，∴0.640.16 1.5a a -=.∴258a =.∴抛物线的解析式为2258y x =.当0.4x =-时，()2250.40.58D y =⨯-=，∴0.70.50.2-=（m ）. 2.（1）设抛物线的解析式为2 3.5y ax =+.∵（1.5，3.05）在抛物线上，∴3.05 1.52 3.5a =⨯+.解得0.2a =-.∴20.2 3.5y x =-+.当 2.5x =-时， 2.25y =， ∴运动员离地面的高度为2.250.25 1.80.2--=（m ）.（2）由题意,得 3.3y =，则23.30.2 3.5x =-+.解得11x =，21x =-.∴413-=（m ）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.四、归纳小结1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.2.数形结合思想的运用.※布置作业※从教材习题22.3中选取.※教学反思※本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.。
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22.3.1
实际问题与二次函数
1.(咸宁中考)用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，那么a 的值不可能为( )
A.20
B.40
C.100
D.120
2.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
A.
25
64 m 2
B.3
4 m 2
C.3
8 m 2
D.4 m 2
3.(玉林、防城港中考)如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )
4.小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）
A．4cm2 B．8cm2
C．16cm2 D．32cm2
5.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两面墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_____________m2.
6.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地.当AD=______ m时，矩形场地的面积最大，最大值为______.
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s.
8.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2.
9.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)
10.如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A，B，C，D四个点重合于图中的点O，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒.
（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm2，求长方体包装盒的高；
（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为xcm，长方体的侧面积为Scm2，求S与x 的函数解析式，并求x为何值时，S的值最大.
11．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．
12．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．
(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；
(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.144
6.20 ，800 m 2
7.2
8.
2
25
9.解：根据题意，得y=20x(
2
180
-x). 整理，得y=-20x 2
+1 800x=-20(x 2
-90x+2 025)+40 500=-20(x-45)2
+40 500. ∵-20＜0，
∴当x=45时，函数有最大值，y 最大值=40 500.
即当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 3
.
10.解：（1）方法1：如图，设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm ，则
NP .
由题意得2
1250=⎝，
解得1x =2x =.
答：长方体包装盒的高为.
方法2：∴2
55AN ==（cm ）.
∴PN ＝60－25×2＝10（cm ）.
∴10PQ ==（cm ）.
答：长方体包装盒的高为.
（2）由题意得244S x x ==-+.
∵－4<0，∴当x =S 的值最大. 11．y ＝－x 2
＋3x (0＜x ＜3)图略．
12．(1)设花圃的宽AB ＝x 米，知BC 应为(24－3x )米，故面积y 与x 的关系式为
y ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x ．
当y ＝45时，－3x 2
＋24x ＝45，解出x 1＝3，x 2＝5． 当x 2＝3时，BC ＝24－3×3＞10，不合题意，舍去； 当x 2＝5时，BC ＝24－3×5＝9，符合题意． 故AB 长为5米．
(2)能围成面积比45m 2更大的矩形花圃． 由(1)知，y ＝－3x 2
＋24x ＝－3(x －4)2
＋48．
103240≤-<x ，.83
14
<≤∴
x 由抛物线y ＝－3(x －4)2
＋48知，在对称轴x ＜4的左侧，y 随x 的增大而增大，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小．
∴当314=
x 时，y ＝－3（x －4)2＋48有最大值，且最大值为),m (3246)4314(34822
=--此时，,m 314=AB BC ＝10m ，即围成长为10米，宽为314
米的矩形ABCD 花圃时，其最大面积为.m 3
2462。