二轮复习 探索分段函数的图象与性质 学案(全国通用)

一． 方法综述
分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数，而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围.
对于分段函数应用题，尤其是求最值问题，不仅要分段考虑，最后还要再将各段综合起来进行比较．要注意分段函数值域是各段上函数值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的．
二． 解题策略
类型一：分段函数的图象
例1.已知f (x )＝⎩⎨⎧
－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )
【答案】D
【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供
了“形”的直观性.&
【举一反三】【2017年第三次全国大联考（山东卷）】已知偶函数
1()
y f x
=与奇函数
2()
y f x
=满足
3
12
1
()()
x
f x f x
x
+
+=，设函数1
2
(),0,
()
(),0,
f x x
f x
f x x
≥
⎧
=⎨
<
⎩
且()()
g x f x
=--，则函数()
g x的图象是（）【答案】D
类型二：分段函数的周期性
例 2.【2014年四川卷】设()
f x是定义在R上的周期为2的函数，当[)
11
x,
∈-时，()2420
x,x
f x
x,x
⎧-+ -1≤<
=⎨
0≤<1
⎩
，则
3
2
f
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
.
【答案】1
【解析】2
311
()()4()21
222
f f
=-=-⨯-+=1
【解题秘籍】判断周期函数的一般方法:
(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．考点梳理栏目中有关周期的结论应熟记．
(2)公式法：若函数f(x)是周期函数，且周期为T，则函数f(ax＋b)(a≠0)也为周期函数，且周期T′＝
T
|a|.【举一反三】【2014年安徽卷】若函数()()R
x
x
f∈是周期为4的奇函数，且在[]2,0上的解析式为
()⎩⎨⎧≤<≤≤-=2
1,sin 10),1(x x x x x x f π，则_______641429=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f . 【答案】16
5 【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性.因为周期是4，且在[]2,0上的解析式为
()⎩
⎨⎧≤<≤≤-=21,sin 10),1(x x x x x x f π，& 所以)641()429(f f +)6
7()43()678()438(-+-=-+-=f f f f 16
567sin 4143)67()43(=+⨯-=--=πf f . 类型三：分段函数的奇偶性
例3.【2017江西九江地区联考】已知函数||
()21x f x =-+，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩则()F x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数，又是偶函数
D ．非奇非偶函数
【答案】A
【举一反三】已知函数22,0()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .
【答案】-15
【解析】((1))((1))(3)(3)15.f g f f f f -=-=-=-=-&
类型四：分段函数的单调性
例4.【2017河南濮阳市检测】已知函数
(12),1, ()1
log,1
3
x
a
a x
f x
x x
⎧-≤
⎪
=⎨
+>
⎪⎩
当
12
x x
≠时，12
12
()()
f x f x
x x
-
<
-
，则a的取值范围是（）
A.
1
(0,]
3
B．
11
[,]
32
C．
1
(0,]
2
D．
11
[,]
43
【答案】A
【举一反三】【2006年北京卷】已知
(31)4,1
()
log,1
a
a x a x
f x
x x
-+<
⎧
=⎨
>
⎩
是(,)
-∞+∞上的减函数，那么a的取值范围是（）
A.(0,1)
B.
1
(0,)
3
C.
11
[,)
73
D.
1
[,1)
7
【答案】C
【解析】依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<
1
3
，
又当x<1时，（3a－1）x＋4a>7a－1，
当x>1时，log a x<0，所以7a－1≥0解得x≥
1
7
，
故选C. &。