电工基础 第3章 电路分析的网络方程法

第3章 电路分析的网络方程法
1 R2 i2 2
is1
i1
i3
R1
R3
0
i4
R4
＋
us4
－
图3.5 节点分析法
第3章 电路分析的网络方程法
以图3.5为例， 电路中有3个节点， 分别为0、 1、 2。 设节点0为参考节点， 节点1和节点2到参考节点的 电压分别为u1和u2。 根据KCL， 可以列两个独立的电 流方程
2
3A 3 1
＋
2
4i 1
－
i2
0
图3.7 例3.6图
第3章 电路分析的网络方程法
解 设节点0为参考节点， 那么， 节点电压为u1和 u2。 节点1的节点电压方程为
3
1
1
1 4
u1
u2 4
3 0.5i2
由图3.7可得
u2
4i1, i1
u1
u2 4
, i2
u2 2
联立上述各式， 解之得
i1=1.5 A, i2=3 A
G11u1+G12u2+… +G1(n-1)u(n-1)=is11 G21u1+G22u2+… +G2(n-1)u(n-1)=is22
…
G(n-1)1u1+G(n-1)2u2+… +G(n-1)(n-1)u(n-1)=is(n-1)(n-1)
（3-8）
方程组（3-8）可写成通式， 对于第k个节点， 其
电路分析的网络方程法图38电路分析的网络方程法33回路分析法331回路电流法及其一般形式在电路中以假想的回路电流为电路变量通过kvl列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方解方程求出回路电流再利用回路电流求各支路电流及电压的分析方法称之为回路分析法或回路电电路分析的网络方程法图39回路分析法电路分析的网络方程法下面我们来看一下回路电流法的方程形式
第3章 电路分析的网络方程法
【思考与练习题】
1. 如果电路中有n个节点， 可列几个独立的节点电 压方程?
2. 若电路中存在两个节点0和1点， 设节点0为参考
节点， 则节点电压为u1， 这时， 电路不存在互导， 其节点电压方程为G11u1=is11， 我们把这个结论称为弥 尔曼定理。 试用此定理证明， 图3.8所示电路的节点电
R12=R21=-R3， R12和R21为回路Ⅰ和回路Ⅱ公有支路电阻 和的相反数， 称其为回路Ⅰ和回路Ⅱ的互阻； 令
us1 us2
us
3
us3
将 iR1 i1,iR2 i2, iR3 i1 i2 代入上式得
R1i1+R3(i1-i2)=us1-us3 R2i2-R3(i1-i2)=-us2+us3
第3章 电路分析的网络方程法
若令R11=R1+R3, R22=R2+R3, R11和R22分别为回路Ⅰ 和回路Ⅱ中所有电阻之和， 分别称其为自阻； 令
4
0
图3.6 例3.5图
第3章 电路分析的网络方程法
节点2的节点电压方程为
(1
1 2
)u1
1
1 2
1 2
u2
3
6 2
3
解之得 u2=6 V
电流为
ix
u1
u2 2
6
12
66 2
0A
第3章 电路分析的网络方程法
方法二： 设节点2为参考节点， 则节点电压为u0 和u1， 12 V电压源上的电流为i， 则节点电压方程组为
第3章 电路分析的网络方程法
例3.5 如图3.6所示的电路， 试用节点电压法求电 流ix。
解 方法一： 设节点0为参考节点， 则节点电压为 u1和u2。
因为u1=u10=12 V， 所以只有u2为待求量， 列一个 方程即可。
第3章 电路分析的网络方程法
－＋
2 6V
1
i
＋
12 V
－
1
ix 2
3A
2 3
u4-u5-u6=0
第3章 电路分析的网络方程法
根据VCR， 各支路电流、 电压关系可表示为
u1=R1i1-us1, u2=R2i2, u3=R3i3, u4=R4i4, u5=R5i5, u6=R6i6 代入方程组（3-2）得
R1i1+R3i3-R4i4=us1 R2i2-R3i3+R5i5=0 R4i4-R5i5-R6i6=0
第3章 电路分析的网络方程法
R1 iR1
R2 iR2
＋
R3
＋
us1
Ⅰ ＋ iR3 Ⅱ
us2
－
i1 us3
i2
－
－
图3.9 回路分析法
第3章 电路分析的网络方程法
下面我们来看一下回路电流法的方程形式。 在图 3.9所示的电路中， 根据KVL， 有
R1iR1 R2iR2
R3iR3 R3iR3
（3-3）
第3章 电路分析的网络方程法
方程组 （3-3）可归纳为 ∑Rkik=∑usk
（3-4）
第3章 电路分析的网络方程法
例3.1 电路如图3.1所示， 若R1=4 Ω, R2=1.5 Ω, R3=2 Ω, R4=8 Ω, R5=4 Ω, R6=20/9Ω, us1=40 V。
例3.2 如图3.2(a)所示， 已知R1=2 Ω, R2=6 Ω, R3=3 Ω, us1=8 V, us2=6 V, is3=3 A。 求各支路电流。
压为
n
Gkusk
u1
k 1 n
k 1
1 Rk
第3章 电路分析的网络方程法
1
R1
R2
Rn
＋
＋
…
＋
us1
us2
usn
－
－
－
0
图3.8 题2图
第3章 电路分析的网络方程法
3.3 回 路 分 析 法
3.3.1 回路电流法及其一般形式 在电路中， 以假想的回路电流为电路变量， 通过
KVL列出用回路电流表示支路电压的独立回路电压方 程， 解方程求出回路电流， 再利用回路电流求各支路 电流及电压的分析方法， 称之为回路分析法(或回路电 流法)。
第3章 电路分析的网络方程法
【思考与练习题】 1. 如图3.4所示的电路中， 试说明电路有几个节点， 几条支路， 能列几个独立的KCL和KVL电流方程。 2. 若电路中有b条支路， 则存在b个支路电流和b 个支路电压， 以支路电流和支路电压为未知量列方程 的分析方法称为2b法。 试试看， 以一个较简单的电路 为例， 列一个2b方程。
ia=i1=1 A ib=i2=2 A ic=is3+i3=3+(-1)=2 A
第3章 电路分析的网络方程法
i1
i2
R1
is ＋
＋
u
us1
－
－
R2
＋
us2
－
图3.3 例3.3图
第3章 电路分析的网络方程法
例3.3 如图3.3所示， 已知R1=4 Ω, R2=6 Ω, is=1 A, us1=20 V, us2=4 V。求各支路的电流。
设电路中有n个节点， b条支路， 可以证明， 由 KCL可列出n-1个独立的电流方程。 由KVL可列出 b-(n-1)个独立的电压方程， 联立可得b个独立方程。 若 把b-(n-1)个独立的电压方程中的电压用支路电流来表 示， 则可得b个独立的电流方程， 然后解方程组就可 求出各支路的电流。
第3章 电路分析的网络方程法
节点电压方程为
n 1
Gku j iskk
j 1
（3-9）
第3章 电路分析的网络方程法
3.2.2 应用节点电压法的解题步骤 应用节点电压法的解题步骤如下： （1） 确定参考节点及节点电压； （2） 确定各节点的自导和互导， 列出节点电压方程； （3） 解方程求各节点电压； （4） 由节点电压及KVL和VCR关系求各支路电流或电压。
3 2
u0
3
i
(1
1 2
)u1
6 2
i
两个节点间电压的关系为
联立解得
u1-u0=12 V u0=-6 V, u1=6 V, i=6 A
第3章 电路分析的网络方程法
电流为
ix
u1 2
6
6
2
6
0A
第3章 电路分析的网络方程法
例3.6 电路如图3.7所示， 求电流i1和i2。
0.5i 2
1
i1 4
第3章 电路分析的网络方程法
is1
R2
R3
R1
＋
＋
us2
us3
－
－
图 3.4 题1图
第3章 电路分析的网络方程法
3.2 节 点 分 析 法
3.2.1 节点分析法及其一般形式 在电路中任选某一节点做为参考节点， 其他节点
与此参考节点之间的电压称为节点电压。 节点电压的 参考极性规定参考节点为负， 其余独立节点为正。 节 点电压法是以节点电压为未知量， 在独立节点上， 根 据KCL列出用节点电压表示的支路电流方程， 通过解 方程组，求出节点电压， 借此再计算各支路电流的解 题方法。
第3章 电路分析的网络方程法
ia
R1
ic
＋
R3
us1
－
ib
is3
R2
R1
－
＋
us2
us1
＋
－
(a)
i1
a
i2
i3
R3
＋
R3is3
－
b
(b)
R2
－
us2
＋
图 3.2 例3.2图
第3章 电路分析的网络方程法
解 利用电源等效变换， 将图3.2(a)中R3与is3并联 组合等效变换成R3与R3is3串联组合。 如图3.2(b)所示， 设各支路电流分别为i1, i2和i3。
第3章 电路分析的网络方程法
例3.4 电路如图3.5所示， 若已知R1=3 Ω, R2=6 Ω, R3=9 Ω, R4=18 Ω, is1=4 A, us4=81 V。试用节点电压法求各 支路电流。
解 根据图中的节点电压u1, u2， 可列出节点电压方 程组为
1 R1
1 R2
u1
1 R2
u2
is1
i
2
R
2
d i5 R5 i6
图3.1 支路电流法
第3章 电路分析的网络方程法
独立的KVL方程数为b-(n-1)个， 即为3个。 若以3个
网孔作为基本回路， 并设各支路电压与电流为关联方向，
分别用u1, u2, u3, u4, u5和u6表示, 则有
u1+u3-u4=0
u2-u3+u5=0
（3-2）
1 R2
u1
1 R2
1 R3
1 R4
u2
us4 R4
第3章 电路分析的网络方程法
将已知条件代入得
1 3
1 6
u1
1 6
u2
4
1 6
u1
1 6
1 9
1 18
u2
81 18
解之得 u1=15 V, u2=21 V
第3章 电路分析的网络方程法
各支路电流为
i1
u1 R1
15 3
5A
i2
u1 u2 R2
15 21 6
1A
i3
u2 R3
21 9
7 3
A
i4
u2
us4 R4
21 81 18
10 3
A
第3章 电路分析的网络方程法
由上例可以看出： （1） 节点电压方程中的自导为该节点上各支路的 电导之和， 恒为正； 互导为连接这两个节点的所有支 路电导和的相反数， 恒为负。 如上例中， G11=1/R1+1/R2, G12=G21=-1/R2。 （2） iskk代表第k个节点上电源流入节点的电流。 如上例中， is11=is1。
根据支路电流法得
i1-i2-i3=0 R1i1+R3i3=us1-R3is3 R2i2-R3i3=R3is3+us2
第3章 电路分析的网络方程法
将已知条件代入得 i1-i2-i3=0 2i1+3i3=8-3×3 6i2-3i3=3×3+6
解之得 i1=1 A, i2=2 A, i3=-1 A 还原到图3.2(a)所示的电路， 各支路电流为
例如， 电路如图3.1所示， 电路中有4个节点， 6 条支路。 那么独立的KCL方程应该为3个。 以任意3个 节点列方程（若以a、 b、 c）得
i1-i2-i3=0 -i1-i4-i6=0 i3+i4+i5=0
（3-1）
第3章 电路分析的网络方程法
a i1 R1
＋
u s1
－
i3
b R3
i4
R
4
Rc 6
第3章 电路分析的网络方程法
式（3-5）也可写成 (G1+G2)u1-G2u2=is1 -G2u1+(G2+G3+G4)u2=G4us4
方程组（3-6）就可以写成 G11u1+G12u2=is11 G21u1+G22u2=is22
（3-6） （3-7）
第3章 电路分析的网络方程法
式（3-7）可以推广到多个节点的电路。 设电路中 有n个节点， 则有n-1个节点电压， 其方程组形式为
i1+i2=is1 -i2+i3+i4=0
第3章 电路分析的网络方程法
各支路根据VCR可得
i1
u1 R1
, i2
u1 u2 R2
, i3
u2 R3
, i4
u2 us4 R4
代入上式整理得
1 R1
1 R2
u1
1 R2
u2
is1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 R2
u1
1 R2
1 R3
1 R4
u2
us4 R4
（3-5）
解 方法一： 图3.3中有3条支路， 由于电流源所在 支路电流已知，故电路中有2条支路的电流未知， 设其 为i1和i2。
根据KCL得独立方程为
i1-i2+is=0
第3章 电路分析的网络方程法
根据KVL可知独立KVL方程应有2个， 但我们只需 1个方程， 所以选最外回路列方程， 有
R1i1+R2i2=us1-us2 将已知条件代入上述两式得
第3章 电路分析的网络方程法
第3章 电路分析的网络方程法
3.1 支路电流法 3.2 节点分析法 3.3 回路分析法 习题3
第3章 电路分析的网络方程法
3.1 支 路 电 流 法
若以支路电流为电路变量， 通过KCL、 KVL和 VCR列方程， 解方程求出各支路电流的方法，称为支 路电流法。
第3章 电路分析的网络方程法
i1-i2+1=0 4i1+6i2=20-4 解之得i1=1 A, i2=2 A
第3章 电路分析的网络方程法
方法二： 因电流源两端电压无法用各支路电流来 表示， 故设其为u。 根据支路电流法得
i1-i2+is=0 R1i1+u=us1 R2i2-u=-us2 解之得i1=1 A, i2=2 A, u=16 V