用列举法求概率

出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少?
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
1
分析：求解本题的
字的三位数中任意抽取一个数, 则该数是“V数”的概率为
第2课时
初中数学
九年级上册 RJ
知识回顾
上节课我们学习了哪些求概率的方法？
1.直接列举法.
2.列表法.
学习目标
1.进一步理解等可能事件概率的意义.
2.学习运用树形图计算事件的概率.
3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
课堂导入
小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红绿灯，
红、黄、绿三色灯亮的的可能性都相等，小红希望上
新知探究
知识点
以上用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次
数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并
求出概率的方法叫做画树状图法.
画树状图法求概率的适用条件是什么呢？
当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不
漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法.
用树状图法求概率的“四个步骤”
红 红 红黄 黄 黄绿 绿 绿 红 红 红黄 黄 黄绿 绿 绿 黄 黄 黄黄 黄 黄绿 绿 绿
红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
一共有27种情况，每种情况发生的可能性相等，
其中三个路口都为绿灯的情况只有 1 种，
1
所以3个路口都为绿灯的概率为 27
共有36种等可能的结果
有可能出现的结果.
第 1枚
第 2枚
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
2
3
4
5
6
(2,1)
(2,2 )
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,4)
(2,3 )
(2,4 )
(3,3)
(3,4)
(4,3)
(4,4)
(5,3)
(5,4)
(1,5)
(1,6)
1
2
3
4
1
2
3
4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(1,2)
(2,2 )
(3,2)
(4,2)
(1,3)
(2,3 )
(3,3) (4,3)
(1,4)
(2,4 )
(3,4)
(4,4)
随堂练习
1.把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放
在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：
1
(1) 抽出的牌是黑桃6； 13
①定
②画
确定该试
验的几个
步骤、顺
序、每一
步可能产
生的结果.
列举每
一步可
能出现
的结果,
得到树
状图.
③数
④算
数出所有
事件出现
代入公式
的结果数

P(A)=
n和A事件
计算概率
出现的结
果数m.
新知探究 跟踪训练
例1 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；
乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C,D和E；
(1) 其中两次摸出的小球标号相同的有(1,1)，(2,2)，
(3,3)，(4,4)，共4种，所以
4
1
P(两次摸出的小球标号相同)= = .
16
4
(2) 两次取出的小球标号的和等于4的情况有三种，即
(3,1)，(1,3)，(2,2) ，所以
3
P(两次摸出的小球标号的和等于4)=的概率为 ．
16
25.2 用列举法求概率
丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从
所以这个游戏公平.
“同时掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次掷
一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
第一次 第二次 所有可能的结果
(正,正)
(正,反)
(反,正)
(反,反)
随机事件“同时”
与“先后”的关
系：“两个相同
的随机事件同时
发生”与“一个
随机事件先后两
次发生”的结果
是一样的.
新知探究 知识点1
2
6
1
3
个数, 则该数是“V”数的概率为 = .
新知探究 知识点2
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两枚骰子的点数相同；
(2)两枚骰子点数的和是9；
(3)至少有一枚骰子的点数为2.
除了直接列举法，还有什么办法能不重
不漏地列举出所有可能出现的结果呢？
解：两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可以用下表列举出所-6Leabharlann -2 0020
2
共 20 种结果 积是正数： 4 种
4
1
P(所抽卡片上的数的积是正数) = 20 =
5
课堂小结
关键
列举法
常用
方法
正确列举出所有等
可能出现的结果.
直接列举法
列表法
前提条件
基本步骤
适用对象
确保试验中每种
结果出现的可能
性大小相等.
① 列表;② 确定
m,n的值; ③代入
概率公式计算.
转盘(2) 颜色
红
黄
蓝
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（蓝，蓝）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（蓝，黄）
红
（红，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
（蓝，黄）
红
（红，红）
（黄，红）
（蓝，红）
由上表可知，共有15种等可能的结果，其中可以配成
3
1
紫色的结果有3种，所以P(可以配成紫色) = = .
15
5
2.一个不透明的袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为
第1次
为什么对角线上的数据没列出来呢？
本题是不放回试验,不可能抽到两张数相同
积
-3 -1 0 1 2
的卡片,所以列表格里要排除掉两张卡片上
第2次
“不放回”试验反映在表格上就是去
-3
3 0 -3 -6 的数相同的情况.
-1 3
0 -3 6 掉表格中一条对角线上的所有结果
解：列表如下
0
1
2
0 0
-3 -1 0
14
7
所以所求概率为 = .
36
18
3.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它
们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球然后放回，再
随机摸出一个小球，求下列事件的概率.
(1) 两次摸出的小球的标号相同；
(2) 两次摸出的小球标号的和等于4.
解：由题意得随机地摸出一个小球，然后放回，再随
机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果，
课堂导入
同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：
(1) 两枚硬币全部正面向上；
(2) 两枚硬币全部反面向上；
(3) 一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上.
分析:“掷两枚硬币”所有结果如下.
正正
正反
反正
反反
解:列举抛掷两枚硬币所能产生的所有结果，它们是：
正正，正反，反正，反反.
(1)其中两枚硬币全部正面向上(记为事件A)的结果有1种，
同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，若
落地后一正一反，老师赢；若落地后两面
一样，学生赢. 那么这个游戏公平吗？
只需比较老师赢和学生赢
的概率是否一样就可以了.
一共有结果
4种
一正一反的结果 2种
2
1
P(老师赢) = = .
4
2
2
1
P(学生赢)= = .
4
2
两面一样的结果 2种
答：因为P(老师赢) = P(学生赢)，
=
()
36 9
6
当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结
果数目较多时，为不重不漏地列出所有等可能的结果，
通常采用列表法。
包括两种情况:
(1)同时进行两种相同的操作;
(2)先后进行两次相同的操作.
运用列表法求概率的步骤
①列表
②通过表格确定公式中m, n的值

③利用P(A)= 计算事件的概率
(2,5 )
(2,6 )
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
(1,2)
(1,3)
(3)记至少有一枚骰子的点数为2为事件C.
(1)记两枚骰子的点数相同为事件A.
(2)记两枚骰子的点数的和是9为事件B.
11种
4种
6种
11
6
4
1
()
=
()
1
(2) 抽出的牌是黑桃10；
13
3
(3) 抽出的牌带有人像；
13 4
(4) 抽出的牌上的数小于5； 13
(5) 抽出的牌的花色是黑桃.
1
2.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其
他差别.随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸
出一个.求下列事件的概率：
(1) 第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
(2) 两次都摸到相同颜色的小球；
(3) 两次摸到的小球中一个绿球、一个红球.
解：所有等可能的结果为红红、红绿、绿红、绿绿，
共4种情况，
(1) 第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况有1种，
1
4
则(第一次摸到红球，第二次摸到绿球) = .
(2) 两次都摸到相同颜色的小球的情况有2种，则
2
4
1
2
(两次都摸到相同颜色的小球) = = .
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少
时,就可以直接列举出所有等可能的结果,再利用概率公式

P(A)= (在一次试验中,有n种等可能的结果,事件A包含其中
的m种结果)求事件发生的概率的方法,我们称为直接列举法.
注意:(1)为保证结果不重不漏，直接列举时,要有一定的顺序性.
(2)用列举法求概率的前提条件有两个:
1
即“正正”,所以 = 4 .
(2) 两枚硬币全部反面向上(记为事件B)的结果有1种，即
1
“正反”，所以 () = 4
(3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上(记为事件C) 的
1
结果共有两种，即“反正”“正反”所以 () = 2.
技巧点拨：先列出硬币落地后所有可能出现的结果，再分
别数出各种事件发生的结果数，最后带入概率公式求解。
D. 2
3
4
2
3
解：列表如下：由表可知，共有4种等可能的结果，
其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
1
2
2 1
1
2
3
所以两次记录的数字之和为3的概率为 =
4 2
2
3
4
故选：C
2.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1, 2, 3, 4, 5, 6.随机
抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取
列表法中表格构造特点:
列表时，列举
顺序不能颠倒.
另一个因素所
包含的可能情
况
一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合
的所有可能情况
新知探究 跟踪训练
例2 利用如图所示的两个转盘玩配紫色游戏(红色和蓝
色可以配成紫色)，两个转盘各转一次，则指针所指区
域可以配成紫色的概率为多少?
解：列表如下.
转盘(1) 颜色
用列举法求概率
知识回顾
概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，
并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种


结果，那么事件A发生的概率为：P(A)=
学习目标
1.知道“直接列举法”和“列表法”求随机事件
的概率的适用条件.
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.
(3) 两次摸到的球中一个绿球、一个红球的情况共2种，
2
4
1
2
则(两次摸到的小球中一个绿球、一个红球) = = .
3.五张形状、大小、背面完全相同的卡片上分别标有数-3,
-1,0,1,2,将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中任意抽
取两张，则所抽卡片上的数的积是正数的概率是多少？
隐含“不放回”.
易错警示：混淆“放回”与“不放回”致错
两个试验因
素或分两步
进行的试验.
对接中考
1.（2020•北京中考）不透明的袋子中有两个小球，上面分别
写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从
中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随
机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为
3的概率是（
）
C
A. 1
B. 1
C. 1
1,2,3,4.随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球.
求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球标号相同；
(2)两次取出的小球标号和等于4.
解:(1)记两次取出的小球标号
4
1
相同为事件A. () = 16 = 4
(2)记两次取出的小球标号和等
3
于4为事件B. () = 16
第1次
第2次