《线性代数》第五章A组题
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第五章
二 次 型
习 题 五
（A ）
1、写出下列二次型的矩阵
（1）),,(321x x x f =32312
221242x x x x x x -+-；
（2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：（1）因为
),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---01
2110
202
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321
x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---01
2110
202。 （2）因为
),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛01
110010001
1110⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4321
x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛01
110010001
1110。
2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： （1）⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛
---
-
22
2
12021
212
11； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---12
12
10
210211212112
1
01210
。
解：（1）设T 321),,(x x x X =，则
),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
---
-22
2
12021
212
11⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则
),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---12
12
10210211212112
101210⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛4321x x x x =43423231212
4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
3、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
（1）),,(321x x x f =32212
221442x x x x x x --+；
（2）),,(321x x x f =322122x x x x -；
（3）),,(321x x x f =32212
322214432x x x x x x x --++。
解：（1）二次型),,(321x x x f 的矩阵 A =⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛----02
0212
022
。 A 的特征方程为
)d e t (A E -λ=
λ
λλ2
2120
22
--=)45)(2(2+-+λλλ=0，
由此得到A 的特征值21-=λ，12=λ，43=λ。
对于21-=λ，求其线性方程组0)2(=--X A E ，可解得基础解系为
T 1)2,2,1(=α。
对于12=λ，求其线性方程组0)(=-X A E ，可解得基础解系为： T 2)2,1,2(-=α。
对于43=λ，求其线性方程组0)4(=-X A E ，可解得基础解系为： T 3)1,2,2(-=α。
将321,,ααα单位化，得 T
111)32,32,
31(1
==
ααγ， T
222)3
2,31
,32(1
-
==
ααγ，
T
33
3)3
1,32,3
2(1
-
==ααγ， 令
P =),,(321γγγ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--313
23
232
3132
323231， 则 P T AP =diag(-2,1,4)=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-40
0010
002。 作正交替换X=PY ，即
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
+-=-+=++=321332123
211
3132323231323
23231y y y x y y y x y y y x ，
二次型),,(321x x x f 可化为标准形：
2
3222142y y y ++-。
（2）类似题（1）方法可得： P =⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
-212
12
121210
212121，P T
AP =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-20
00200
00
， 即得标准形：2
32
222y y -。
（3）类似题（1）的方法可得： P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---
313
23
2323231
32313
2， P T
AP =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-10
0050002
， 即得标准形：2
3222152y y y -+。
4、用配方法将下列二次型化为标准形：
（1）),,(321x x x f =3231212
3222162252x x x x x x x x x +++++；
（2）),,(321x x x f =312142x x x x +；
（3）),,(321x x x f =323121224x x x x x x ++-。 解：（1）先将含有1x 的项配方。
),,(321x x x f =21x +)(2321x x x ++232)(x x +－232)(x x ++222x +326x x +2
35x
=2321)(x x x +++2
2x +324x x +234x ，
再对后三项中含有2x 的项配方，则有
),,(321x x x f =2321)(x x x +++2
2x +324x x +234x =2321)(x x x +++232)2(x x +。
设Y =T 321),,(y y y ，X =T
321),,(x x x ，B =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛00
0210
111， 令Y=BX ，则可将原二次型化为标准形2
22
1y y +。
（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）
的方法进行配方。