高二数学期末复习(概率理科专题二)

高二数学理科期末复习专题二概率
1．某养鸡场流行一种传染病,鸡的感染率为10%.现对50只鸡进行抽血化验,以期查出所有病
鸡.设计了如下方案:按n ( 150 n ≤≤，且n 是50的约数)只鸡一组平均分组,并把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验,若发现有问题,即对该组的n 只鸡逐只化验.记X 为某一组中病鸡的只数.
(1)若n 5 ,求随机变量X 的概率分布和数学期望; (2)为了减少化验次数的期望值,试确定n 的大小.
2．某校组织一次篮球投篮测试,已知甲同学每次投篮的命中率均为1
2
.
(1)若规定每投进1球得2分,求甲同学投篮4次得分X 的概率分布和数学期望; (2)假设某同学连续3次投篮未中或累计7次投篮未中,则停止投篮测试,问:甲同学恰好投篮10次后,被停止投篮测试的概率是多少?
3．某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可
自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A,B,C 三家社区医院,并且他们的选择是相互独立的.
(Ⅰ)求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率;
(Ⅲ)设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
4．某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯
的概率都是1
3
,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.
5．一个袋中有6个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为1,1,1,2,2,3,现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)若有放回的抽取3次,求恰有2次抽到编号为3的小球的概率;
(2)记球的最大编号为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
6．一个口袋中有2个白球和n个红球（2
n≥，且*
n N
∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P
（2）若3
n=，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()
f p，当n为何值时，()
f p取最大值。

高二数学理科期末复习专题二概率解答： 1．解:(1)当n 5=时,X ~()5 0.1B ，
, 则55()C 0.10.9r
r r P X r -==⋅⋅,0 1 2 3 4 5r =，，，，，,
故X 的概率分布表为:
所以()50.10.5E X =⨯=;
(2)由题意得n 的所有可能取值为1,2,5,10,25,50, 当n {}1∈时,需化验50次;
当n {}2 5 10 2550∈，，
，，时,X ~() 0.1B n ，, 对于某一组的n 只鸡,化验次数Y 的所有可能值为1,1n +, 且(1)0.9n P Y ==,(1)10.9n P Y n =+=-,
所以()
()10.9(1)10.910.9n n n E Y n n n =⨯++⨯-=+-⋅,
故50只鸡的化验总次数的期望()50()10.9n f n n n n =+-⋅()
15010.9n n =+-,
算得(2)34.5f =,(5)30.5f =,(10)37.5f =,(25)48.5f =,(50)51f =, 所以按5只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小. 2．解:(1)X 的概率分布列为
E (X)=0×116
+2×14
+4×38
+6×14
+8×116
=4.(或E (X)=8×12
=4.)
(2)①连续3次投篮未中,不同投法为:1+C 16+C 26+(C 36-4)+(C 13+C 13)=44(种); ②累计7次投篮未中,不同投法为:C 13+1=4(种).
所以,该同学恰好投篮10次停止投篮测试的概率为P =481024=3
64
3．解:(Ⅰ)设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ,那么
111()339P A =⨯=
所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为1
9.
(Ⅱ)设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ,那么
所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是
2()1()3P B P B =-=
.(Ⅲ)随机变量ξ可能取的值为0,1,2, 3,4.那么
044216(0)()381P C ξ==⨯=; 1
341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=
; 22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=; 3
34128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=
; 4
4411(4)()381P C ξ==⨯=
.
所以ξ的分布列为
1433E ξ=⨯=
4．解(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A 的概率为()1114
1133327
P A ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)由题意,可得ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).
事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”(k =0,1,2,3,4),
∴()()441220,1,2,3,433k k
k
P k C k ξ-⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,
∴即ξ的分布列是
ξ 0 2 4 6 8
P
1681 32
81
827 881
181
∴ξ的期望是16328818
0246881812781813
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
5．解:(1)一次从袋中随机抽取3个球,抽到编号为3的小球的概率25361
2C p C ==.
所以,3次抽取中,恰有2次抽到3号球的概率为22
23113(1)3()()228
C p p -=⨯=
(2)随机变量X 所有可能的取值为1,2,3.
33361(1)20C P X C ===,12212323369(2)20C C C C P X C +===253
610
(3)20
C P X C ===, 所以,随机变量X
故随机变量X 的数学期望E (X )=19149
1232020220
⨯
+⨯+⨯=
6．解：(1)22
222
22
2
32n n C C n n P C n n ++-+==++……3分 （2）12
3354
(1)(1)125
P C P P =-=
……6分 (3)设一次摸球中奖的概率为p ,则三次摸球中恰有一次中奖的概率是
1
23()(1)f p C p p =⋅⋅-32363p p p =-+，01p <<，
求导可知p =1
3
时，f (p )最大……8分
2221
323
n n n n -+=++，∴n =2……10分。