高三数学上学期九月联考试题文含解析试题

百校联盟2021届高三数学上学期九月联考试题文〔含解析〕
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

第一卷〔一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
,，那么的真子集个数为〔〕
A. 9个
B. 7个
C. 3个
D. 1个
【答案】C
【解析】
【详解】依题意：，∴
故，的真子集个数为3个.
应选：C
点睛：1.用描绘法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进展集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
2.〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
.
应选：B
3.分层抽样是将总体分成互不穿插的层，然后按照一定的比例，从各层HY地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法；在?九章算术?第三章“衰分〞中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？〞其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税一共100钱，要按照各人带钱多少的比例进展交税，问三人各应付多少税？那么以下说法错误的选项是〔〕
A. 甲应付钱
B. 乙应付钱
C. 丙应付钱
D. 三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少
【答案】B
【解析】
依题意：由分层抽样知识可知，，
那么甲应付：钱；乙应付：钱；丙应付：钱.
应选：B
的首项，，，成等比数列，那么〔〕
A. 238
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
∵，，，成等比数列，∴，即，由此得到，
或者，∴，.
应选：D
5.运行如下图的程序框图，假设输入的〔〕分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、
5.3、
6.9、
7.0，那么输出的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意，该程序框图的作用是计算大于等于6.8的数字的比例，故输出的的值是.
应选:C
点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序构造、条件构造、循环构造，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
依题意，该几何体由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，
故所求体积为.
应选：A
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的局部用实线表示，不能看到的局部用虚线表示．
(2)由几何体的局部视图画出剩余的局部视图．先根据的一局部三视图，复原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下局部三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的局部三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图复原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图复原为实物图．
7.，且，那么〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由，可得：，又，∴，
那么.
应选：D
函数，那么以下说法错误的选项是〔〕
A. 假设，那么函数无零点
B. 假设，那么函数有零点
C. 假设，那么函数有一个零点
D. 假设，那么函数有两个零点
【答案】A
【解析】
作出函数的图象如下图：
观察可知：当时，函数有一个零点，故A错误.
应选：A
：的左、右焦点分别为，，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于，两点，假设，那么双曲线的渐进线方程为〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，∴为的中点，又∵，∴，
又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，
即双曲线的渐进线方程为.
应选：B
与的夹角为,向量与的夹角为，那么〔〕
A. B. C. 或者 D.
【答案】B
【解析】
依题意可得：，同理：，
而，
又向量与的夹角为，可知：
，由此解得：或者，又,∴.
应选：B
11.如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线，的夹角分别为，，假设，那么满足条件的直线〔〕
A. 有1条
B. 有2条
C. 有3条
D. 有4条
【答案】D
【解析】
∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上
应选：D
的不等式有唯一整数解，那么实数的最小值为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由，得：,令，∴，得到减区间为；得到增区间为，∴，，，且,
∴要使不等式有唯一整数解，实数m应满足,∴实数的最小值为.
应选：A
点睛：不等式有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题，观察与的图象的上下关系，只要保证上方只有一个整数满足即可.
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕
的一条直径为线段，为圆上一点，，，那么向圆中任意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为__________．
【答案】
【解析】
不妨设，那么所求的概率
故答案为：
〔，〕的图象如下图，其中，，那么函数__________．
【答案】
【解析】
依题意，，解得：，故，将点A带入，得：
，解得：.
故答案为：
，满足那么的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
作出可行域:
观察可知：，易得：,故，
故答案为：
点睛：此题考察的是线性规划问题，解决线性规划问题的本质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目的函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错;三，一般情况下，目的函数的最大值或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.
为数列的前项和，，假设〔〕，那么__________．【答案】
【解析】
当为奇数时，，那么，，，，
当为偶数时，，那么，，，，又，
∴
故答案为：
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
中，的面积为，角，，所对的边分别是，，，且，．
〔1〕求的值；
〔2〕假设，求的值．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：〔1〕由，可得：，再利用同角关系易得，
又，故；〔2〕由，得，由正弦定理，得，可得,联立二者可得的值.
试题解析：
〔1〕因为，得，得，
即，所以，
又，所以，故，
又∵，故，即，所以，
故，
故．
〔2〕，所以，得①，
又，所以，
在中，由正弦定理，得，即，得②，
联立①②，解得．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化.
第三步：求结果.
18.如下图，四棱锥中，平面平面，，，.
〔1〕证明：在线段上存在一点，使得平面；
〔2〕假设，在〔1〕的条件下，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】
试题分析：〔1〕取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；〔2〕∵是的中点，∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半从而易得三棱锥的体积.
试题解析：
〔1〕如图，取的中点，的中点，连接，，
∵是的中位线，∴，
依题意得，，那么有，∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
〔2〕∵平面平面，平面平面，，平面，故平面，
∵是的中点，
∴到平面的间隔等于到平面的间隔的一半，且平面，，
∴三棱锥的高是2，，
在等腰中，，，边上的高为，
，∴到的间隔为，∴，
∴．
点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规那么几何体的体积时，常用割补法转化成体积公式的几何体进展解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或者几何体)的面积(或者体积)通过条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或者几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或者三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
19.某产品的历史收益率的频率分布直方图如下图：
〔1〕试计算该产品收益率的中位数；
〔2〕假设该产品的售价〔元〕与销量〔万件〕之间有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如表5组与的对应数据：
售价〔元〕25 30 38 45 52
销量〔万份〕
据此计算出的回归方程为，求的值；
〔3〕假设从上述五组销量中随机抽取两组，求两组销量中恰有一组超过6万件的概率．
【答案】(1) ;(2) ；〔3〕.
【解析】
试题分析：〔1〕利用频率分布直方图求出该产品收益率的中位数；〔2〕由表格易得：，，利用回归直线经过样本中心点，求出的值;(3)利用古典概型公式求出两组销量中恰有一组超过6万件的概率.
试题解析：
解：〔1〕依题意，所求中位数为．
〔2〕，，
∴．
〔3〕依题意，所有销量情况为，，，，，，，，，，恰有一组超过6万件的情况为，，，，，，故所求概率．
的前项和为，假设，，〔，且〕．
〔1〕求数列的通项；
〔2〕求数列的前项和．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：〔1〕利用等差数列有关公式求得根本量，，从而得到数列的通项；〔2〕利用错位相减法求数列的前项和.
试题解析：
〔1〕由得，且，
设数列的公差为，那么由，∴，
由，得，即，∴，
∴，故．
〔2〕；下面先求的前项和，
①；
②；
两式相减得，
∴〔〕．
故的前项和为．
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
：过点，点，是椭圆上异于长轴端点的两个点．
〔1〕求椭圆的离心率；
〔2〕直线：，且，垂足为，，垂足为，假设且，求中点的轨迹方程．
【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为〔〕.
【解析】
试题分析：〔1〕点带入椭圆方程，解得，易得椭圆的离心率；〔2〕由，且，易得：.分类讨论直线AB的斜率情况，
联立椭圆方程，易得：，借助韦达定理，易得〔〕. 试题解析：
〔1〕依题意，，解得，
故椭圆的方程为，那么其离心率为．
〔2〕设直线与轴相交于点，，，
由于，即，且，
得，〔舍去〕或者，
即直线经过点，设，，的中点，
①直线垂直于轴时，那么的重担为；
②直线与轴不垂直时，设的方程为，那么
整理得，
，，，
消去，整理得〔〕．经检验，点也满足此方程．
综上所述，点的轨迹方程为〔〕．
，．
求函数的单调递增区间；
假设，，且，，，务实数a的取值范围．【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) .
【解析】
试题分析：〔1〕, 解得,从而得到增区间；〔2〕，，
等价于对恒成立，或者对恒成立，而，只需研究的符号情况即可.
试题解析：
〔1〕依题意，，
令，解得，故函数的单调递增区间为．
〔2〕当，对任意的，都有；
当时，对任意的，都有；
故对恒成立，或者对恒成立，
而，设函数，．
那么对恒成立，或者对恒成立，，
①当时，∵,∴，∴恒成立，
∴在上单调递增，，
故在上恒成立，符合题意．
②当时，令，得，令，得，
故在上单调递减，所以，
而，设函数，，
那么，令，那么〔〕恒成立，∴在上单调递增，∴恒成立，
∴在上单调递增，∴恒成立，
即，而，不合题意．
综上，故实数的取值范围为.
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。