必修2：2.1.2直线的方程(二)

2.1.2直线的方程——两点式、截距式
陆邦军2009-12-20
教学目标：
1、让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程；
2、通过这节课的学习，让学生学会较灵活的求直线方程的方法，能够一题多法，一题妙法；
3、培养学生的数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础． 教学重点：两点式的推导
教学难点：斜率k 不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形 教学方法：二先二后 教学课时：1节 教学工具：常规
教学过程： 一、复习回顾：
直线的点斜式和斜截式： 1、 点斜式：()11x x k y y -=- 2、 斜截式：b kx y +=
二、新课引入：
请同学们阅读课本P73-P74，回答以下问题：
不同两点可确定一条直线，那么直线l 经过两点),(111y x P ，),(222y x P ()21x x ≠，怎样求得直线l 的方程？
由此我们可得到直线的两点式方程： 。

说明：（1）这个方程是由直线上两点确定，叫两点式.
（2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示； 思考：（1）方程1
21
11x x y y x x y y --=
--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
（2）方程
12111x x y y x x y y --=--和方程1
21
121x x x x y y y y --=
--表示同一图形吗？
例1（课本例题1）： 已知直线l 都经过点()0,a A ，()b B ,0，其中0≠ab ，求直线l 的方程（如图）
这样我们得到直线的截距式方程：，其中a，b分别称为直线在x轴，y轴
的截距，即横截距和纵截距。

它是两点式中特殊两点的情况。

说明：（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；叫直线方程的截距式.
（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；
随堂练习：
1、求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.
(1)P(2，1)，Q(0，-3)
(2)A(0，5)，B(5，0)
(3)C(-4，-5)，D(0，0)
2、书本第74页练习题4，回答问题：
例2（课本例题2）：
已知三角形的顶点是A（-5，0）B（3，-3）C（0，2）,求这个三角形三边所在的直线方程？
解：
变式训练：△ABC的顶点是A(0,5) 、B(1,-2) 、C(-7,4),求BC边上的中线所在直线的方程。

课堂小结：
1、直线方程四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）的特点；
2、点斜式和斜截式表示直线时，斜率存在是关键，所以对于垂直于X轴的直线要另加说明。

3、两点式表示直线时，前提条件是这两点的横坐标不能相等，纵坐标也不相等，所以它不能表示平
行于坐标轴的直线。

4、 截距式表示直线时，直线在x 轴，y 轴上的截距可正，可负，但绝不能为零，所以它不能表示任
何平行于坐标轴和过原点的直线。

课堂检测
1．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.213, B.--
213, C.--1
2
3, D.－2，－3 2．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为
（ ）
（A ）－;3
1
（B ）－3;
（C ）;3
1
（D ）3
3．直线mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
4. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为点斜式。

（1）斜率是3，且经过点()3,5A ；
（2）过点()0,3-B ，且垂直于x 轴；
（3）斜率为4过点，在y 轴上截距为-2；
（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；
（5）经过点()5,1-A ，()1,2-B 两点；
（6）在y x ,轴上的截距分别是-3，-1.
5．已知两点A(7,-4) 、B(-5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。

6.（思考题）：设直线l 的方程为(
)(
)
,6212322
2
-=-++--m y m m x m m 根据以下条件分别确定实数m 的值：
（1）在x 轴上的截距式是-3； （2）斜率是-1.
2.1.2直线的方程——（一般式）
陆邦军2009-12-20
教学目标：
1、知识与技能：
⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A 、B 不同时为0）
⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）； 2、过程与方法：
⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。

⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；
3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识 重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的理解
难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解
⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的应用。

教学方法：二先二后 课时：1～2节 教学过程：
一． 创设情境，引入新课：
是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？
【结论：】直线和二元一次方程有着一定的关系。

二． 新课讲授：
1、 思考探究直线和二元一次方程有怎样的关系：
问题二：平面内任意一条直线是否都可以用形如Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的方程来表示？
在平面直角坐标系中，每一条直线在斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为
y kx b =+和1x x =两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的形式，
即：直线Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0） 【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）来表示。

问题三：方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）是否可以表示平面内任意一条直线？
【结论：】可见方程Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）和直线有着一一对应的关系。

因此，
我们把方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为零）叫做直线方程的一般式。

注意事项：对于直线方程的一般式，一般做如下约定： (1) x 的系数为正。

(2) x 、y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列。

（3）求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成一般式。

2、 例题讲解： 例1．（课本P75例1）：
求直线 01553:=-+y x l 的斜率以及它在x 轴，y 轴上的截距，并作图。

变式训练：直线方程0Ax By C ++=，A 、B 、C 满足什么条件时，方程表示的直线 （1）平行于在x 轴； （2）平行于y 轴； （3）与x 轴重合； （4）与y 轴重合；
（5）与x 轴y 轴都相交；
（6）直线在两坐标轴上的截距相等； （7）直线过一、二、三象限。

例2.（课本P76例2）：
设直线l 的方程为 062=+-+m my x ，根据下列条件分别确定m 的值：
（1） 直线l 在x 轴上的截距是-3； （2） 直线l 的斜率是1.
例3．三角形三个顶点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C （1）求BC 边上高所在的直线的方程；（2）求BC 边上的中线所在的直线方程； （3）求BC 边的垂直平分线所在的直线方程。

变式训练：已知△ABC 的一个顶点是()1,3-A ，AB 被y 轴平分，BC 被直线x y =平分，求直线l 的方程。

3、小结：
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A ，B 不同时为零）的两方面含义：
(1 )直线方程都是关于x,y 的二元一次方程（2）关于x,y 的二元一次图象又都是一条直线 2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化，及互化时的注意事项。

自我测试
1．已知直线经过点()4,6-A ，斜率为3
4
-
，求直线的点斜式方程和一般式方程 2．把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形
3
．平面直角坐标系中，直线20x +=的倾斜角为（ ） （A ）
6π （B ）3
π （C ）23π （D ）56π
4、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）
A.ab>0,bc>0
B. ab>0,bc<0
C.ab<0,bc>0
D.ab<0,bc<0
5．直线1
y ax a
=-的图象可能是（ ）
6.已知直线l 的方程是0Ax By C ++
=
（1）当0B ≠时，直线l 的斜率是多少？当0B =呢？
（2）系数,,A B C 取什么值时，方程0Ax By C ++=表示过原点的直线？
7．直线(4)y k x =-必过定点________________；当0A B C ++=时，直线0Ax By C ++=必通过定点____________。

8．一根弹簧，挂4 N 的物体时，长为20 cm ，在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1 N ，弹簧就伸长1.5 cm 。

则弹簧的长度l （cm ）与所挂物体重量G （N ）之间关系的方程是____________________
思考题：过点P （-1，-2）的直线l 分别交x 轴和y 轴的负半轴于A ，B 两点。

⑴当PA PB ⋅最小时，求l 的方程；
⑵设△AOB 的面积为S ，讨论这样的直线l 的条数。

（答案：⑴30x y ++=；⑵当S=4时，一条240x y ++=；当4S <时，不存在；当4S >时，有2条）
（A ） （B ）
（C ）
（D ）。