高考理科数学真题汇编 12概率与统计

年全国高考理科数学试题分类汇编
八、概率与统计
第部分
.【年陕西卷（理）】从正方形四个顶点及其中心这个点中，任取个点，则这个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） 【答案】
【解析】C p 选反向解题.5
3
C 4C 4-1.2525=== .【年重庆卷（理）】已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） 【答案】
【解析】根据正相关知回归直线的斜率为正，排除,C D ，回归直线经过点(,)x y -
-
，故选A .【年陕西卷（理）】设样本数据1210,,,x x x 的均值与方差分别为与，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值与方差分别为（ ）
【答案】
【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，
. .【年湖南卷（理）】对一个容量为的总体抽取容量为的样本，若选取简单随机抽样、
系统抽样与分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ，2p ，3p ，则 【答案】
【解析】根据随机抽样的原理可得三种抽样方式都必须满足每个个体被抽到的概率相等，
即 321p p p ==，故选 .【年山东卷（理）】为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[),[),[),[),[],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方
图，已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为 【答案】
【解析】
第一组与第二组频率之与为200.450
÷=500.3618
18612
⨯=-=
.【年全国新课标Ⅰ（理）】位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 【答案】：
【解析】：位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，
周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②
每天人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
867
168
+=；或间接解法：位同学都在周六或周日参加公益活动有种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为
1627
168
-=；选. .【年全国新课标Ⅱ（理）】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） 【答案】 【解析】
.【年广东卷（理）】已知某地区中小学生人数与近视情况分别如图与图所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量与抽取的高中生近视人数分别为 【答案】
【解析】由题意知：该地区中小学生总人数为：35004500200010000++=人，所以样本
容量为100002%200⨯=，应抽取高中生人数为：4
20040794
⨯=++，所以抽取的高中生近
视人数为4050%20⨯=人.故选.
.【年湖北卷（理）】根据如下样本数据
得到的回归方程为a bx y
+=ˆ，则
【答案】
【解析】画出散点图如图所示，的值大致随的增加而减小，
因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a
10.【年湖北卷（理）】由不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥≤0
200
x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，
确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） 【答案】
【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图， 由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221
72
2218222
BDF
CEF
BDF
S
S
P S
⨯⨯-⨯⨯-=
==⨯⨯. .【年江西卷（理）】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这个变量之间的关系，随机抽查名中学生，得到统计数据如表至表，则与性别有关联的可能性最大的变量是 【答案】
【解析】根据独立性检验相关分析知，阅读量与性别相关数据较大，选
.【年浙江卷（理）】已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有m 个红球与n 个蓝球(3m ≥，3)n ≥，从乙盒中随机抽取(1i i =，2)个球放入甲盒中.
（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为(1i i ξ=，2)；
（b ）放入i 个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为(1i p i =，2).则 【答案】
【解析】，，
，所以＞；由已知ξ的取值为、，ξ的取值为、、，
所以
，（ξ）﹣（ξ）．故选
第部分
.【年辽宁卷（理）】正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-与2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，学科网则质点落在阴影区域的概率是 . 【答案】
【解析】∵（﹣，﹣），（，﹣），（，），（﹣，），
∴正方体的的面积×，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积
[（﹣）﹣（﹣）]×
，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是
．故答案为：
.【年广东卷（理）】从，中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是的概率
为 。

【答案】
16
【解析】由题意得：所有的基本事件有7310
10120C C ==个，其中中位数是的事件有3620C =个，所求概率为20120P =
1
6
.【年江西卷（理）】件产品中有件正品，件次品，从中任取件，则恰好取到件次品的概率是.
【答案】1
2
【解析】
133741012C C P C ==
.【年天津卷（理）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采
用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生. 【答案】
【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为×＝ .【年江苏卷（理）】从6,3,2,1这4个数中一次随机地取个数，则所取个数的乘积为6的概
是 ．
【答案】
3
1
【解析】将随机选取个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：（，），（，）（，），（，），（，），（，），共种情况，满足题目乘积为的要求的是（，）与（，），则概率为3
1。

.【年江苏卷（理）】在底部周长]130,80[∈的树木进行研究，频率分布直方图如图所示，则在抽测的株树木中，有 株树木的底部周长小于. 【答案】
【解析】从图中读出底部周长在]90,80[的频率为15.010015.0=⨯，底部周长在]100,90[的频率为25.010025.0=⨯，样本容量为株，
2460)25.015.0(=⨯+株是满足题意的。

.【年上海卷（理）】为强化安全意识，
某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天
进行紧
急疏散演练，则 选择的3天恰好为连续3
天的概率是 （结果用最简分数表
示）.
【答案】
15
1
底部周长
第题
【解析】：3
1081
15
P C =
= .【年上海卷（理）】 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为 . 【答案】
【解析】：设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，
且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：
1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥
.【年浙江卷（理）】随机变量ξ的取值为，，，若1
(0)5
P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=. 【答案】
【解析】设（ξ），（ξ），则由已知得，
，解得，，
所以
．故答案为：
第部分
.【年陕西卷（理）】（本小题满分分）
在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为元，此作物的市场价格与这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表： （）设X 表示在
这块地上种植季此作物的利润，求X
的分布列；
（）若在这块地上连续季种植此作物，求这季中至少有季的利润不少于．．．元
的概率.
解（）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元”，由题设知()，() 利润产量⨯市场价格 成本，
作物市场价格（元）
概率
作物产量（）
概率
∴ 所有可能地取值为 所以 的分布列为
（）设， ，相互独立，由（）知， 季的利润均不少于元的概率为
所以，这季中至少有季的利润不少于元的概率为
.【年重庆卷（理）】一盒中装有张各写有一个数字的卡片，其中张卡片上的数字是张卡片上的数字
是张卡片上的数字是，从盒中任取张卡片. （）求所取张卡片上的数字完全相同的概率;
（）X 表示所取张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列（注：若三个数c b a ,,满足 c b a ≤≤，则称b 为这三个数的中位数）.
解：（）所求概率33
433
95
84
C C p C +== .【年安徽卷（理）】（本小题满分分）
各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列与均值（数学期望）． 【解析】（Ⅰ）设事件)5,4,3,2(=i A i 表示“甲在第i 局比赛结束时赢得比赛”，根据题意得：
因此，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率81568182749
4
=++
=P （Ⅱ）X 的所有可能取值集合为}5,4,3,2{
8183132313232313231)5(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==X P （或81
8
811092951)5(=---==X P ）
X 的分布列为
X 2
3 4
5 P
9
5 9
2 81
10 81
8 .【年福建卷（理）】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出个球，球上所标的面值之与为该顾客所获的奖励额．
（）若袋中所装的个球中有个所标的面值为元，其余个均为元，求： ①顾客所获的奖励额为元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（）商场对奖励总额的预算是元，并规定袋中的个球只能由标有面值元与元的两种球组成，或标有面值元与元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
解：（）设顾客所获取的奖励额为，
①依题意，得（）
，即顾客所获得奖励额为元的概率为，
②依题意得得所有可能取值为，，（），（），
即的分布列为
所以这位顾客所获的奖励额的数学期望
为（）××
（）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元，所以先寻找期望为元的可能方案． 对于面值由元与元组成的情况，如果选择（，，，）的方案，因为元是面值之与的最大值，所以数学期望不可能为元，
如果选择（，，，）的方案，因为元是面值之与的最小值，所以数学期望也不可能为元，
因此可能的方案是（，，，）记为方案，
对于面值由元与元的组成的情况，同理可排除（，，，）与（，，，）的方案，所以可能的方案是（，，，），记为方案， 以下是对这两个方案的分析：
对于方案，即方案（，，，）设顾客所获取的奖励额为，则的分布列为
的数学期望为（）．
的方差（）
，
对于方案，即方案（，，，）设顾客所获取的奖励额为，则的分布列为
的数学期望为（），
的方差（）差（）
．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案奖励额的方差比方案小，所以应该选择方案．
.【年湖南卷（理）】 (本小题满分分)
某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是3
2
与5
3. 现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品. 设甲、乙两组的研发相互独立. （）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（）若新产品研发成功，预计企业可获利润万元；若新产品研发成功，预计企业可获
得利润万元. 求该企业可获利润的分布列与数学期望.
解： 记＝{甲组研发新产品成功}，＝{乙组研发新产品成功}，由题可知
且事件与，与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.
() 记＝{至少有一种新产品研发成功}，则F E H =，于是
1525231)()()(=⨯==F P E P H P ，故所求概率为15
13
1521)(1)(=-=-=H P H P .
（）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为，，，. 又因
故所求分布列为
数学期望为 14015
152201512015100150)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E .
.【年辽宁卷（理）】（本小题满分分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（）求在未来连续天里，有连续天的日销售量都不低于个且另一天的日销售量低于个的概率；
（）用表示在未来天里日销售量不低于个的天数，求随机变量的分布列，期望()E X 及方差()D X .
（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于个”，2A 表示事件“日销售量低于个”，表示事件“在未来连续天里有连续天日销售量不低于个且另一天的日销售量低于个”.因此 （Ⅱ）的可能取值为.相应的概率为 分布列为
因为(),所以期望为()×，方差（）××（） .【年全国大纲卷（）】（本小题满分分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.
（）求同一工作日至少人需使用设备的概率；
（）表示同一工作日需使用设备的人数，求的数学期望.
解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =
B 表示事件：甲需使用设备
C 表示事件：丁需使用设备
D 表示事件：同一工作日至少人需使用设备
所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ （）X 的可能取值为0，1，2，3，4 所以X 的分布列为
(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯= 0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=． .【年山东卷（理）】（本小题满分分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35
.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （）两次回球结束后，小明得分之与ξ的分布列与数学期望. 解：（）设恰有一次的落点在乙上这一事件为A
.【年四川卷（理）】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分（即获得200-分）。

设每次击鼓出现音乐的概率为1
2
，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没
有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：（）X 可能取值有200-，，， 故分布列为
（）由（）知：每盘游戏出现音乐的概率是3317
8888
p =++=
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是0031377511
1()(1)88512
p C =--=
（）由（）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是
133110
()(200)102010088888
E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=-分
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

.【年天津卷（理）】（本小题满分分）
某大学志愿者协会有名男同学，名女同学.在这名同学中，名同学来自数学学院，其余名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这名同学中随机选取名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的名同学是来自互不相同学院的概率；
⑵设X 为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.
解：()设“选出的名同学是来自互不相同的学院”为事件，则 所以选出的名同学是来自互不相同学院的概率为. ()随机变量的所有可能值为，，，. 所以随机变量的分布列是
随机变量的数学期望()＝×＋×＋×＋×＝.
.【年全国新课标Ⅰ（理）】(本小题满分分)从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这件产品质量指标值的样本平均数x 与样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . ()利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（）某用户从该企业购买了件这种产品，记X 表示这件产品中质量指标值为于区间（）的产品件数，利用（）的结果，求EX .
.
若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+，(22)P Z μδμδ-<<+.
【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 与样本方差2s 分别为
150= …………分
（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而
(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ………………分
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（）的概率为 依题意知(100,0.6826)X
B ，所以1000.682668.26EX =⨯= ………分
【年北京卷（理）】（本小题分）.
李明在场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）： 场次 投篮次数 命中次数 场次
投篮次数 命中次数
主场 客场 主场 客场 主场 客场 主场 客场 主场
客场
（）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （）从上述比赛中选择一个主场与一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一
场不超过6.0的概率.
（3）记x 是表中个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X
为李明
在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小学科网（只需写出结论） 解（）根据投篮计数据可以算出李明投篮命中率超过的场次有场， 分别是主场，主场，主场，客场，客场.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过的概率是.
（Ⅱ）设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过”，
事件为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过”，
事件为“在随机选择的一个主场与一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，
一场不超过”。

则AB AB ，独立。

根据投篮统计数据，32(),()55
P A P B ==.
所以，在随机选择的一个主场与一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率为
13
25
. .【年湖北卷（理）】计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之与.单位：亿立方米）都在以上.其中，不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来年中，至多年的年入流量超过的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X
限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【解析】（Ⅰ）依题意，110(40X 80)0.250p p =<<=
=，235(80X 120)0.750
p p =≤≤==，35
(X 120)0.150
p p =>=
= 由二项分布，在未来年中至多有一年的年入流量超过的概率为 （Ⅱ）记水电站年总利润为Y
（1）
安装台发电机的情形
由于水库年入流量总大于，故一台发电机运行的概率为，对应的年利润Y 5000=，
(Y)150005000E =⨯=
（）安装台发电机的情形
依题意，当4080x <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此
1(Y 4200)P(4080)0.2P x p ==<<==；当X 80≥时，两台发电机运行，此
时
Y 5000210000=⨯=，因此23(Y 10000)P(X 80)0.8P p p ==≥=+=；由此得的分布列如下
所以，(Y)42000.210000.88840E =⨯+⨯=。

（）安装台发电机的情形
依题意，当4080x <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此
1(Y 3400)P(4080)0.2P x p ==<<==；当80X 120≤≤时，两台发电机运行，此时
Y 500028009200=⨯-=，因此2(Y 9200)P(80X 120)0.7P p ==≤≤==；当X 120>时，两台发
电机运行，此时Y 5000315000=⨯=，因此3(Y 15000)P(X 120)0.1P p ==>==由此得的分布列如下
所以，(Y)34000.292000.7150000.18620E =⨯+⨯+⨯=。

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机台。

34.【年广东卷（理）】（本小题满分分）随机观测生产某种零件的某工厂名工人的日加
工零件数（单位：件），获得数据如下：，根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 （）确定样本频率分布表中121,,n n f 与2f 的值；
（）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取人，至少有人的日加工零件数落在区间（］的概率。

【解析】（）127,2n n ==，120.28,0.08f f ==； （）样本频率分布直方图为
ξ，则~(4,0.2)B ξ，
.(),2n n N n *∈≥这个连续正整数分成1b ，最大数为2b ，记
2112,a a b b ξη=-=-（1）当3n =时，求ξ的分布列与数学期望；
（2）令表示事件ξ
与η的取值恰好相等，求事件发生的概率)(C P ；
（）对()中的事件, C 表示的对立事件，判断)(C P 与)(C P 的大小关系，并说明理由。

【解析】（）随机变量ξ的取值所有可能是：，，，
ξ的分布列为：
零
所以，ξ的数学期望为
）事件ξ与η的取值恰好相等的基本事件： 共
()()
123
2
2462(2)
21123n n n
n
C C C C P c n C --+++++
+=⨯
≥
2n =时，
()2
422
23P c C =⨯
=
）因为()1P c P c -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以要比较()P c 与P c -⎛⎫ ⎪⎝⎭
的大小，实际上要比较()P c 与12的大小，
由
()()
123
2
2462(2)
21123n n n
n
C C C C P c n C
--++++++=⨯
≥可知，
当2n =时，()P c P c -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭ 当3n ≥时，()P c P c -⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
.【年全国新课标Ⅱ（理）】（本小题满分分）
某地区年至年农村居民家庭纯收入（单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析年至年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为：
（1）
由所得数据计算得
y t ⨯所求回归方程为y
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，>,故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元.
将年的年份代号代入（）中的回归方程，得
故预测该地区年农村居民家庭人均纯收入为千元。