模糊集合的基本概念与模糊关系
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A A A
（12）
A
6.3 模糊的集的代数运算
代数积 模糊集的代数积，记为AB，其隶属度函数可定义:
AB A B
代数和 模糊集A，B的代数和，记为 其隶属度函数定义：
代数和
A B
AB A B AB
——
A B 用代数和用补的来定义：
, bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（4）模糊矩阵的直积
A aij
B bij
cij min aij
, bij aij bij
模糊矩阵A与B的直积C表示为：
C cij A B
1 1 1 E 1 1 1 1 1 1
7.3模糊矩阵的基本公式 （1）对于一切模糊矩阵A，有 （2） （3）若 （4）若 （5） （6）
o A E
（反对称律）
A A
A B, B A, A B, B C ,
（自反律）
AB
则
AC
6.4 模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 模糊集
设X为空间，空间中的点或元素
x
以来表示，即: X x
模糊集A是一个集合，是由隶属度 A 来表示元素 是否所属于模糊集A的特征。即： 这样的函数，若： A M , x A, 总有：
x
A
X M
:
M称为隶属度空间
表示x属于模糊集A的程度或等级
例3:
0.5 0.3 A , 0.4 0.8 0.8 0.5 B 0.3 0.7
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.5 0.4 0.8 0.4 0.3 0.8 0.7
R ( x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系.
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中：
X X1 X 2 X n
中的n元模糊集R
R ( x1, x2 , xn )
i 1,2, n
来表示的模糊集R
xi X i
例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
（B C）（ A B）（A C） A （B C）（ A B）（A C）
（A （8）
（9）
A A
A B A B ———— A B A B
————
（10）
(德· 莫尔甘定律)
（11）
A ，A A A A，A
对应为数学关系式表示为：
A B A ( x) B ( x)
空集 所谓模糊集A是空集，就是指对
x X
有 即有：
A ( x) 0
记作
A 0
模糊集的包含关系
模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中，若A是被包含于 B的子集，表示对于 x X 有: 记为： 即有：
aij bij
记作:
AB
（2）包含： 模糊矩阵:
A aij
B bij
aij bij
例2
A B
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
A B
（3）模糊矩阵的和:
cij max aij
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.5 0.3 0.4 0.3 0.8 0.7 0.3 0.7
(5)余模糊矩阵： A 模糊矩阵 例4 设
性质1模糊关系的合成满足结合律性质3若有第七章模糊矩阵71模糊矩阵72模糊矩阵的运算73模糊矩阵的基本公式71模糊矩阵设xy中的模糊关系为r能用mn矩阵表示图81模糊关系的矩阵表示图72模糊关系的矩阵图73布尔矩阵模糊矩阵的例子苹果球
第六章
模糊集合的基本概念与模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 6.2 模糊集运算的基本性质 6.3 模糊的集的代数运算
AT
0.8 0.7 A 0.5 0.3
0.8 0.5 A 0.7 0.3
T
（8）单位模糊矩阵
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
(9)零模糊矩阵：
0 o 0 0
0 0 0
0 0 0
（10）全称模糊矩阵：
X
，R1R2 ( x, y) sup min ( x , ), ( , y ) R R 1 2
简写:
R
1
R2
( x, y) ( x , ) ( , y ) R R 1 2
例 4 设R为
x
y
的模糊关系 :
隶属度函数 :
A A
A B，B A
则 则
AB
A B，B C
A A A A A A A B B A A B B A
AC
（5）
（6）
（A B） C A （B C） （A B） C A （B C）
（7）
（A （A B） A A （A B） A
7.1模糊矩阵
设X×Y中的模糊关系为R ,能用m×n矩阵表示 :
, （ （ R x1 , y1 ), （ R x1 , y2 ), R x1 , yn ) （x , y ), （x , y ), , （x , y ) R 2 n R 2 1 R 2 2 , （ R xm , y1 ), （ R xm , y2 ), R xm , yn ) （
例5 设
0.8 0.7 A , 0.5 0.3
0.2 0.4 B 0.6 0.9
(0.8 0.2) (0.7 0.6) (0.8 0.4) (0.7 0.9) A B (0.5 0.2) (0.3 0.6) (0.5 0.4) (0.3 0.9) 0.6 0.7 0.3 0.4
_
_
A aij
1 aij
0.4 0.3 A 0.8 0.5
1 0.4 1 0.3 0.6 0.7 A 1 aij 1 0.8 1 0.5 0.2 0.5
（6）模糊矩阵积： A 模糊矩阵 aij
图8.1 模糊关系的矩阵表示
例1 模糊矩阵的例子
{苹果，球，……，四棱锥}7个对象, 用模糊矩阵表示的的“相似”关系
1 1 0 1 0 1 0
图7.2 模糊关系的矩阵
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
图7.3布尔矩阵
模糊矩阵表示:
a11 a A 21 an1
简记:
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A aij
0 aij 1
1 i, j n
B bij
7.2模糊矩阵的运算： （1）相等： A aij
A ( x) B ( x)
A B
A B A ( x) B ( x)
图6.2
A B
模糊集的补集 模糊集A的补集，定义为对于 A的补集: 即有: 模糊集的并集 模糊集A、B的并集，定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的 模糊集。记为 A B 即有： C A B C ( x) max A , B 设CA B
A B AB
绝对差 模糊集A，B的绝对差，以 可定义如下：
表示:
A B
图6.5 模糊集A，B的绝对差
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X Y x, y x X , y Y
X Y
它以隶属度函数
中的模糊关系R，就是在 来表示特征的模糊集R 若 X Y 则把 X X
n
( R Ri )
i 1 n
( Ri R)
i 1
性质5
n R Ri i 1 n Ri R i 1
n
( R Ri )
i 1 n i i 1
( Ri R )
第七章 模糊矩阵
7.1模糊矩阵 7.2模糊矩阵的运算 7.3模糊矩阵的基本公式
x X
记作:
有:
__
( x) 1 A ( x)
A
A
A ( x) 1 A ( x)
A
隶属度函数可表示为： C ( x) max A ( x), B ( x) , x X
模糊集的交集
模糊集A、B的交集记作
A B
设: 定义被A，B两者包含之内最大的模糊集
模糊关系的基本性质： 性质1 模糊关系的合成满足结合律
( A B) C A ( B C )
性质2
I RR I R O R R OO E RR EE
若有
性质3
S T
R SR T S R T R
性质4
n R Ri i 1 n Ri R i 1
CA B
， ： 则其隶属度函数可表示为
C ( x) min A ( x), B ( x), x X
C A B C ( x) min A , B
图6.3 补集
A
_
图6.4 模糊集的并集、交集与代数集
6.2 模糊集运算的基本性质
（1）
（2） （3） （4）
0 1 （ ）= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
R R 合成模糊关系:
0 合成隶属度函数 : 1 100 R （ ）= R x, y 1 x y 2 2
x y x y
X X1 X 2 若X是指实数轴,则“x比y大得多”
隶属度函数:
0 1 （ ）= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
模糊关系的合成
设
R1, R2 为 X 2 中的模糊关系，则
R1, R2
记为: 的合成，还是
X2
中的模糊关系
R1 R2
( A B)k Ak Bk
同样地
0.4 0.3 B A 0.6 0.6
由此可知，一般来说 在特殊情况下当 若A、B可换，有： (7)转置模糊矩阵 模糊矩阵 转置模糊矩阵 例6 若设 转置模糊矩阵
A BB A
A BB A
称A与B可换。
( A B)k Ak Bk
A a ij
M:{0，1} A: 通常意义下的集合 靠近1，则表示x属于A的程度高， ( x ) 值 A 靠近0， 则表示x属于A的程度低，
图6.1
A x | x
0 的示意
模糊集相等 有两个模糊集A、B，所有的x当 有： x X
A ( x) B ( x)
其中：
记为 A=B
A 与 B 分别是模糊集A、B的隶属度函数
B bij
C A B cij max min aik , bkj aik bkj k k
a11 a12 A , a21 a22
则:
b11 b12 B b b 21 22
(a11 b11 ) (a12 b21 ) (a11 b12 ) (a12 b22 ) A B ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) 21 11 22 21 21 12 22 22
（12）
A
6.3 模糊的集的代数运算
代数积 模糊集的代数积，记为AB，其隶属度函数可定义:
AB A B
代数和 模糊集A，B的代数和，记为 其隶属度函数定义：
代数和
A B
AB A B AB
——
A B 用代数和用补的来定义：
, bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（4）模糊矩阵的直积
A aij
B bij
cij min aij
, bij aij bij
模糊矩阵A与B的直积C表示为：
C cij A B
1 1 1 E 1 1 1 1 1 1
7.3模糊矩阵的基本公式 （1）对于一切模糊矩阵A，有 （2） （3）若 （4）若 （5） （6）
o A E
（反对称律）
A A
A B, B A, A B, B C ,
（自反律）
AB
则
AC
6.4 模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 模糊集
设X为空间，空间中的点或元素
x
以来表示，即: X x
模糊集A是一个集合，是由隶属度 A 来表示元素 是否所属于模糊集A的特征。即： 这样的函数，若： A M , x A, 总有：
x
A
X M
:
M称为隶属度空间
表示x属于模糊集A的程度或等级
例3:
0.5 0.3 A , 0.4 0.8 0.8 0.5 B 0.3 0.7
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.5 0.4 0.8 0.4 0.3 0.8 0.7
R ( x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系.
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中：
X X1 X 2 X n
中的n元模糊集R
R ( x1, x2 , xn )
i 1,2, n
来表示的模糊集R
xi X i
例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
（B C）（ A B）（A C） A （B C）（ A B）（A C）
（A （8）
（9）
A A
A B A B ———— A B A B
————
（10）
(德· 莫尔甘定律)
（11）
A ，A A A A，A
对应为数学关系式表示为：
A B A ( x) B ( x)
空集 所谓模糊集A是空集，就是指对
x X
有 即有：
A ( x) 0
记作
A 0
模糊集的包含关系
模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中，若A是被包含于 B的子集，表示对于 x X 有: 记为： 即有：
aij bij
记作:
AB
（2）包含： 模糊矩阵:
A aij
B bij
aij bij
例2
A B
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
A B
（3）模糊矩阵的和:
cij max aij
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.5 0.3 0.4 0.3 0.8 0.7 0.3 0.7
(5)余模糊矩阵： A 模糊矩阵 例4 设
性质1模糊关系的合成满足结合律性质3若有第七章模糊矩阵71模糊矩阵72模糊矩阵的运算73模糊矩阵的基本公式71模糊矩阵设xy中的模糊关系为r能用mn矩阵表示图81模糊关系的矩阵表示图72模糊关系的矩阵图73布尔矩阵模糊矩阵的例子苹果球
第六章
模糊集合的基本概念与模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 6.2 模糊集运算的基本性质 6.3 模糊的集的代数运算
AT
0.8 0.7 A 0.5 0.3
0.8 0.5 A 0.7 0.3
T
（8）单位模糊矩阵
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
(9)零模糊矩阵：
0 o 0 0
0 0 0
0 0 0
（10）全称模糊矩阵：
X
，R1R2 ( x, y) sup min ( x , ), ( , y ) R R 1 2
简写:
R
1
R2
( x, y) ( x , ) ( , y ) R R 1 2
例 4 设R为
x
y
的模糊关系 :
隶属度函数 :
A A
A B，B A
则 则
AB
A B，B C
A A A A A A A B B A A B B A
AC
（5）
（6）
（A B） C A （B C） （A B） C A （B C）
（7）
（A （A B） A A （A B） A
7.1模糊矩阵
设X×Y中的模糊关系为R ,能用m×n矩阵表示 :
, （ （ R x1 , y1 ), （ R x1 , y2 ), R x1 , yn ) （x , y ), （x , y ), , （x , y ) R 2 n R 2 1 R 2 2 , （ R xm , y1 ), （ R xm , y2 ), R xm , yn ) （
例5 设
0.8 0.7 A , 0.5 0.3
0.2 0.4 B 0.6 0.9
(0.8 0.2) (0.7 0.6) (0.8 0.4) (0.7 0.9) A B (0.5 0.2) (0.3 0.6) (0.5 0.4) (0.3 0.9) 0.6 0.7 0.3 0.4
_
_
A aij
1 aij
0.4 0.3 A 0.8 0.5
1 0.4 1 0.3 0.6 0.7 A 1 aij 1 0.8 1 0.5 0.2 0.5
（6）模糊矩阵积： A 模糊矩阵 aij
图8.1 模糊关系的矩阵表示
例1 模糊矩阵的例子
{苹果，球，……，四棱锥}7个对象, 用模糊矩阵表示的的“相似”关系
1 1 0 1 0 1 0
图7.2 模糊关系的矩阵
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
图7.3布尔矩阵
模糊矩阵表示:
a11 a A 21 an1
简记:
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A aij
0 aij 1
1 i, j n
B bij
7.2模糊矩阵的运算： （1）相等： A aij
A ( x) B ( x)
A B
A B A ( x) B ( x)
图6.2
A B
模糊集的补集 模糊集A的补集，定义为对于 A的补集: 即有: 模糊集的并集 模糊集A、B的并集，定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的 模糊集。记为 A B 即有： C A B C ( x) max A , B 设CA B
A B AB
绝对差 模糊集A，B的绝对差，以 可定义如下：
表示:
A B
图6.5 模糊集A，B的绝对差
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X Y x, y x X , y Y
X Y
它以隶属度函数
中的模糊关系R，就是在 来表示特征的模糊集R 若 X Y 则把 X X
n
( R Ri )
i 1 n
( Ri R)
i 1
性质5
n R Ri i 1 n Ri R i 1
n
( R Ri )
i 1 n i i 1
( Ri R )
第七章 模糊矩阵
7.1模糊矩阵 7.2模糊矩阵的运算 7.3模糊矩阵的基本公式
x X
记作:
有:
__
( x) 1 A ( x)
A
A
A ( x) 1 A ( x)
A
隶属度函数可表示为： C ( x) max A ( x), B ( x) , x X
模糊集的交集
模糊集A、B的交集记作
A B
设: 定义被A，B两者包含之内最大的模糊集
模糊关系的基本性质： 性质1 模糊关系的合成满足结合律
( A B) C A ( B C )
性质2
I RR I R O R R OO E RR EE
若有
性质3
S T
R SR T S R T R
性质4
n R Ri i 1 n Ri R i 1
CA B
， ： 则其隶属度函数可表示为
C ( x) min A ( x), B ( x), x X
C A B C ( x) min A , B
图6.3 补集
A
_
图6.4 模糊集的并集、交集与代数集
6.2 模糊集运算的基本性质
（1）
（2） （3） （4）
0 1 （ ）= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
R R 合成模糊关系:
0 合成隶属度函数 : 1 100 R （ ）= R x, y 1 x y 2 2
x y x y
X X1 X 2 若X是指实数轴,则“x比y大得多”
隶属度函数:
0 1 （ ）= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
模糊关系的合成
设
R1, R2 为 X 2 中的模糊关系，则
R1, R2
记为: 的合成，还是
X2
中的模糊关系
R1 R2
( A B)k Ak Bk
同样地
0.4 0.3 B A 0.6 0.6
由此可知，一般来说 在特殊情况下当 若A、B可换，有： (7)转置模糊矩阵 模糊矩阵 转置模糊矩阵 例6 若设 转置模糊矩阵
A BB A
A BB A
称A与B可换。
( A B)k Ak Bk
A a ij
M:{0，1} A: 通常意义下的集合 靠近1，则表示x属于A的程度高， ( x ) 值 A 靠近0， 则表示x属于A的程度低，
图6.1
A x | x
0 的示意
模糊集相等 有两个模糊集A、B，所有的x当 有： x X
A ( x) B ( x)
其中：
记为 A=B
A 与 B 分别是模糊集A、B的隶属度函数
B bij
C A B cij max min aik , bkj aik bkj k k
a11 a12 A , a21 a22
则:
b11 b12 B b b 21 22
(a11 b11 ) (a12 b21 ) (a11 b12 ) (a12 b22 ) A B ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) 21 11 22 21 21 12 22 22