模糊集合的基本概念与模糊关系

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A A A

(12)
A
6.3 模糊的集的代数运算
代数积 模糊集的代数积,记为AB,其隶属度函数可定义:
AB A B
代数和 模糊集A,B的代数和,记为 其隶属度函数定义:
代数和
A B
AB A B AB
——
A B 用代数和用补的来定义:
, bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
(4)模糊矩阵的直积
A aij
B bij
cij min aij
, bij aij bij
模糊矩阵A与B的直积C表示为:
C cij A B
1 1 1 E 1 1 1 1 1 1
7.3模糊矩阵的基本公式 (1)对于一切模糊矩阵A,有 (2) (3)若 (4)若 (5) (6)
o A E
(反对称律)
A A
A B, B A, A B, B C ,
(自反律)
AB

AC
6.4 模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 模糊集
设X为空间,空间中的点或元素
x
以来表示,即: X x
模糊集A是一个集合,是由隶属度 A 来表示元素 是否所属于模糊集A的特征。即: 这样的函数,若: A M , x A, 总有:
x
A
X M
:
M称为隶属度空间
表示x属于模糊集A的程度或等级
例3:
0.5 0.3 A , 0.4 0.8 0.8 0.5 B 0.3 0.7
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.8 0.5 0.4 0.8 0.4 0.3 0.8 0.7
R ( x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系.
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中:
X X1 X 2 X n
中的n元模糊集R
R ( x1, x2 , xn )
i 1,2, n
来表示的模糊集R
xi X i
例1 设x,y为汽车,则“x比y好”这种关系就是模糊关系 例2 设x,y指人,则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
(B C)( A B)(A C) A (B C)( A B)(A C)
(A (8)
(9)
A A
A B A B ———— A B A B
————

(10)
(德· 莫尔甘定律)
(11)
A ,A A A A,A
对应为数学关系式表示为:
A B A ( x) B ( x)
空集 所谓模糊集A是空集,就是指对
x X

有 即有:
A ( x) 0
记作
A 0
模糊集的包含关系
模糊集的包含关系是指在模糊集A、B中,若A是被包含于 B的子集,表示对于 x X 有: 记为: 即有:
aij bij
记作:
AB
(2)包含: 模糊矩阵:
A aij
B bij
aij bij
例2
A B
0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.7 0.8 0.9
A B
(3)模糊矩阵的和:
cij max aij
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B 0.4 0.8 0.3 0.7 0.5 0.8 0.3 0.5 0.5 0.3 0.4 0.3 0.8 0.7 0.3 0.7
(5)余模糊矩阵: A 模糊矩阵 例4 设
性质1模糊关系的合成满足结合律性质3若有第七章模糊矩阵71模糊矩阵72模糊矩阵的运算73模糊矩阵的基本公式71模糊矩阵设xy中的模糊关系为r能用mn矩阵表示图81模糊关系的矩阵表示图72模糊关系的矩阵图73布尔矩阵模糊矩阵的例子苹果球
第六章
模糊集合的基本概念与模糊关系
6.1 模糊集的若干基本概念 6.2 模糊集运算的基本性质 6.3 模糊的集的代数运算
AT
0.8 0.7 A 0.5 0.3
0.8 0.5 A 0.7 0.3
T
(8)单位模糊矩阵
1 0 0 I 0 1 0 0 0 1
(9)零模糊矩阵:
0 o 0 0
0 0 0
0 0 0
(10)全称模糊矩阵:
X
,R1R2 ( x, y) sup min ( x , ), ( , y ) R R 1 2
简写:
R
1
R2
( x, y) ( x , ) ( , y ) R R 1 2

例 4 设R为
x
y
的模糊关系 :
隶属度函数 :
A A
A B,B A
则 则
AB
A B,B C
A A A A A A A B B A A B B A
AC
(5)
(6)
(A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
(7)
(A (A B) A A (A B) A
7.1模糊矩阵
设X×Y中的模糊关系为R ,能用m×n矩阵表示 :
, ( ( R x1 , y1 ), ( R x1 , y2 ), R x1 , yn ) (x , y ), (x , y ), , (x , y ) R 2 n R 2 1 R 2 2 , ( R xm , y1 ), ( R xm , y2 ), R xm , yn ) (
例5 设
0.8 0.7 A , 0.5 0.3
0.2 0.4 B 0.6 0.9
(0.8 0.2) (0.7 0.6) (0.8 0.4) (0.7 0.9) A B (0.5 0.2) (0.3 0.6) (0.5 0.4) (0.3 0.9) 0.6 0.7 0.3 0.4
_
_
A aij
1 aij
0.4 0.3 A 0.8 0.5
1 0.4 1 0.3 0.6 0.7 A 1 aij 1 0.8 1 0.5 0.2 0.5
(6)模糊矩阵积: A 模糊矩阵 aij
图8.1 模糊关系的矩阵表示
例1 模糊矩阵的例子
{苹果,球,……,四棱锥}7个对象, 用模糊矩阵表示的的“相似”关系
1 1 0 1 0 1 0
图7.2 模糊关系的矩阵
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
图7.3布尔矩阵
模糊矩阵表示:
a11 a A 21 an1
简记:
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
A aij
0 aij 1
1 i, j n
B bij
7.2模糊矩阵的运算: (1)相等: A aij
A ( x) B ( x)
A B
A B A ( x) B ( x)
图6.2
A B
模糊集的补集 模糊集A的补集,定义为对于 A的补集: 即有: 模糊集的并集 模糊集A、B的并集,定义为包含模糊集A、B两者在内的最小的 模糊集。记为 A B 即有: C A B C ( x) max A , B 设CA B
A B AB
绝对差 模糊集A,B的绝对差,以 可定义如下:

表示:
A B
图6.5 模糊集A,B的绝对差
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X Y x, y x X , y Y
X Y
它以隶属度函数
中的模糊关系R,就是在 来表示特征的模糊集R 若 X Y 则把 X X
n
( R Ri )
i 1 n
( Ri R)
i 1
性质5
n R Ri i 1 n Ri R i 1
n
( R Ri )
i 1 n i i 1
( Ri R )
第七章 模糊矩阵
7.1模糊矩阵 7.2模糊矩阵的运算 7.3模糊矩阵的基本公式

x X
记作:
有:
__
( x) 1 A ( x)
A
A

A ( x) 1 A ( x)
A
隶属度函数可表示为: C ( x) max A ( x), B ( x) , x X
模糊集的交集
模糊集A、B的交集记作
A B
设: 定义被A,B两者包含之内最大的模糊集
模糊关系的基本性质: 性质1 模糊关系的合成满足结合律
( A B) C A ( B C )
性质2
I RR I R O R R OO E RR EE
若有
性质3
S T
R SR T S R T R
性质4
n R Ri i 1 n Ri R i 1
CA B
, : 则其隶属度函数可表示为
C ( x) min A ( x), B ( x), x X
C A B C ( x) min A , B
图6.3 补集
A
_
图6.4 模糊集的并集、交集与代数集
6.2 模糊集运算的基本性质
(1)
(2) (3) (4)
0 1 ( )= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
R R 合成模糊关系:
0 合成隶属度函数 : 1 100 R ( )= R x, y 1 x y 2 2
x y x y
X X1 X 2 若X是指实数轴,则“x比y大得多”
隶属度函数:
0 1 ( )= R x, y 1 100 2 ( x y )
x y x y
模糊关系的合成

R1, R2 为 X 2 中的模糊关系,则
R1, R2
记为: 的合成,还是
X2
中的模糊关系
R1 R2
( A B)k Ak Bk
同样地
0.4 0.3 B A 0.6 0.6
由此可知,一般来说 在特殊情况下当 若A、B可换,有: (7)转置模糊矩阵 模糊矩阵 转置模糊矩阵 例6 若设 转置模糊矩阵
A BB A
A BB A
称A与B可换。
( A B)k Ak Bk
A a ij
M:{0,1} A: 通常意义下的集合 靠近1,则表示x属于A的程度高, ( x ) 值 A 靠近0, 则表示x属于A的程度低,
图6.1
A x | x
0 的示意
模糊集相等 有两个模糊集A、B,所有的x当 有: x X
A ( x) B ( x)
其中:
记为 A=B
A 与 B 分别是模糊集A、B的隶属度函数
B bij
C A B cij max min aik , bkj aik bkj k k
a11 a12 A , a21 a22
则:
b11 b12 B b b 21 22
(a11 b11 ) (a12 b21 ) (a11 b12 ) (a12 b22 ) A B ( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) 21 11 22 21 21 12 22 22
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