第十一章 三角形-2022-2023学年八年级数学上册单元复习(人教版)

2
归纳 三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
4.如图所示，请按照要求填空.
(1) 若AD⊥BC，垂足为点D，
则(∠ADB )=(∠ADC )=90°； B
A
C
D F E
(2) 若点E是边BC的中点，则( BE )=( CE )，
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE.
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
针对训练
8.一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数
是（ C ）
A.4
B.5
C.6
D.7
解：设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°= 720°，
解得n=6.
长分别为6,4，符合三边关系.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一
边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( C )
A.16
B.20或16
C.20
D.12
归纳 等腰三角形的腰、底边不明确时，要分情况讨
论，还要注意三边能否构成三角形.
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的
且线段AE为( △ABC的中线 )；
(3) 若AF是△ABC的角平分线，则(∠BAF )= (∠CAF).
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足
下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
x+2x+2x=180 °,解得x=36°.∴∠1=36 °.B
D
3
2
4
归纳 在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、
外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定
理列方程求解.
C
分类讨论思想
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是 26或22
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，
解得n=7．
∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
方程思想
例9 如图，在△ABC中，∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数.
解：设∠C=x °,则∠ABC=x°.
∵△BDE是等边三角形，
A
D
∴∠ABE=60°,∴∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根据三角形内角和定理，
∴ ∠ACD=∠A+∠B=110°.
B
C
D
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度
1
数的 ，求这个多边形的边数.
4
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度
数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
归纳 在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，
是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求
△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
1
1
S△ABD，S△DCE= S△ADC，
2
2
∴S△DBE+S△DCE=1 S△ABC=1 ×24=12，
2
2
∴S△DBE=
∴S△BCE=12.
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=
1
1
S△BCE= ×12=6．
2
和与八边形的内角和相等．
5.一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°,并且这个多
边形的各内角都相等.这个多边形的每个内角等于多少度?
解：设该多边形的边数为 n，则根据题意可得
(n – 2)×180° = 360° + 540°．
又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7 cm或9 cm.
归纳 三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条
线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任
意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之
和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值
范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
针对训练
．
解析： 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分
两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为
26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
易错提示：别忘了用三边关系检验能否组成三角形这
一重要解题环节.
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，
其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
单元复习一遍过
八年级上册
单元复习01三角形
目
录
01
考点一：三角形的三边关系
02
考点二：三角形中的重要线段
03
考点三：有关三角形内、外角的计算
04
考点四：多边形的内角和与外角和
05
考点五：本章中的思想方法
知识梳理
与三角形
有关的线段
三
角
形
边
中线
高
角平分线
三角形的内角和
多边形的内角和
三角形的外角和
多边形的外角和
的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
3.三角形的重心
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.
4.三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性.
二、与三角形有关的角
1.三角形的内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
2.直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75.∴∠C=75 °.
B
E
C
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC,
∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
)
解：设∠1=x,根据题意得∠2=x.
1
∵∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，∴∠3=2x, ∠4=x.
又∵∠3= ∠C，∴∠C=2x.
进而再求得边数.
例8 如图，六边形ABCDEF的内角都相等，
∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与
BC有怎样的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴六边形ABCDEF的每一个内角都是120°，
∴∠C=∠EDC=∠FAB=120°.
周长为
5
.
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周
长比△ACD的周长大3 cm，BC=8 cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD．
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴(BC+BD+CD)－(AC+AD+CD)=3，
针对训练
5.已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱABC中，∠B=2(∠A+∠C)，则∠B的度数是
( C )
A.60°
B.100°
C.120°
D.140°
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
∵∠B=2（∠A+∠C），
∴∠A+2（∠A+∠C）+∠C=180°，
即 3（∠A+∠C）=180°.
∴∠A+∠C=60°，则∠B=120°.
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形
模型，我们称它为“8字型”图.
A
C
O
B
D
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
∠F＋∠G的度数.
A
解析：所求问题不是常见的求多
边形的内角和问题，我们发现，
只要连接CD便转化为求五边形的
B
G
内角和问题.
C
解：连接CD，由“8字型”模型图可知
E
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范
围是
6<x<12
.
例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另
两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，
∴分两种情况讨论：当6为底边长时，腰长为
(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5,5，符合三边
关系；
当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边
3.三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
4.三角形外角和的性质
三角形的外角和等于360°.
三、多边形及其内角和
1.多边形和正多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图
形叫做多边形.各个角都相等，各个边都相等的多边
形叫做正多边形.
2. n边形的内角和
n边形的内角和等于(n-2)×180°.
7
内角和
5×180
° 360°
外角和
17
20
25
15×180° 18×180° 23×180°
360°
360°
360°
4.从八边形的一个顶点出发,可以作几条对角线?它们将八边
形分成几个三角形?这些三角形的内角和与八边形的内角和有
什么关系?
答：从八边形的一个顶点出发可以作 5 条对角线，它
们将八边形分成 6 个三角形，这些三角形的内角和之
6.在△ABC中，AB⊥BC，∠C的度数是70°，则∠A的
度数是（ 20° ）
解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°.
∴∠A+∠C=90°，
∵∠C=70°，
∴∠A=20°.
7.在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD的度
数是（ 110°）
A
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∠A=70°，∠B=40°，
2
AE = 2 cm，
∴BD = 1.5 cm．
又∵AD 是 BC 边上的中线，
∴DC = BD = 1.5 cm，BC = 2BD = 3 cm．
2.求出下列图形中x的值.
解：（1）x = 40.
（2）x = 70.
（3）x = 60.
（4）x = 100.
（5）x = 115.
3．填表：
多边形的边数
一、与三角形有关的线段
1.三角形的三边关系
三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三
边.
2.三角形的高、中线、角平分线的定义
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，
顶点与垂足之间的线段叫做三角形的这条边上的高.
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线
段叫做三角形这条边上的中线.
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角
注意分
D
解得x=4，BC=11 cm.
类讨论
此时△ABC的三边长为AB=AC=
8 cm，BC=11 cm，符合题意；
B
当x+2x=15，BC+x=12时，
解得x=5，BC=7 cm．
此时△ABC的三边长为AB=AC=10 cm，BC=7 cm，
符合题意．
C
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别
∴BC-AC=3．
∵BC=8 cm，
∴AC=5 cm．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的
中线，且BD将△ABC周长分为12 cm与15 cm两部分，
求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，∴AD=CD．
A
设AD=CD=x cm，则AB=2x cm，
无图时，
当x+2x=12，BC+x=15时，
F
D
∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,∴题图中∠A＋∠B＋∠C
＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=(5-2)×180 °=540 °.
巩固练习
1.如图,在△ABC中,AD,AE分别是边BC上的中线和高,AE=2 cm,
S△ABD=1.5 cm2.求BC和DC的长.
1
解：∵S△ABD = BD·
AE = 1.5 cm²，
9. 已知过多边形的一个顶点可以作出325条对角线，则
这个多边形的边数是（328）.
解析：设这个多边形的边数为n.
根据题意，得n-3=325，解得n=328.
10.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少
180°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n－2）×180°=3×360°－180°，
∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则
∠4=∠3=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即
x+2x=117°，
所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
归纳 若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
系，常用方程思想设未知数列方程求解.
(−3)
分成（n-2）个三角形，n边形共有
条对角线.
2
.
考点讲练
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3 cm、8 cm ，要想拼成
一个三角形，且第三条线段a cm的长为奇数，问第三
条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小
于第三边得 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11.
3.多边形的外角和
多边形的外角和等于360°.
4.正多边形的每一个内角度数的表示
(−2)×180°
正多边形的各个内角相等,则每个内角的度数为
.

5.正多边形的每一个外角度数的表示
360°
正多边形的各个内角相等，则各个外角相等，即为

6. n边形的对角线
从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，将n边形