2-第二章-各向异性材料的应力-应变关系

三、正交各向异性材料的应力-应变关系
具有3个相互正交的弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。当图2.2中的
1O2，1O3和2O3平面均为弹性对称面时，按单对称材料的分析方法可以得到式
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
即刚度矩阵或柔度矩阵具有对称性。因此，一般各向异性材料中独立的 性常数为21个。
二、单对称材料的应力-应变关系
事实上，材料往往具有不同程度的弹性对称性。 单对称性材料是指具有一个弹性对称面的各向异性材 料（即沿两个相反方向，应力应变关系相同）。
应力，即 3 0 ，其他应力分量均为零，得到
1 S11 S12 S13 0
2
S12
S22
S23
0
0 S16 0
0
S26
0
3 3
2
233
S031
S32 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
03
(2.20)
1
31
0
0
0
S45 S55
0 0
12 S16 S26 S36 0 0 S66 0
应变—应力关系为:
11 S1111
22
S2211
33 23
SS32331111
31
S2111
12 S1211
32
13
21
S3211
S1311
S2111
S1122 S2222 S3322 S2322 S3122 S1222 S3222 S1322 S2122
S1133 S2233 S3333 S2333 S3133 S1233 S3233 S1333 S2133
S
2121
11
22
33 23
31
12
32
13
21
下标用符号表示时，有 ij Sijkl kl ，i, j, k, l 1, 2, 3
Sijkl 为柔度系数。也包含了81个弹性常数，
但是由于应力张量和应变张量具有对称性，
即
ij ji ij ji
（剪应力互等定律）
在0123’坐标系下的 应力-应变关系为：
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
233
CC3411
C32 C42
S1132 S2232 S3332 S2332 S3132 S1232 S3232 S1332 S2132
S1113 S2213 S3313 S2313 S3113 S1213 S3213 S1313 S2113
S1121
S
2221
S3321 S2321
S3121
S1221
S3221
S1321
2.1 三维各向异性材料的应力-应变关系
一、一般各向异性材料的应力—应变关系 在各向异性体中一点附近取出一个六面体微小单元，单元体各面上
的应力代表了这一点的应力状态，如图2.1所示。
一般情况下，一点的应力状态可以用9个应力张量
分量来表示，1，2，3为参考坐标轴，其变形状态
也可以用相应的9个应变张量分量 来表示。其
2
S12
S22
S23
0
0 S16 1
0
S26
2
233
S013
S23 0
S33 0
0 S44
0 S45
S36 0
233
(2.19)
31
0
0
0
S45 S55
0
31
材料的独立弹性常数也是13个
12 S16 S26 S36 0 0 S66 12
为了讨论材料弹性对称性的物理意义，取单对称材料，仅在3—3方向加正
(2.16)
同理，可以得到 C24 C25 C64 C65 C34 C35 0
这样单对称材料的应力—应变关系就可以表示为
1 C11 C12 C13 0
2
C12
C22
C23
0
0 C16 1
0
C26
2
233
C013
C23 0
C33 0
0 C44
0 C45
C36 0
233
C1121 11
C2221
22
C3321 C2321
33 23
C3121
31
C1221 12
C3221
32
C1321 13
C2121
21
下标用符号表示时，有 ij Cijkl kl i, j, k, l 1, 2, 3
(2.1)
式中， Cijkl 为刚度系数； 一般各向异性材料，包含了81个弹性常数。
应力分量 改写为：
1 11
2
22
3
33
4 23 23
5
31
31
6
12
12
x,y
1
2
xy
1 2
( u y
v ) x
(2.6)
于是，式(2.1)和式（2.2） 可以表示为：
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
i Sij j
式中， 和 i
j
表示工程应变分量。
(2.9)
通过对材料的应变能密度分析，可以证明
Cij C ji
Sij
S ji
(2.10)
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
233
CC3411
C32 C42
C33 C43
2
C12
C22
C23
0
0
0
2
233
C013
C23 0
C33 0
0 C44
0 0
0 0
233
31
0
0
0
0
C55
0
31
12 0 0 0 0 0 C66 12
(2.23)
因此与单对称材料的13个独立弹 性常数相比，正交各向异性材料 的独立弹性常数只有9个。
应变-应力关系式为
C25
C26
2
1 S11 S12 S13 S14 S15 S16 1
和
2
S21
S22
S23
S24
S25
S26
2
233
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
(2.7)
233
SS3411
S32 S42
S33 S43
S34 S44
S1123 S2223 S3323 S2323 S3123 S1223 S3223 S1323 S2131
S1131 S2231 S3331 S2321 S3131 S1231 S3231 S1331 S2112
S1112 S2212 S3312 S2312 S3112 S1212 S3212 S1312 S2131
(2.4)
所以，一般各向异性材料的弹性常数只有36个。
(2.2) (2.3)
通常弹性力学和材料力学教材中定义的应变分量并不是张量应变分量，称为
工程应变分量。如果将上述张量应变分量转换为
工程应变分量：
1 11
2
22
3 33
4 5
23 31
2 23
2
31
(2.5)
6 12 212
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233
，
233
CC3411
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
C36 C46
233''
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
应力—应变关系可表示为
ij
11 C1111
22
C2211
33 23
CC32331111
图2.1 各向异性体上 一点的应力状态
31
C2111
12 C1211
(i, j 1, 2, 3) ij
32
13
21
C3211 C1311 C2111
C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222 C3222 C1322 C2122
3
由式(2.20)可以得到该应力状态下的应变分量，即
1 S13 3
2
S23 3
3 S33 3 23 0
31 0
12 S36 3
(2.21)
这表明垂直于弹性对称面的正应力只引起3 个方向的正应变和垂直于正应力平面的剪 应变。因此，材料的弹性对称性的存在， 可以降低正应力和剪应变或是剪应力与正 应变的耦合程度，降低材料的各向异性。
C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C3233 C1333 C2133
C1123 C2223 C3323 C2323 C3123 C1223 C3223 C1323 C2131
C1131 C2231 C3331 C2321 C3131 C1231 C3231 C1331 C2112
第2章 各向异性材料的应力-应变关系
从宏观力学的角度，一般将复合材料看做均匀的各向 异性弹性体。在小变形线弹性条件下，各向异性弹性体和 各向同性弹性体的力平衡微分方程和几何关系的表达形式 是相同的，本质的区别在于物理关系，即应力-应变关系 不同。各向异性的特性决定了各向异性体的应力-应变关 系比各向同性体要复杂得多，各向同性体实际上是各向异 性体的一个特例。本章主要介绍三维各向异性材料的应 力—应变关系。
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
3'1
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
(2.7)
(2.12)
这样由式(2.7)可得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.13)
由式(2.12)可得 将式(2.11)中的
C33 0
0 C44
0 C45
C36 0
233
(2.22)
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
中的 C16 C26 C36 C45 0， 于是可得到正交各向异性材料应力-应变关系:
1 C11 C12 C13 0 0 0 1
假设图2.2中所示1O2平面是弹性对称面，沿
3轴和3轴方向上的应力和应变有以下关系：
3
13
13’
3’
23’ 23
3 3 13 13 23 23 3 3 23 23 31 31
(2.11)
在相差1800 的两套坐标系下，正应力符号相同，而剪应力符号相反。
因此，在0123坐标系下的 应力-应变关系为：
1 S11 S12 S13 0 0
2
S12
S22
S23
0
0
233
S13 0
S23 0
S33 0
0 S44
0 0
0 1
0
2
0 0
233
(2.24)
31
0
0
0
0
S55
0
31
12 0 0 0 0 0 S66 12
独立弹性常数也是9个
由式(2.24)可知，对于正交各向异性材料，正应力只引起正应变，剪 应力只引起剪应变，正应力和剪应变或是剪应力与正应变之间没有耦 合，这一点是和各向同性材料相同的。正交各向异性材料三个相互垂
1 C111 C12 2 C133 C14 23' C15 31 C1612 (2.14)
23 23, 31 31
代入(2.14)得 1 C111 C12 2 C133 C14 23 C15 31 C1612 (2.15)
比较式(2.13)和式(2.15)，必须有 C14 C15 0
31
0
0
0
C45 C55
0
31
12 C16 C26 C36 0 0 C66 12
(2.17) (2.18)
显然，单对称材料的式(2.18)和一般各向异性材料的式(2.7)相比，独立的 弹性常数由21个减少到13个。 与式(2.18)相对应，其应变-应力的关系为:
1 S11 S12 S13 0
C1112 C2212 C3312 C2312 C3112 C1212 C3212 C1312 C2131
C1132 C2232 C3332 C2332 C3132 C1232 C3232 C1332 C2132
C1113 C2213 C3313 C2313 C3113 C1213 C3213 C1313 C2113
S35 S45
S36 S46
233
(2.8)
31
C51
C52
C53
C54
C55
C56
31
12 C61 C62 C63 C64 C65 C66 12
31
S51
S52
S53
S54S55Fra bibliotekS56
31
12 S61 S62 S63 S64 S65 S66 12
下标用符号表示时，有 i Cij j i, j 1, 2, , 6