江苏省苏北四市(徐、淮、连、宿)2013届高三9月质量抽测数学试题

江苏省苏北四市（徐州淮安宿迁连云港）2013届高三9月质量抽测
(2012年9月)
数 学 I
参考公式：
棱锥的体积V ＝1
3Sh ，其中S 为底面积，h 为高．
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，若A ⊆B ，则实数m ＝ ▲ ．
2． 若(1－2i)i ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则ab ＝ ▲ ．
3． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽
样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号
的产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ▲ ． 4． 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，
若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ ．
5． 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时
输出的结果为 ▲ ．
6． 已知π2
cos()23
α-=，则cos α＝ ▲ ．
7． 已知一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ，
则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm 3．
8． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，
若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝ ▲ ．
9． 已知实数x ，y 满足2,
2,03,x y x y y +⎧⎪
-⎨⎪⎩
≥≤≤≤则2z x y =-的最大值
是 ▲ ．
10．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ▲ ． 11．已知直线y ＝a 与函数()2x f x =及函数()32x g x =⋅的图象分别相交于A ,B 两点，
(第5题图)
则A ,B 两点之间的距离为 ▲ ．
12．已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，则1a ＋9
c 的最小值是 ▲ ． 13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，
且∠AOB ＝π
3．若点C 是圆O 上任意一点， 则→OA ▪→
BC 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 是正实数，且abc ＋a ＋c ＝b ，设
222223
111
p a b c =
-+
+++，则p 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答．题卡指定区域．．．．．．
内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-， 且C ＝120°． （1）求角A ；
（2）若a ＝2，求c ． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：
（1）PB ∥平面AEC ；
（2）平面PCD ⊥平面PAD ．
17．（本小题满分14分）
在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示），用长为a 的围栏设置一个运动器材储 存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC ＝a ＝10，求储存区域三角形ABC 面积的最大值；
C
(第13题图)
P
A B
C D E
(第16题图)
（2）若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ，
使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC 面积的最大值．
18．（本小题满分16分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且圆C ：
22360x y y +--=过A ，F 2两点．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π
3时，证明：点
P 在一定圆上．
19．（本小题满分16分）
已知函数2
2()ln ()a f x x a x a x
=+-∈R ．
（1）讨论函数()y f x =的单调区间；
（2）设2()24ln2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．
B
(第17题图)
20．（本小题满分16分）
设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数， 数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n ． （1）若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．
附加题
数 学 II （附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．
．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A ，C 重合），延长BD 至点E ．
求证：AD 的延长线平分∠CDE ．
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1214⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；
（2）求A 的特征值和特征向量．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
B A
C D E （第21—A 题图）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立 平面直角坐标系，直线l
的参数方程为1,21x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截
得的线段长度．
D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设a ，b ，c 均为正实数．求证：111111
222a b c b c c a a b
++++
+++≥．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．．．内作答．解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO ． （1）若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成的角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．
23．（本小题满分10分）
已知整数n ≥4，集合M ＝{1,2,3,…,n }的所有3个元素的子集记为A 1,A 2,…, 3n
C A ．
（1）当n ＝5时，求集合A 1,A 2,…, 35
C A 中所有元素的和；
（2）设m i 为A i 中的最小元素，设312n
n C P m m m =++⋅⋅⋅+，试求P n （用n 表示）．
A A 1 B
C D O E
B 1
C 1
D 1 （第22题图）
参考答案
1、3
2、3
3、80
4、
13
28
5、（27，－5）
6、19
7、
8、3 9、5 10、y ＝3x ＋1 11、2log 3 12、3 13、31,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
14、103
15、解：由余弦定理，得：sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA
sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC sin(A+C)=sin(B+C) sinB=sinA ∴ B=A=30° a=2,则b=2
c²=a²+b²－2abcosC=4+4－2×2×2×(－1
2
)=12
∴
16、（1）证明： 连BD ，AC 交于O 。

∵ABCD 是正方形 ∴AO=OC ， OC=
12
AC 连EO ，则EO 是三角形PBD 的中位线。

EO ∥PB EO ⊂平面AEC ∴PB ∥平面AEC （2）：∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA
∵ABCD 是正方形 ∴AD ⊥CD ∴CD ⊥平面PAD
∴平面PAD ⊥平面PCD 17、（1）因为三角形的面积为
1
2
倍AB·AC ，所以当AB=AC 时其值才最大，可求得为25 （2)求四边形DBAC 面积可分为ABC 跟BCD 两个三角形来计算，而ABC 为定值可先不考虑，进而只考虑三角形BCD 的面积变化，以BC 为底边，故当D 点BC 的距离最长时面积取得最大值。

因为DB+DC=a=20总成立，所以点D 的轨迹是一个椭圆，B 、C 是其两交点，结合椭圆的知识可以知道只有当D 点在BC 的中垂线上时点D 到BC 的距离才能取得最大值，再结合题意四边形DBAC 刚好是一个边长为10的正方形，其面积为100
18. 解：（1）圆22
360x y y +--=与x 轴交点坐标为(A -，2F ，
故a c ==3b =，∴椭圆方程是：22
1129x y +=．
（2）设点P （x ，y ），因为1F （－3，0），2F （3，0），
设点P （x ，y ），则1PF k ＝tan β＝
y x ＋3,2PF k ＝tan α＝y
x －3
， 因为β－α＝2π
3，所以tan(β－α)＝－3．
因为tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β＝－23y
x 2＋y 2－3，
所以－23y x 2＋y 2－3
＝－3．化简得x 2＋y 2－2y ＝3．
所以点P 在定圆x 2＋y 2-2y ＝3上．
19、解：'()f x ＝2221a a x x --＝22
2
2x ax a x
--＝0，得12x a =，2x a =- （a ）当a ＝0时，f （x ）＝x ，在（－∞，＋∞）上是增函数。

（b ）当a ＞0时，f （x ）在（－∞，－ a ），（2a ，＋∞）上是增函数，在（－a ，2a ）上是减函数。

（c ）当a ＜0时，f （x ）在（－∞，2a ），（－a ，＋∞）上是增函数，在（2a ，－a ）上是减函数。

20、【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）．
因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥．
若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．
故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．
【解】（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④
③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），
而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1(
)
*n ∈N ，
故当k =1时，数列{a n
}能成等差数列，其通项公式为a n
=1()*
n ∈N ，此时1
()1f n n =+．
(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥，
要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d =2a ，
考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()
*n ∈N ．
故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()
*n ∈N ，
此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）． (iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列． 综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列． 21、A ：解：设F 为AD 延长线上一点
∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF 3分 又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ，5分
且∠ADB=∠ACB ，∴∠ADB=∠CDF ，7分 对顶角∠EDF=∠ADB ，故∠EDF=∠CDF ， 即AD 的延长线平分∠CDE.
B ：A 的逆矩阵是：213
6113
6⎡⎤
-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
特征多项式是f(λ)=(1－λ)(4－λ)＋2=λ²－5λ＋6=(λ－2)(λ－3)
特征值是λ=2、λ=3
当λ=2时，此时特征向量是α=(2，1)
当λ=3时，此时特征向量是β=(1，1)
C ：曲线C 为：x 2＋y 2－4y ＝0，圆心（0,2），半径为2， 直线l
－y ＋1＝0，圆心到直线的距离为：d ＝
|21|1
22
-+= 直线被曲线C 载得的线段长度为：
=D ：利用基本不等式：114x y x y +≥+，故有：111
44x y x y
+≥+
111222a b c ++＝111444a b c ++＋111444a b c ++≥111
b c c a a b ++
+++
22．【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．
则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，
，D 1(0，0，1)，E ()
111442，，， 于是()
111442
DE =，，，()1011CD =-，，
. 由cos 1DE CD 〈〉，＝
11||||
DE
CD DE CD ⋅⋅＝
. 所以异面直线AE 与CD 1.
（2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0
得 1111110220x y y z ⎧-=⎪
⎨⎪-+=⎩，，
取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) .
由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭
，，.
又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222
002(1)2(1)1y x y z λλλλλ
=⎧⎪
⎨++=⎪+++⎩
，
， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2．
23、（1）当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有2
4C =6个，所以含有数字1的几何有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个， 于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×2
4C =6×15=90…（5分）
（2）证明：不难得到1≤m i ≤n -2，m i ∈Z ，并且以1为最小元素的子集有2
1n C -个，以2为最小元素的子集有22n C -个，以3为最小元素的子集有23n C -，…，以n-2为最小元素的子集有2
2C 个。

则
P m ＝m 1＋m 2＋…3n
C m ＝21n C -＋222n C -＋323n C -＋…＋（n －2）2
2C
＝（n －2）22C ＋（n －3）23C ＋…＋21n C -＝22C ＋（n －3）（22C ＋23C ）＋（n －4）2
4C ＋…＋2
2n C -
＝433344451n n C C C C C ++++
+=。