高考物理备考 艺体生百日突围系列 专题05 万有引力定

专题05 万有引力定律
第一部分 特点描述
万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。

考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。

由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。

本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。

第二部分 知识背一背
一、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。

2.公式：F =
Gm 1m 2r
2，其中G 为引力常量，G =6.67×10-11 N ·m 2/kg 2
，由卡文迪许扭秤实验测定. 3.适用条件：两个质点之间的相互作用.
(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 为两球心间的距离。

(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r 为_质点到球心间的距离。

二、三种宇宙速度
三、经典时空观和相对论时空观
1.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的.
2.相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m=
m 0
1－v 2c
2
.
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

第三部分 技能+方法
考点一、万有引力定律在天体运动中的应用 1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路 （1）一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式
G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2
r ＝m 4π2
T
2·r ＝ma mg ＝GMm
R
2(g 为星体表面处的重力加速度)．
2.天体质量和密度的计算 （1）估算中心天体的质量
①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T 和轨道半径r ，就可以求出中心天体的质量M
②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g 和半径R ，就可以求出中心天体的质量M
（2）设天体表面的重力加速度为g ，天体半径为R ，则mg ＝G Mm R 2，即g ＝GM R
2(或GM ＝gR 2
)若物
体距星体表面高度为h ，则重力mg ′＝G
Mm
R ＋h 2，即g ′＝
GM
R ＋h
2
＝
R 2R ＋h
2
g .
【例1】（多选）我国计划在2017年发射“嫦娥四号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料。

已知月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，引力常量为
G ，嫦娥四号离月球中心的距离为r ，绕月周期为T 。

根据以上信息可求出： （ ）
A ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为r
g R 2
B ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为R
g r 2 C ．月球的平均密度3
23
π3R GT r
D ．月球的平均密度为2π3GT
【答案】AC
【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式
222
224Mm v G m m r m r ma r r T
πω====在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清
楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算 考点二、双星模型
1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星． 2．模型特点：
(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在m 1、m 2两颗行星上．
(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等． (3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r 1＋r 2＝L .
【例2】（多选）两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O 为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m 1、m 2，以下说法正确的是： （ ） A.它们的角速度相同 B.线速度与质量成反比 C.向心力与质量成正比 D.轨道半径与质量成反比 【答案】ABD 【解析】
双星运动时都是绕一共同点转动的，故它们的角速度是相等的，选项A 正确；因为它们的万
有引力提供向心力，而万有引力相等，故22
112212
m v m v R R =
，即m 1v 1ω=m 2v 2ω，可见线速度并与质量成反比，故选项B 正确；它们的向心力相等，故选项C 错误；因为m 1ω2
R 1=m 2ω2
R 2，故轨道半径与质量成反比，故选项D 正确。

第四部分 基础练+测
1、【2017·黑龙江省大庆中学高三上学期期末考试】下列说法正确的是： （ ） A ．牛顿通过“斜面实验”，推翻了亚里士多德的“力是维持物体运动的原因” B ．开普勒将第谷的几千个数据归纳出简洁的三定律，掲示了行星运动的规律 C ．用质点来代替实际物体的研究方法是等效替代法 D ．卡文迪许利用扭秤实验得出万有引力与距离的平方成正比 【答案】
B
【名师点睛】本题考查物理学史，是常识性问题，对于物理学上重大发现、发明、著名理论要加强记忆，这也是考试内容之一。

2、【2017·广东省揭阳市高三上学期期末调研考试】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a 、b 、c 三颗卫星均做圆周运动，a 是地球同步卫星，则： （ ）
A ．卫星a 的角速度小于c 的角速度
B ．卫星a 的加速度大于b 的加速度
C ．卫星a 的运行速度大于第一宇宙速度
D ．卫星b 的周期大于24 h 【答案】A 【解析】根据公式2
2
Mm G
m r r
ω=
可得ω=a 的角速度小于c 的角速度，A 正确；根据公式2
Mm G
ma r =可得GM
a r
=，由于ab 的轨道半
径相同，所以两者的向心加速度相同，B 错误；第一宇宙速度是近地轨道的环绕速度，也是最
大的环绕速度，根据公式2
2Mm v G m r r
=可得v =
a 的运行速度小于第一宇宙速度，C 错误；根据公式2224Mm G m r r T π=可得2T =故轨道半径相同，周期相同，所以卫星
b 的周期等于24 h ，D 错误； 【名师点睛】在万有引力这一块，涉及的公式和物理量非常多，掌握公式
222
224Mm v G m m r m r ma r r T
πω====在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清
楚各个物理量表示的含义，最后选择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计算
3、【2017·山东省枣庄市高三上学期期末质量检测】1871年，人们发现了太阳系中的第七颗行星-天王星，但是，它的运动轨迹有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差；英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家雷维耶相信在天王星轨道外面还存在一颗未发现的行星；他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道，后来这颗行星被命名为“海王星”；设天王星和海王星各自绕太阳做匀速圆周运动，两行星的轨道平面共面，它们绕行的方向相同；设从两行星离得最近时开始计时，到下一次两行星离得最近所经历的最短时间为t ；设天王星的轨道半径为R ，周期为T ；假设忽略各行星之间的万有引力，那么海王星的轨道半径为： （ ）
A B C ． D ． t
R t T - 【答案】C
【名师点睛】本题关键抓住两行星发生最大偏离的条件是转动角度相差2π，进行列式，并要掌握开普勒第三定律研究周期和轨道半径的关系.
4、【2017·西藏自治区拉萨中学高三上学期期末】（多选） 2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上， 一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的： （ ）
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
【答案】AB
【解析】飞行器与地球同步绕太阳运动，角速度相等，根据v=rω，知探测器的线速度大于地球的线速度．故A正确．根据a=rω2知，探测器的向心加速度大于地球的向心加速度．故B 正确．探测器的向心力由太阳和地球引力的合力提供．故CD错误．故选AB。

【名师点睛】本题考查万有引力的应用，题目较为新颖，在解题时要注意分析向心力的来源及题目中隐含的条件。

5、【2017·黑龙江省大庆中学高三上学期期末考试】（多选）假设人造卫星沿圆周轨道绕地球运动，那么：（）
A．若人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍，则卫星的线速度也增大到原来的2倍
B．若人造卫星的轨道半径增大到原来的2
C．若人造卫星的线速度增加到原来的2倍，则卫星绕地球运动的周期减小到原来的1 2
D．若人造卫星的线速度增大到原来的2倍，则卫星绕地球运动的周期减小到原来的1 8
【答案】BD
【名师点睛】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，通过表达式
222224Mm mv G mr m r r T
πω==＝求出要讨论的物理量即可求解。

6、【广东省肇庆市2017届高三第二次模拟考试】（多选）美国国家科学基金会2010年9月29日宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，如图所示，这颗行星距离地球约20亿光年(189.21万亿公里)，公转周期约为37年，这颗名叫G l ie s e581g 的行星位于天枰座星群，它的半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近。

则下列说法正确的是： （ ）
A ．飞船在G l ie s e581g 表面附近运行时的速度小于7.9km/s
B ．该行星的平均密度约是地球平均密度的1/2
C ．该行星的质量约为地球质量的2倍
D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度 【答案】BD
7、【江西省赣州市十三县（市）十四校2017届高三上学期期中联考】由于受太阳系中辐射出的高能射线和卫星轨道所处的空间存在极其稀薄的大气影响，对我国神州飞船与天宫目标飞行器在离地面343km 的近圆形轨道上的载人空间交会对接．下面说法正确的是： （ ）
A ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会减小
B ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
C ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 【答案】B
【解析】根据万有引力提供向心力有：
2
2GMm v m r r
=，解得：GM v r =得轨道高度降低，
卫星的线速度增大，故动能将增大，故A 错误；卫星本来满足万有引力提供向心力即
2
2GMm v m r r
=，由于摩擦阻力作用卫星的线速度减小，提供的引力大于卫星所需要的向心力故卫星将做近心运动，即轨道半径将减小，故B
正确；第一宇宙速度为最大环绕速度，天宫一号的线速度一定小于第一宇宙速度，故C 错误；失重状态说明航天员对悬绳或支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随天宫一号围绕地球做圆周运动的向心力，所以D 错误。

8、【哈三中2016—2017学年度上学期高三学年期中考试】火星直径约为地球的一半，表面重力加速度约为地球的0.4倍，则火星质量约为地球的： （ ）
A ．110
B ．15
C ．25
D ．45
【答案】A
9、【贵州省铜仁市第一中学2017届高三上学期第三次月考理科】（多选）如图所示，将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火，将卫星送入同步轨道3，轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： （ ）
A ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道2上经过P 点时的速度
B ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度
C ．卫星从轨道1变轨到轨道3的过程中卫星动能变小,卫星的重力势能增加,但卫星的机械能增大。

D ．卫星在同步轨道3上的角速度等于在轨道1上的角速度
【答案】BC
【解析】根据开普勒行星运动第二定律可知，卫星在轨道2上经过Q 点时的速度大于它在轨道2上经过P 点时的速度，选项A 错误；根据2
GM
a r =
可知卫星在轨道1上经过Q 点时的加
速度等于它在轨道2上经过Q 点时的加速度，选项B 正确；根据v =
卫星从轨道1变轨到轨道3的过程中卫星的速度减小，动能变小,卫星的重力势能增加,但卫星的机械能增
大，选项C 正确。

根据2
2
Mm G
m r
r ω=，解得ω=3上的角速度小于在轨道1上的角速度，选项D 错误；故选BC.
10、【温州中学2017届高三11月选考模拟考试】某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的距离s ，则下列运算公式中错误的是： （ ）
A ． v R r g '
－－
B ． 2vT R r π－－
C ． ·2t s c ＝
D ． R r － 【答案】A
【解析】月球表面的重力加速度g′与月球绕地球转动的线速度v 没有关系，不能得到2
v g R '='，
则不能求出2
v R g '='
．故A 错误；由题，月球绕地球转动的线速度为：v=1km/s ，周期为：T=27.3s ，
则月球公转的半径为：2vT R π'=
，s=R′-R-r=
2vT
R r π
－－．故B 正确．由题，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t=2.565s ，光速为c ，则有：·2
t
s c ＝，故C 正确；以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力．设地球质量为M ，月球的质量为m ，
则得：2224Mm R G m R T π'='，又在地球表面，有：02GM g R ＝ 联立上两式得：R '=则
有：s=s=R′-R-．故D 正确．本题选不正确的，故选A. 11、【广西桂林市桂林中学2017届高三11月月考理科综合】已知地球的半径为R ，地球的自转周期为T,地表的重力加速度为g ，要在地球赤道上发射一颗近地的人造地球卫星，使其轨道在赤道的正上方，若不计空气的阻力，那么： （ ） A.向东发射与向西发射耗能相同，均为
2112()22R mgR m T
π-
B.向东发射耗能为,比向西发射耗能多
212)2R m T π-
C.向东发射与向西发射耗能相同，均为
2
12)2R m T
π+
D.向西发射耗能为2
12)2R m T
π，比向东发射耗能多 【答案】D
12、【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试理科综合】（多选）“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空110”，它可在太空中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命。

假设“轨道康复者”的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是： （ ）
A ．“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的5倍
B ．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍
C ．站在赤道上的人可观察到“轨道康复者”向东运动
D ．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救
E ．“轨道康复者”可在高轨道上减速，以实现对低轨道上卫星的拯救 【答案】BCE
【解析】根据2
2Mm v G m r r
＝得：v 的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，则“轨道康复者”的速度是地球同步卫星
A 错误． 根据2Mm G
ma r ＝得：2
GM
a r
=，因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径为地球同步卫星轨道半径的五分之一，则“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的25倍．故B 正确．因为“轨道康复者”绕地球做匀速圆周运动的周期小于同步卫星的周期，则小于地球自转的周期，所以“轨道康复者”的角速度大于地球自转的角速度，站在赤道上的人用仪器观察到“轨道康复者”向东运动．故C 正确．“轨道康复者”要在原轨道上减速，做近心运动，才能“拯救”更低轨道上的卫星．故D 错误，E 正确．故选BCE.
13、【辽宁省鞍山市第一中学2017届高三上学期第一次模拟考试】小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g ，月球半径为R ，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为： （ ）
A ． 4.7π
B ．3.6π
C ．1.7π
D ．1.4π【答案】A
所以6T π=T 1，航天飞机在大圆轨道运行的周期是T 2．
对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：
()
()
()
2
2
2
123
3
3
323T T T R R R =
=
，解得
14T =月球表面逗留的时间t 应满足:t=nT 2﹣T 1 （其中，n=1、2、3、…）…由以上可得：
64t π=-n=1、2、3、…），
当n=1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t=4.7π
，故选A ． 所以选A 正确。

14、【哈三中2016—2017学年度上学期高三学年期中考试】火星可看成质量均匀分布的球体，其半径为R ，自转周期为T ，表面重力加速度为g ，若发射一颗火星的同步卫星，求该同步卫星轨道距火星表面的高度h 。

【答案】h =
【解析】在火星表面，对质量为m 的物体有：2
Mm
mg G
R =， 同步卫星的周期等于火星的自转周期T ，万有引力提供向心力，有：
()
()22
2
24Mm G
m R h T
R h π'
='++
联立解得：h =
15、【山东省菏泽市2017届高三上学期期中考试】嫦娥三号”探测器在西昌发射中心发射成功．“嫦娥三号”经过几次成功变轨以后，探测器状态极其良好，成功进入绕月轨道．“嫦娥三号”探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志我国已成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家．设“嫦娥三号”探测器环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h ，已知月球表面的重力加速度为g 、月球半径为R ，引力常量为G ，
则：（1）探测器绕月球运动的向心加速度为多大；（2）探测器绕月球运动的周期为多大．
【答案】（1）22()R g a R h =+（2）2T =
16、【河南省八市重点高中2017届高三上学期第二次质量检测】2009年9月17曰科学家在太阳系外发现了首个密度接近地球的COROT-7b 行星，其质量约为地球的5倍。

假定地球的第一宇宙速度V 0，可认为该行星密度和地球密度相等，质量是地球质量的5倍。

己知质量为m 的物体离行星球心距离r 处的引力势能为P GMm
E r
=-
，其中G 为万有引力常量，且行星和地球均可看作质量分布均匀的球体。

求：(1)该行星的第一宇宙速度？(2)该行星的第二宇宙速度？
【答案】（1
0（2
【解析】（1）设行星和地球的半径分别为R 1和R 2，质量分别为M 1和M 2，密度为ρ，将星球看做质量分布均匀的球体，则3114
3
M R πρ= 对气球有：32243
M R πρ=，且5M 2=M 1
解得12R =
设环绕行星表面运行的近地卫星的线速度为v 1，卫星质量为m ，则有：2
11211
M m v G m R R =
解得1v =
v=而近地卫星的速度等于第一宇宙速度，则该行星的第一宇宙速度为
1
v=
同理地球的第一宇宙速度为：
v==
解得：
10。