人教A版新课标高中数学必修二教案 《平面向量基本定理》

《平面向量基本定理》教学设计

本节课在《平面向量》这一章中处于核心地位，具有统领全局的作用．平面内任一向量

都可以由平面内两个不共线的向量12,u r u u r e e 表示出来．当12,u r u u r

e e 确定后，任意一个向量都可以由

这两个向量量化，为研究向量问题带来极大的方便．

在此之前，学生已经掌握了向量的线性运算及共线向量定理．另外，学生在物理学科中也学习过力的分解、位移的分解、速度的分解等模型，为本节课的学习提供了知识准备．

本节将学习的平面向量基本定理是从现实生活中的位移、力、速度的分解这些实际背景抽象而成，它既是前面知识的深化和应用，又是后面学习向量坐标表示的基础；既是平面图形中任一向量都可以由两个不共线向量量化的依据，也是搭建向量的几何运算和代数运算的桥梁，同时又为空间向量的学习奠定基础，具有承前启后的作用．

（1）从具体情境中抽象出平面向量基本定理，培养学生抽象概括的能力． （2）掌握平面向量基本定理，体会数学研究的一般过程．

1．教学问题：

（1）学习过程中，学生对于向量共线定理中“r

a 是非零向量”这一条件的忽视，容易

导致对“平面中不共线的两个向量”的忽视．

（2）利用平行四边形法则进行向量的分解是一个难点．

2．教学支持条件：方格（斜格）纸，科大讯飞问答系统．

【问题1】（1）位于水平地面上的质量为M 的小木块，木块与地面之间的摩擦系数是μ，在大小为F 、方向与水平方向成α角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动．问拉力F 是多少？

（2）两位同学共同提一桶水，水和桶的总质量是15 kg ，两人的手臂与竖直方向的夹角都是30°，假设这两位同学所用的力相同，那么这两位同学用力大小为多少？

◆教材分析

◆教学目标

◆课前准备

◆教学过程

【设计意图】在学生的认知基础上创设情境，建构定理模型．从力的作用的实际效果出

发进行力的分解，引发学生思考向量分解的必要性，以及对于给定的向量可以分解成两个不共线的向量的线性组合的方法．

【师生活动】

（1）学生：本质上是做力的分解． （2）老师：你如何分解？请在方格纸上画出你的分解方式并拍照上传． （3）学生：学生作图完成，如图所示．

（图

一

） （图二）

（4）老师：通过这两个实例，我们发现力F 可以分解成力1F 与2F 的和．

【问题2】为什么给定的向量可以用两个不共线的向量的线性表示？1个、3个、4个向

量如何？去掉不共线又如何？

【设计意图】让学生自己做数学，在物理的基础上亲身经历定理的建构过程．将学生的

探究成果以拍照上传的方式实现资源共享．

【师生活动】

（1）学生：一个肯定不行．例如：

（图

三

） （图四）

（2）学生1：两个共线向量相当于一个向量，也不行．所以不共线不能去掉． （3）学生2：如果是三个向量并且两两不共线，则会多余，不简洁．

（4）老师：两条相交直线确定一个平面α，因而由一个定点，两个不共线的向量12

,e e u r u u r

便在“原则”上确定了平面α，所以对于给定向量总是可以表示为两个不共线的向量的线性组合．

（5）老师：请你将向量a r

分解成图中所给的两个方向上的向量，并请拍照上传．

（6）学生：学生作图，上传图片．

（7）老师：展示学生上传的图片，引导学生发现自己分解的结果与其他同学的分解结果是一致的，说明该分解唯一．

【问题3】通过观察分析可知：给定向量a r

可以分解到12,e e u r u u r 两个方向上，那么如何用12

,e e u r u u r 表示出a r ？

【设计意图】体会平面图形中给定向量可以由两个不共线向量表示，实现向量的几何运算向代数运算的转化．

【师生活动】

（1）学生：1232a e e =+r u r u u r

．

（2）老师：对于任意向量a r

，如何用12,e e u r u u r 表示？

（3）学生回答，老师板书．

121212,,,,.OA e OB e OM e ON e OP OM ON e e λμλμ=====+=+u u u r u r u u u r u u r u u u u r u r u u u r u u r u u u r u u u u r u u u r u r u u r

（4）老师：实数对,λμ是否唯一？

（5）学生：由向量共线定理可知,λμ唯一．

【问题4】平面内任意一个向量是否可以用两个不共线的向量表示呢？

【设计意图】体会平面图形中任意向量可以由两个不共线向量表示，实现向量的几何运

算向代数运算的转化，为获得平面向量基本定理做准备．

【师生活动】

（1）老师：给出平面内两个定向量12,e e u r u u r 和一个动向量a r ，每次变化动向量a r

，尝试用12,e e u r u u r 表示出a r

，并拍照上传．

（2）老师：请根据你的探究过程，写出你的发现，并拍照上传．

学生：如果12,e e u r u u r

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r

，有且只有一对实数12,λλ，使1122.a e e λλ=+r u r u u r

（3）老师：向量a r

有哪些特殊情形？分解的结果会有什么特殊性？

学生1：非零向量a r 与12,e e u r u u r 中的一个共线或向量a r 为零向量．非零向量a r 与1e u

r 共线时，20λ=；当a r 与2e u u r 共线时，20λ=；当a r

为零向量时，120λλ==． 老师：当向量a r 与12,e e u

r u u r 均不共线时，12,λλ的取值又如何？

学生2：如果OM u u u u r 与1e u r 同向，则10λ>，否则10λ<；如果ON uuu r 与2e u

u r 同向，则

20λ>，否则20λ<．

（4）老师板书：抽象概括平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r

是同一平面内的两个不

共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r

，有且只有一对实数12,λλ，使

1122.a e e λλ=+r u r u u r 其中12,e e u r u u r

叫做这一平面内所有向量的一组基底．

老师：基底唯一吗？基底需要满足什么条件？平面内任意向量与基底的关系是什