湖北省随州市2020年中考数学试题(原卷版)

随州市2020年初中毕业升学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1.2020的倒数是（ ） A. 2020-
B. 2020
C.
1
2020
D. 12020
-
2.如图，直线12//l l ，直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若160︒∠=，则2∠的度数是（ ）
A. 60︒
B. 100︒
C. 120︒
D. 140︒
3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32
B. 31，30
C. 30，31
D. 30，30
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. 圆柱
B. 圆锥
C. 四棱柱
D. 四棱锥
5.
22
21
42x x x
÷--的计算结果为（ ） A.
2
x x + B.
22
x
x + C.
22
x
x - D.
2
(2)
x x +
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A. 35
2494
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B. 35
4294
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
C. 235
494
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D. 435
294
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s ）与出发时间（t ）之间的对应关系的是（ ）
A. B. C. D .
8.设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）
A. h R r =+
B. 2R r =
C. 3
4
r a =
D. 33
R a =
9.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如3
2
()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ） A. 15-
B. 35-
C. 15+
D. 35+
10.如图所示，已知二次函数2y ax bx c
=++的
图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴
交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①20a b +=；②23c b <；③当ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD 是直角三角形时，2
2
a =-
．其中正确的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11.计算：2(1)9-+=_____． 12.如图，点A ，B ，C 在
O 上，AD 是BAC ∠的角平分线，若120BOC ︒∠=，则CAD ∠的度数为_____．
13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m 的值为______．
14.如图，ABC 中，点D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 的中点，点P ，M ，N 分别为DE ，DF ，
EF 的中点，若随机向ABC 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．
15.如图，直线AB 与双曲线(0)k
y k x
=
>在第一象限内交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，点B 为线段AC 的中点，连接OA ，若AOC △的面积为3，则k 的值为____．
16.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合）
，过点M 作MH BC ⊥于点H ，连接BF ，给出下列判断：①MHN BCF ∽；②折痕MN 的长度的取值范围为15
34
MN <<；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若13DF DC =，则折叠后重叠部分的面积为5512
．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17.先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中5a =
3b =
18.已知关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++-=． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根1x ，2x ，且121231x x x x ++=，求m 的值．
19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题： 年龄x （岁）
人数 男性占比 20x < 4
50% 2030x ≤<
m
60% 3040x ≤< 25 60% 4050x ≤< 8 75% 50x ≥
3
100%
（1）统计表中m 的值为_______；
（2）若要按照表格中各年龄段人数来绘制扇形统计图，则年龄在“3040x ≤<”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______；
（3）在这50人中女性有______人；
（4）若从年龄在“20x <”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
20.如图，某楼房AB 顶部有一根天线BE ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C ，D ，
A ，在点C 处测得天线顶端E 的仰角为60︒，从点C 走到点D ，测得5CD =米，从点D 测得天线底端
B 的
仰角为45︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，25AB =米．
（1）求A 与C 之间的距离； （2）求天线BE
的
高度．（参考数据：3 1.73≈，结果保留整数）
21.如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以斜边AB 上的中线CD 为直径作O ，与BC 交于点M ，与AB
的另一个交点为E ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ．
（1）求证：MN 是O 的切线；
（2）若
O 的直径为5，3
sin 5
B =，求ED 的长．
22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：
第x 天
1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）
2
3
4
5 6 销量q （只）
70 75 80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为
2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出．．．．
该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．
23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足123S S S +=的有_______个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）面积分别为1S ，2S ，直角三角形面积为3S ，请判断1S ，2S ，3S 的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知123α∠=∠=∠=∠，则当α∠变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①2222a b c d +++=_______；
②b 与c 的关系为_______，a 与d 的关系为_______．
24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++的对称轴为直线3
2
x =，其图象与x 轴交于点A 和点(4,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）直接写出抛物线的解析式和CAO ∠的度数；
（2）动点M ，N 同时从A 点出发，点M 以每秒3个单位的速度在线段AB 上运动，点N 2个单位的速度在线段AC 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为
(0)t t >秒，连接MN ，再将线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒，设点N 落在点D 的位置，若点D 恰好落
在抛物线上，求t 的值及此时点D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P 为抛物线上一动点，Q 为y 轴上一动点，当以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与MDB △相似时，请直接写出．．．．点P 及其对应的点Q 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
多送一套2019年北京卷，不喜欢可以删除
2019年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）6
0.43910
（B ）6
4.3910
（C ）54.39
10
（D ）3439
10
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
3．正十边形的外角和为
（A ）180 （B ）360 （C ）720 （D ）1440
4．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为
（A ）
3
（B ）
2 （C ）1 （D ）1
5．已知锐角∠AOB 如图，
（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作
，交射线OB 于点D ，连接CD ；
（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点
M ，N ；
（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）∠COM=∠COD （B ）若OM=MN ，则∠AOB=20°
（C ）MN ∥CD
（D ）MN=3CD
N M
D O
B
C
P
A
6．如果1m n +=，那么代数式()
22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为
（A ）3-
（B ）1-
（C ）1 （D ）3
7．用三个不等式a b >，0ab >，11
a b <
中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组
成一个命题，组成真命题的个数为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．
学生类别
5
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间
所有合理推断的序号是 （A ）①③ （B ）②④
（C ）①②③
（D ）①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若分式1
x x -的值为0，则x 的值为______.
10．如图，已知
ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）
11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）
第10题图
C
B
A
第11题图
③圆锥
②圆柱
①长方体
第12题图
B
A
12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.
13．在平面直角坐标系
xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线
1
k y x =
上．点A 关于x 轴的
对称点B 在双曲线
2k y x =
上，则12k k +的值为______.
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．
图3
图2图1
15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差2
0s ．在计算平均数的过程中，将这组数据
中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，
则2
1s ______2
0s .
(填“>”，“=”或“<”)
16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．
对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17
．计算：
()01
1
4260
4
sin
π----++（）
.
18．解不等式组：
4(1)2,
7
.
3
x x
x
x
-<+⎧
⎪
+
⎨
>
⎪⎩
19．关于x的方程
22210
x x m
-+-=有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，
若BD=4，tanG=1
2，求AO的长．
21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：
30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
/万元
d ．中国的国家创新指数得分为69.5.
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l
的上方．请在图中用“
”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是______．
①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．
22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a
（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，
CD ．
（1）求证：AD=CD ；
（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．
C
B
A
23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有
i x 首，i =1，2，3，4；
②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍
后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入3x 补全上表；
（2）若
14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于
点D ．
A
B
C
D
P
小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下
表：
位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系
xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为______cm ．
25. 在平面直角坐标系xOy 中，
直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线
y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．
（1）求直线l 与
y 轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k
=时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；
②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．
26．在平面直角坐标系
xOy 中，抛物线
2
1
y ax
bx
a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单
位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点
11
(,)
2
P
a，(2,2)
Q
．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取
值范围．
27．已知30
AOB
∠=︒，H为射线OA上一定点，31
OH=+，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP
∠为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150︒，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：
OMP OPN
∠=∠；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．
备用图
图1
B
A
O
28．在△ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图，在Rt△ABC中，
22
AB AC D E
==，，分别是AB AC
，的中点．画出△ABC 的最
长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点
()()()()
0,20,04,00
A B C t t>
，，
，在△ABC中，
D E
，分
别是AB AC
，的中点．
①若
1
2
t=
，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
2019年北京市中考数学答案
参考答案与试题解析
一. 选择题.
二. 填空题.
9. 1 10. 测量可知11. ①② 12. 45°
13. 0 14. 12 15. =
16. ①②③
三. 解答题.
17．
【答案】
18．
【答案】
2 x<
19.
【答案】m=1，此方程的根为121
x x
== 20.
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF
∴AB BE AD DF
-=-
∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形
∵AC平分∠BAD
∴AC⊥EF
（2）AO =1.
21.
（1）17 （2）
（3）2.7 （4）①② 22. 【答案】 （1）
∵BD 平分∠ABC ∴∠=∠ABD CBD
∴AD=CD
（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 23． 【答案】 （1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组
第3组 3x
3x
3x
第4组
（2）4，5，6 （3）23 24．
（1）AD ， PC ，PD ； （2）
（3）2.29或者3.98 25. 【答案】 （1）
()0,1
（2）①6个 ②10k -≤<或2k =-
26. 【答案】
（1）1(2,
)B a ； （2）直线1x
；
（3）1a ≤
２．
27. 【答案】
（1）见图
21
（2）
在△OPM 中，=180150OMP POM OPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠ 150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠
OMP OPN ∴∠=∠
（3）OP=2.
28.
【答案】
（1）如图：
1801180180n r l πππ=== （2）
①1P y ≥
或1
2P y ≤；
②0t <≤
B C。