微积分基础课程提纲

《微积分基础》课程提纲
课程编号：40704007；40703008 课程名称：微积分基础
学时：64+50 学分：4+3
适用专业：行政管理、心理类各专业
先修课程：初等数学的基础知识（高中数学）
课程简介：
本课程是应用心理、行政管理等专业一年级必修的基础课程。

通过本课程的学习，使学生系统地获得有关微分学和积分学的基本知识、基本概念、基本运算、基本技巧，以及运用所学的知识处理和解决一些简单的实际问题。

通过本课程的学习，使学生初步掌握运用计算机处理数学问题的能力。

本课程在教学中要求尽量从实际出发，注意概念、定理的直观描述和实际背景，避免过繁、过难的理论推导，充分利用多媒体等先进的教学手段，使教学更具生动性和吸引性，注重培养学生动手、动脑的能力，提高学生学习的主动性和积极性。

本课程主要内容包括：函数与极限，导数与微分（一元函数的导数和多元函数的偏导数），微分学的定理及应用，积分（不定积分、积分、广义积分、二重积分），定积分的应用，无穷级数，微分方程（基本概念和一阶微分方程）。

课程教学目的：
通过本课程的学习，使学生比较系统地获得有关微分学和积分学的基本知识，掌握基本概念、基本运算、基本技巧，并能运用所学的知识处理和解决一些简单的实际问题。

通过本课程的学习，使学生初步掌握运用计算机处理数学问题的能力。

本课程在教学中要求尽量从实际出发，注意概念、定理的直观描述和实际背景，避免过繁、过难的理论推导，充分利用多媒体等先进的教学手段，使教学更具生动性和吸引性，注重培养学生动手、动脑的能力，提高学生学习的主动性和积极性。

课程教学内容：
第一章函数与极限
【教学目的、要求】
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，了解函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性。

2．了解二元函数的概念及其几何意义，熟悉几种常见的二元函数的图形。

3．掌握基本初等函数的性质及图形，理解复合函数，反函数，隐函数和分段函数的概念，了解初等函数的概念。

4 .会建立简单应用问题中的函数关系式
5 .了解数列极限和函数极限（包括左，右极限）的概念。

直观上能描述极限过程的几种常见形式，了解极限的几个基本性质。

6 .理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其与无穷小的关系。

7. 了解极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，会应用两个重要的极限
8 .理解函数连续性的概念（包括左连续和右连续），会判别函数间断点的类型。

（可去间断点和不可去间断点）。

9 . 理解闭区间上连续函数的性质（有界性，最值定理，介值定理）及其应用。

10. 了解二元函数的极限和连续的直观意义。

【教学内容】
§1.1 函数及其基本性质
函数的基本概念；函数的基本性质。

§1.2 常见的函数
基本初等函数；生成的函数。

§1.3 极限及其性质
数列的极限；函数的极限。

§1.4 极限的运算
极限的四则运算；复合函数的极限；无穷小量与无穷大量。

§1.5 函数的连续性
连续函数的概念；闭区间上连续函数的性质。

§1.6 二元函数中的极限与的连续
二元函数；常见的二元函数；二元函数的极限；二元函数的连续性。

【教学重点、难点】
重点是极限的概念，极限的运算，两个重要极限。

难点是无穷小，无穷大，无穷大与无界的区别，二元函数的极限与连续。

【教学进度】
第二章导数与微分
【教学目的、要求】
1．理解导数的概念，会利用导数定义求导数。

了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际）
2．掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。

掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。

理解可导性与连续性的关系。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4．理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性。

会求函数的微分。

5．理解二元函数偏导数和全微分的概念。

6．掌握求多元复合函数偏导数和全微分的方法，掌握隐函数求导法则。

【教学内容】
§2.1导数的基本概念
导数的概念，导数的几何意义，经济意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；
§2.2导数的运算
导数的四则运算；基本初等函数的导数，复合函数、反函数和隐函数的导数；高阶导数；
§2.3微分
微分的概念和运算法则；
§2.4偏导数与全微分
多元函数的偏导数的概念与计算；多元复合函数的求导法和隐函数求导法；高阶偏导数，全微分；
【教学重点、难点】
重点是导数的概念，导数的四则运算，复合函数的求导，偏导数与全微分。

难点是导数的各种表现形式，复合函数的高阶导数，二阶偏导数。

【教学进度】
第三章微分学的定理及应用
【教学目的、要求】
1．了解三个中值定理的条件和结论，会用三个中值定理进行简单的计算和证明.
2．掌握洛必达法则，正确使用洛必达法则求极限。

3．初步了解泰勒公式和麦克劳林展开式。

4．掌握函数单调性的判别方法及应用，掌握极值、最值的求法及其应用。

5．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。

6．了解函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形。

7．了解二元函数极值和条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会求二元函数的极值，掌握拉格朗日乘数法。

８．了解导数(偏导数)在经济中的意义，会利用导数求解一些经济中简单的优化问题.
【教学内容】
§3.1 中值定理
三个定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）
§3.2 罗必达法则
七种不定式的计算。

§3.3 泰勒公式
泰勒公式（简介）及几种简单的常见函数的泰勒公式。

§3.4 函数的单调性、极值与最值
单调性的判断；极值与最值的求法。

§3.5 函数的作图（简介）
函数的凸性；渐近线；函数的作图。

§3.6 二元函数的极值与条件极值
极值存在的必要条件；极值存在的充分条件，拉格朗日乘数法。

§3.7 经济中的优化问题
弹性；简单的优化问题。

【教学重点、难点】
重点是罗必塔法则，单调性的判别，极值与最值的求法。

难点是中值定理，二元函数的极值。

【教学进度】
第四章积分
【教学目的、要求】
1．理解定积分的概念、几何意义和基本性质，理解定积分中值定理。

2．掌握牛顿—莱布尼兹公式。

了解变上限定积分定义的函数并会求它的导数。

3．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式。

4．掌握计算不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。

有理函数积分法。

5．了解定积分的近似计算。

理解广义积分收敛与发散的概念，会计算广义积分。

6．理解二重积分的概念、几何意义与基本性质。

7．掌握二重积分（直角坐标，极坐标）的计算方法。

【教学内容】
§4.1 定积分的基本概念
定积分的概念和几何意义；
§4.2 定积分的性质
定积分的基本性质及积分中值定理；
§4.3 微积分基本定理与原函数
变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿—莱布尼兹公式（Newton—Lebniz），原函数；
§4.4 不定积分的概念与性质
不定积分的概念及几何意义，不定积分的性质和基本积分公式；
§4.5 常用积分法
不定积分和定积分的换元积分法，分部积分法，有理函数的积分；
§4.6 定积分的近似计算（简介）
定积分的近似计算；
§4.7 广义积分
广义积分的概念及计算（无限区间上的广义积分和暇积分）。

§4.8 二重积分
二重积分的概念；基本性质和计算（直角坐标系下和极坐标系下二重积分的计算）。

【教学重点、难点】
重点是定积分的基本思想，牛顿—莱布尼兹公式，不定积分和定积分的换元法，分部积分法。

难点是变上限定积分的函数及其导数，不定积分的换元法，定积分的换元法，二重积分的积分次序的选择和积分限的确定。

【教学进度】
第五章定积分的应用
【教学目的、要求】
1．会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积
2．会利用定积分求解一些简单的经济应用问题。

【教学内容】
§5.1 定积分在几何中的应用
求平面图形的面积；求旋转体的体积。

§5.2 定积分在经济中的应用
已知边际函数求总量。

【教学重点、难点】
重点是平面图形的面积，旋转体的体积，经济应用。

难点是如何将实际问题转化为数学问题的思想和方法。

【教学进度】
第六章无穷级数
【教学目的、要求】
1．了解级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念。

2．掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。

掌握几何级数和P一级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数的比较判别法和比值判别法。

4．了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念以及它们之间的关系。

掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

【教学内容】
§6.1 数项级数
常数项级数的收敛与发散的概念。

收敛级数和的概念。

级数的基本性质和收敛的必要条件。

几何级数和P一级数以及它们的收敛性；
§6.2 正项级数
正项级数收敛性的判别；
§6.3 绝对收敛与条件收敛
任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

交错级数和莱布尼兹定理；
【教学重点、难点】
重点是级数的基本性质和收敛的必要条件，正项级数收敛性的判别，交错级数和莱布尼兹定理。

难点是正项级数的比较判别法。

【教学进度】
第七章微分方程
【教学目的、要求】
1．了解微分方程的阶及其解，通解，初始条件和特解的概念。

2．掌握变量可分离的微分方程，齐次微分方程的求解方法。

3．掌握一阶线性微分方程的求解方法，了解常数变易法。

4．了解n阶线性微分方程解的结构。

5．会解二阶常系数齐次线性微分方程。

6．会应用微分方程求解简单的应用问题。

【教学内容】
§7.1 微分方程的概念
微分方程及微分方程的阶；微分方程的解。

§7.2 一阶微分方程
分离变量方程；可分离变量方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程。

§7.4 二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程；二阶常系数线性方程。

【教学重点、难点】
重点是变量可分离的微分方程，一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程。

难点是常数变易法，二阶常系数线性非齐次微分方程。

【教学进度】
实验（上机）内容
实验一在Mathematica环境下对函数与极限的讨论
【基本要求】
1. 掌握Mathematic软件的安装及基本操作方法；
2. 会利用Mathematica进行有关函数和极限的计算及简单函数的绘图。

【实验内容】
利用Mathematica定义函数、计算函数值；利用Mathematica作一元函数、二元函数的图形以及参数方程作图；利用Mathematica求函数的极限。

实验二在Mathematica环境下导数与微分的计算及求函数的极值
【基本要求】
1. 掌握利用Mathematic求一元、二元函数的导数、偏导数的方法；
2. 掌握利用Mathematic求一元、二元函数的微分、全微分的方法；
3. 会利用Mathematic求一元、二元隐函数的导数、偏导数；
4. 会利用Mathematic求一元、二元函数的极值、最值
【实验内容】
利用Mathematic求一元、二元函数的导数、微分、偏导数、全微分；利用Mathematic求一元、二元隐函数的导数、偏导数；利用Mathematic求一元、二元函数的极值、最值。

实验三在Mathematica环境下积分的计算
【基本要求】
1. 掌握利用Mathematic计算定积分、二重积分的方法；
2. 掌握利用Mathematic求不定积分的方法；
3. 掌握利用Mathematic判别广义积分敛散性的方法；
4. 掌握利用Mathematic对定积分进行数值计算的方法；
【实验内容】
利用Mathematic计算定积分、二重积分的值，利用Mathematic求不定积分，利用Mathematic判别广义积分敛散性，利用Mathematic对定积分进行数值计算。

实验四在Mathematica环境下讨论级数以及解微分方程
【基本要求】
1. 掌握利用Mathematic判别级数敛散性以及求收敛级数和的方法；
2. 掌握利用Mathematic求幂级数和函数的方法；
3. 会利用Mathematic对函数进行幂级数展开；
4.掌握利用Mathematic解微分方程；
【实验内容】
利用Mathematic判别级数敛散性，求收敛级数和，求幂级数和函数，利用Mathematic对函数进行幂级数展开，利用Mathematic求微分方程的解。

内容课时分配表
考核方式与标准
1．平时测验、作业、出勤30%；
2．期末闭卷考试70%。

参考书目
1. [美]D·休斯·哈雷特,A·M·克美逊等著胡乃冏邵勇等译微积分北京:高等教育出版社,1997．
2. 谢季坚李启文大学数学北京:高等教育出版社1999．
3. 龚德恩等数学基础(微积分) 成都:四川人民出版社1996．
4. 刘光旭萧永霞等文科高等数学天津:南开大学出版社1995．
5. 李心灿等高等数学应用205例北京:高等教育出版社1997．
6. 申大维方丽萍等译数学的原理与实践北京:高等教育出版社施普林格出版社1998．
理学院微积分课程组。