一类二阶奇异非线性微分方程的数值算法
一类二阶微分方程数值新算法
２ １年 ３ 月 ０１
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一
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谭 加 博 ， 成 伟 蔡
（ 京 物 资 学 院 信 息 学 院 ， 京 １ １４ ） 北 北 ０ １９
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第２ ０卷
第 １期
河 南教 育 学 院 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｎ ｎＩ ｓ ｔｔ ｆ ｕ ａｉｎ（ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｆＨｅ ａ ｎ ｔｕｅｏ ｃ ｔ ｉ Ｅｄ ｏ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｉ
Ｖｏ１２ ＮＯ １ ．Ｏ ．
０ 目 言 Ｉ
通 过 对 一 阶 微 分 方 程 的 Ｅ ｌｒ 法 、 进 Ｅ ｌ 算 法 、 Ｅ ｌ 算 法 、 ａｓ ｕｅ 算 改 ｕｅ ｒ 隐 ｕｅ ｒ Ｇ ｕｓ中点 算 法 以及 对 二 阶微 分 方 程 的数 值 解 法 辛 Ｅ ｌｒ 的研 究 ， 现 在 一 阶 微 分 方 程 这 组 算 法 中 ， 于计 算 二 阶 微 分 方 程 的 数 值 算 法 的 辛 Ｅ ｌ 算 法 是 由 Ｅ ｌ 算 法 和 隐 Ｅ ｌｒ ｅ法 发 用 ｕｅ ｒ ｕｅ ｒ ｕｅ 算 法 组 合 而成 ． 是 在 研 究 辛 Ｅ ｌ 法 的 同 一 理 论 平 台 上 ， 者 提 出 了一 个 由 Ｅ ｌｒ 法 和 Ｇ ｕｓ 点算 法组 合 或 者是 由 Ｅ ｌｒ 于 ｕｒ ｅ 笔 ｕｅ 算 ａｓ 中 ｕｅ
二阶非线性微分方程的解法
二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。
本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。
1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。
如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。
但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。
对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。
设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。
代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。
2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。
但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。
一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。
将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）是研究物理、工程和应用数学等领域中的重要问题之一。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解不仅依赖于未知函数本身，还依赖于未知函数的导数、高阶导数和其他非线性项。
因此，求解非线性偏微分方程是一项困难而具有挑战性的任务。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种数值方法和技术。
一种常用的求解非线性偏微分方程的数值方法是有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
有限差分法将求解区域离散化成网格，然后使用数值逼近来近似未知函数和导数。
通过将偏微分方程中的导数用离散化的差分近似表示，可以将原始的非线性偏微分方程转化为一组非线性代数方程。
然后，可以使用迭代方法（如牛顿法）求解这组方程，得到非线性偏微分方程的数值解。
除了有限差分法，其他常用的数值方法包括有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和谱方法（Spectral Methods）等。
这些方法在不同的问题和领域中有着广泛的应用。
例如，有限元法在结构力学、流体力学和电磁学等领域中被广泛使用；有限体积法在计算流体动力学和多相流等问题中得到广泛应用；谱方法在流体力学、量子力学和声学等领域中得到广泛应用。
尽管非线性偏微分方程数值解法在实际应用中具有重要的地位，但由于非线性偏微分方程的复杂性，求解过程中常常会遇到一些困难。
其中之一是收敛性问题。
由于非线性偏微分方程的非线性项，往往导致数值方法的迭代过程不收敛或收敛速度很慢。
为了解决这个问题，可以采用加速技术（如牛顿—高斯—赛德尔方法）、网格重构和网格自适应等方法来改善收敛性。
另外，稳定性问题也是非线性偏微分方程数值解法中需要考虑的重要问题。
由于数值方法的离散化误差和时间步长的选择等因素，计算结果可能会产生不稳定性，例如数值震荡和破坏性的解。
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
非线性微分方程的数值解法
非线性微分方程的数值解法非线性微分方程是数学中一个重要的研究领域，它在物理、工程和生命科学等领域中都有广泛的应用。
然而，求解非线性微分方程是一个相对困难的问题，因为它们往往没有解析解。
为了解决这个问题，数值解法成为了一种重要的工具。
在非线性微分方程的数值解法中，有几种常见的方法，比如有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法各有优缺点，适用于不同类型的非线性微分方程。
下面将介绍其中的一些方法。
有限差分法是一种常见的数值解法，它将微分方程中的导数用差分来近似表示。
通过将区域离散化为网格，将微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。
有限差分法简单易懂，适用于一些简单的非线性微分方程，但对于复杂的问题，可能需要较大的网格和更多的计算资源。
有限元法是一种更为灵活的数值解法，它将区域划分为许多小区域，然后在每个小区域上构建一个适当的试验函数。
通过将微分方程转化为一个变分问题，可以得到一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到数值解。
有限元法适用于各种类型的非线性微分方程，但需要更高的计算资源和更复杂的算法。
谱方法是一种基于特殊函数的数值解法，它利用特殊函数的性质来近似非线性微分方程的解。
谱方法在一些特定的问题中表现出色，比如边界层问题和奇异问题。
它的优点是精度高，收敛速度快，但对于一般的非线性微分方程，谱方法可能不太适用。
除了这些传统的数值解法，还有一些新的方法正在被研究和发展。
比如，神经网络方法和深度学习方法在解非线性微分方程方面取得了一些突破性的进展。
这些方法利用神经网络的强大拟合能力和学习能力，可以通过大量的数据来近似非线性微分方程的解。
虽然这些方法还处于发展阶段，但它们有着巨大的潜力。
总的来说，非线性微分方程的数值解法是一个复杂而又有挑战性的问题。
不同的数值解法适用于不同类型的非线性微分方程，选择适当的方法对于获得准确的数值解非常重要。
随着计算机技术的不断进步，数值解法在解决非线性微分方程问题中的应用将会越来越广泛。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
数学物理方程的数值解法
数学物理方程的数值解法数学物理方程是自然界和科学中描述物体运动、能量转化和相互作用的基本规律。
我们通常使用数值解法来求解这些方程，以得到近似的解析解。
数值解法既可以用于数学问题，也可以用于物理问题。
本文将介绍几种常见的数学物理方程的数值解法。
一、微分方程的数值解法微分方程是描述物体运动和变化的重要工具。
常见的微分方程有常微分方程和偏微分方程。
常见的数值解法包括：1. 欧拉法（Euler's method）欧拉法是最简单的数值解法之一，通过将微分方程离散化为差分方程，在每个小时间步长上近似计算微分方程的导数。
欧拉法易于实现，但精度相对较低。
2. 龙格-库塔法（Runge-Kutta method）龙格-库塔法是一类常用的数值解法，包括二阶、四阶等不同的步长控制方法。
龙格-库塔法通过计算多个离散点上的导数来近似微分方程，精度较高。
3. 有限差分法（Finite difference method）有限差分法是一种常用的数值解法，将微分方程转化为差分方程并在网格上逼近微分方程的导数。
有限差分法适用于边值问题和初值问题，且精度较高。
二、积分方程的数值解法积分方程描述了给定函数的积分和积分变换之间的关系。
常见的数值解法有：1. 数值积分法数值积分法是通过数值逼近求解积分方程，常用的数值积分法包括梯形法则、辛普森法则等。
数值积分法适用于求解一维和多维积分方程。
2. 蒙特卡洛法（Monte Carlo method）蒙特卡洛法通过随机采样和统计分析的方法，将积分方程转化为概率问题，并通过大量的随机样本来估计积分值。
蒙特卡洛法适用于高维空间和复杂积分方程。
三、优化问题的数值解法优化问题是寻找在给定约束条件下使目标函数取得极值的数学问题。
常见的数值解法有：1. 梯度下降法（Gradient descent method）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代和梯度方向来寻找目标函数的局部最优解。
梯度下降法适用于连续可导的优化问题。
微分方程的常用数值解法
微分方程的常用数值解法摘要：微分方程是数学中的一种重要的方程类型，它能描述自然现象和工程问题中的许多变化规律。
但是大多数微分方程解法是无法用解析的方式求解的，因此需要借助数值解法来近似求解。
本文将介绍微分方程的常用数值解法。
关键词：欧拉方法；龙格-库塔方法；微分方程；常用数值解法一、微分方程数值解方法微分方程数值解法是数学中的重要部分。
欧拉方法、龙格-库塔方法和二阶龙格-库塔方法是常用的微分方程数值解法，下面就分别介绍这三种方法。
（一）欧拉方法欧拉方法是解初值问题的一种简单方法，它是欧拉用的第一种数值方法，也叫向前欧拉法。
欧拉方法是利用微分方程的定义式y’=f(x, y)，将它带入微分方程初值问题y（x_0）=y_0中，以y_0为初始解，在每一步上通过沿着切线的方法进行估计并推进新的解y_{i+1}：y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i)其中，x_i和y_i是我们知道的初始条件，h是求解过程中的步长，f是微分方程右端项。
它是一种时间迭代的算法，易于实现，但存在着精度不高的缺点。
（二）龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种经典迭代方法，也是近代微分方程数值解法发展的里程碑之一。
龙格-库塔方法的主要思想是利用规定的阶码及阶向量，通过递推求解微分方程数值解的近似值。
龙格-库塔方法的方式不同，其步骤如下：第一步：根据微分方程，计算出在x_i和y_i的值。
第二步：在x_i处对斜率进行估计，并利用这个斜率来求解下一步所需的y_i+1值。
第三步：使用x_i和y_i+1的值来重新估计斜率。
第四步：使用这个新的斜率来更新y_i+1的值。
（三）二阶龙格-库塔方法二阶龙格-库塔方法是龙格-库塔方法的一种变体，它根据龙格-库塔方法的思想，使用更好的步长来提高数值解的精度。
二阶龙格-库塔方法的基本思路是，在第一次迭代时使用一个阶段小一半的y_i+1，然后使用这个估算值来计算接下来的斜率。
通过这种方法，可以提高解的精度。
二阶龙格-库塔方法的步骤如下：第一步：计算出初始阶段的y_i+1值。
一类二阶非线性奇异边值问题的正解
一类二阶非线性奇异边值问题的正解
解：
一般而言，解决一类二阶非线性奇异边值问题的正解可以采用泛函分析方法。
泛函分析是一种重要的数学方法，用于求解一类非线性泛函问题，其中非线性主要是指问题中有非线性函数的存在。
例如，对于一个奇异边值问题，可以通过泛函分析的理论和方法，来求解响应的正解。
泛函分析主要是通过穷举法，仔细分析和积累大量的实例来求解一类问题，从中得出可以应用于所有类似问题的解决方案。
一般而言，具体方法和步骤如下：
（1）检查问题的函数特性：有时，可以从函数的定义，函数的极值或者其他函数性质来推断可行的解题方法。
（2）通过分析和比较一定范围事例，找出相同性质问题的特性，形成通用的解决方案。
（3）使用现有的理论和方法，或者基于分析得到的结果，推导出一种可以解决此类问题的一般算法，得到正确的解决方案。
数值计算二阶方法
数值计算二阶方法二阶方法是数值计算中用于求解微分方程的一种方法。
它的基本思想是通过逼近导数和二阶导数的数值解，并利用数值解逐步逼近微分方程的解。
在介绍二阶方法之前，我们先回顾一下一阶方法。
一阶方法是通过逼近微分方程中的一阶导数来求解微分方程的。
其中最常用的一阶方法是欧拉方法，即利用切线逼近曲线。
它的公式为：y_n+1=y_n+h*f(x_n,y_n)，其中h为步长，f为微分方程右端的函数。
虽然欧拉方法可以有效地求解一阶微分方程，但它的精度不高，容易产生较大的误差。
二阶方法通过逼近微分方程中的二阶导数来提高精度，并减少误差的产生。
最常见的二阶方法是改进的欧拉方法，也称为龙格-库塔方法（Runge-Kutta方法）。
龙格-库塔方法通过使用多个插值点来逼近导数和二阶导数，并结合这些插值点来更新函数值。
其中最常用的二阶龙格-库塔方法为Heun方法，其公式为：k1=h*f(x_n,y_n),k2=h*f(x_n+h,y_n+k1),y_n+1=y_n+0.5*(k1+k2)。
在Heun方法中，首先计算出一个初始斜率k1，然后根据此斜率来计算一个中间点的函数值。
然后再计算第二个斜率k2，并使用斜率的平均值来更新函数值。
通过这种方式，Heun方法可以得到相比欧拉方法更准确的数值解。
除了Heun方法，还有其他多种二阶龙格-库塔方法，如改进的欧拉法（改进的Euler法），其中最著名的是RK4法。
RK4法是四阶方法，即它可以通过四个插值点来逼近导数和二阶导数。
RK4法的公式为：k1=h*f(x_n,y_n),k2=h*f(x_n+0.5*h,y_n+0.5*k1),k3=h*f(x_n+0.5*h,y_n+0.5*k2),k4=h*f(x_n+h,y_n+k3),y_n+1=y_n+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4)。
通过使用更多的插值点，RK4法相比于Heun方法更加准确，并且可以进一步提高数值解的精度。
非线性微分方程的数值求解方法
非线性微分方程的数值求解方法非线性微分方程是现代科学研究中的一个重要课题，其涉及机械、物理、化学、电子、生物、医学等众多领域。
然而，由于非线性微分方程普遍难以求解，因此，数值求解成为了解决问题的有效方法。
在本文中，我们将介绍非线性微分方程数值求解的常用方法和一些应用实例。
1. 常用方法1.1 有限差分法有限差分法是一种基于离散化技术的数值求解方法。
其具体操作是将非线性微分方程转化为一个差分方程，然后利用数值迭代的方法逐步计算出方程的解。
有限差分法是非线性微分方程数值求解的最基本方法，其优点是简单、易于实现，但由于离散化带来的误差限制了其应用范围。
1.2 有限元法有限元法是结构力学和流体力学中常用的一种数学方法，可以用于求解大量的非线性微分方程。
该方法将连续的物理问题转化为一系列离散的有限元问题，并利用数值技术实现数值计算。
相对于有限差分法，有限元法更加灵活、精确，能够模拟各种复杂的力学问题。
1.3 辛波特-欧拉法辛波特-欧拉法是非线性微分方程数值求解中的一种高精度方法。
其基本思想是将微分方程用欧拉法离散化，然后利用辛波特方法来提高精度。
该方法应用广泛，在计算机模拟、物理学、天文学等领域有着广泛的应用。
2. 应用实例2.1 生态学非线性微分方程在生态学中有着广泛的应用，其中最经典的例子是Lotka-Volterra方程。
这个模型描述了食物链中食草动物和食肉动物的数量变化。
利用有限元法、有限差分法等数值方法，可以对生态系统的发展、演变进行模拟，研究生态链条的稳定性、物种丰富度变化、环境扰动的影响等问题。
2.2 理论物理学非线性微分方程在理论物理学中也有着广泛的应用。
例如，把非线性微分方程用于研究非线性波方程和非线性光学方程，以及非线性薛定谔方程和非线性薛定谔场方程等等。
这些数值方法的应用可以有效地模拟和研究各种物理现象。
例如，研究自然灾害引起的气候变化、稳定器的效应、研究界面液晶显示器，以及研究光学调制中涉及的非线性现象等等。
一类二阶非线性奇异边值问题的正解
一类二阶非线性奇异边值问题的正解近几年来，随着科学技术的不断发展，数学建模已经逐步积极渗透到社会各个领域。
其中一类二阶非线性奇异边值问题（singularly perturbed boundary value problem），也就是我们简称的SPBVP，已经受到了人们的广泛关注。
它是在有界域上求解无穷系数微分方程组、带有奇异性质的积分方程组以及积分方程组耦合的系统代数方程时，提出的一类算法。
该边值问题不仅能有效抑制非线性数学模型的复杂性，而且能够更好地描述实际的工程和物理问题。
SPBVP的算法一般是以拉格朗日、哈密顿或其他解析法建立方程组，然后对方程组用代数系数法或定性分析法分解，最后以拉格朗日的方法解决每一个问题。
一般来说，SPBVP的主要特点是在求解过程中，边界条件是线性的，而且易于构造精确的解析解。
在过去的几十年中，SPBVP也受到了人们广泛的关注。
研究者们提出了很多新的解决问题的方法。
第一阶段是基于数值积分法的解法，研究者们构建了一系列新的数值积分算法来解决SPBVP。
这些新方法利用有限元重建原始函数，并用变步长差分格式求解原始问题。
此外，在最近几十年里，人们更加重视了使用解析法来解决SPBVP 的原理。
传统的拉格朗日法，即微分方程组和边值条件的合并，可以带来更精确的解析解。
而结合哈密顿定理和特殊奇异型边值问题特性，可以更轻松地进行算法分析。
此外，随着数值计算技术的进步，采用快速迭代算法解决SPBVP 的可行性也得到了更多的关注。
此类算法可以有效解决大规模非线性边值问题，并且可以有效缩短求解时间。
综上所述，一类二阶非线性奇异边值问题已经成为现代数学建模技术中的一个热门研究方向。
在过去的几十年里，研究人员发展出了多种有效的解决方案来解决该问题，其中包括基于数值积分法、基于解析法和基于快速迭代法。
因此，我们有信心有效地解决SPBVP，从而有助于更好地描述实际的工程和物理问题，从而改善社会各个领域的发展。
二阶非线性微分方程组的解法
二阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
其中，二阶非线性微分方程组是一类常见的微分方程，在实际应用中也具有重要的意义。
本文将介绍二阶非线性微分方程组的解法。
一、基本概念与知识首先，我们需要了解一些基本概念和知识。
二阶非线性微分方程组一般形式为：$$\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\z''=g(x,y,z,z')\end{cases}$$其中，$y$, $z$ 分别是自变量 $x$ 的函数，$f$, $g$ 是已知函数，$'$ 表示对自变量求导。
这类微分方程的解法不像线性微分方程组那样简单，需要运用一些特殊的技巧。
二、变系数法变系数法是解决二阶非线性微分方程组的一种有效方法。
其基本思想是将原方程组中的一个方程看作另一个方程的辅助方程，从而将原方程组化为一个二阶非齐次线性微分方程，然后再利用常规的线性微分方程的求解方法来解决。
具体步骤如下：(1) 假设 $z$ 是 $y$ 的辅助方程，即 $z''=g(x,y,z,z')$。
(2) 将 $z''$ 在 $y''$ 的方程中代入，得到二阶非齐次线性微分方程：$$y''-f(x,y,y')+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}=\frac{d^2 z}{dx^2}+\frac{d g(x,y,z,z')}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}\frac{dz}{dx}$$(3) 求解该方程。
(4) 由 $z''=g(x,y,z,z')$ 得到 $z$。
注意事项：在应用变系数法的过程中，需要注意以下几点：(1) 辅助方程的选取需要灵活，一般选取在求导和代入方便的方程作为辅助方程。
微分方程中的非线性方程组求解
微分方程中的非线性方程组求解微分方程是数学中研究变化规律的重要工具之一，它描述了自然界中许多现象的演化过程。
而非线性方程组在微分方程中的应用更是广泛，其中的求解对于科学研究和工程应用具有重要意义。
本文将介绍非线性方程组在微分方程中的求解方法，并讨论其应用。
一、非线性方程组的求解方法1. 数值方法求解数值方法是求解非线性方程组的一种常用方法，主要包括迭代法和牛顿法等。
迭代法是通过不断迭代逼近方程组的解，最终得到满足精度要求的解。
牛顿法则是通过构造一个线性方程组，并不断迭代求解，逼近方程组的解。
这两种方法都需要选取适当的初始值，并在迭代过程中考虑收敛性和稳定性。
2. 解析方法求解解析方法是指通过数学分析和求导等手段，直接得到方程组的解。
这种方法在解决简单的非线性方程组时具有较大优势，可以得到解析形式的解，便于分析和推导。
然而，对于复杂的非线性方程组，解析方法通常难以得到精确解，需要借助近似方法或数值计算。
二、非线性方程组在微分方程中的应用非线性方程组在微分方程中的应用广泛，以下以几个实例介绍其具体应用。
1. 非线性振动非线性振动是振动理论中研究的重要问题，非线性方程组常用于描述非线性振动系统的运动规律。
例如，一维简谐振子是一个常见的非线性振动系统，其运动方程可以表示为一个含有非线性项的微分方程组。
通过求解该方程组，可以得到简谐振子的运动行为，包括振幅、频率以及相位等。
2. 生物数学模型非线性方程组在生物数学领域中的应用也非常广泛。
例如，Lotka-Volterra方程是描述捕食者与被捕食者之间关系的非线性方程组，该方程组通过描述两者之间的相互作用和竞争关系，揭示了生态系统中物种的数量动态变化规律。
3. 电路分析电路分析中经常需要求解非线性方程组。
例如，开关电路中的非线性元件（如二极管）会引入非线性关系，导致电路方程组的非线性。
通过求解该方程组，可以得到电路中各个元件的电流和电压等参数，用于电路设计和分析。
一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解公式
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｎｔ ａ ｃ ｏ ｅ ｉｃ ｆ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ｎ ｏ ｎ － ｈ ｏ ｍｏ ｇ ｅ ｎ ｅ ｏ ｕ ｓ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｄ ｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｉ ｇ ｅ ｎ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ｒ ａ
Ｖ０ １ ． ２ ６ ＮＯ ． ３
Ｓ ｅ ｐ． ２ ０ １ ３
一
类二 阶常 系数非齐次线性微分 方程
特解 的 求解 公 式
李 岚
（ 闽西职业技术学院 电气 系，福建 龙岩 ３ ６ ４ ０ ２ １ ）
摘 要：利 用微 分算子法和欧拉 公式，推导 出一 类二 阶常 系数非 齐次线性微分 方程特 解的计算公式，进而得 出求此 类
ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ； Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ’ Ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ； ｏ ｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｐ ｏ ｌ ｙ ｎ ｏ ｍｉ ａ ｌ
引言
二 阶常 系数 非齐 次线性 微 分方程 的一 般形 式是 ：
＋ｐ ｘ ＋ｑ ｘ＝ ｆ（ ｔ ） ， 其 中Ｐ、ｑ ∈ ． （ １ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ａ ｎ ｄ Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ’ Ｓ Ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ａ ｒ ｅ ｕ ｓ ｅ ｄ ｈ ｅ ｒ ｅ ｔ ｏ ｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ａ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｃ ｕ ｌ ａ ｒ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｍ ｕ ｒ ｌ ａ ｏ ｆ ａ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ
非线性﹑微分方程数值求解
8 0.019 -124.540
In
0.182 0.088 0.058 0.0431 0.0343 0.0284 0.024 0.021 0.019
原因：对格式1，如果前一步有误差， 称为不稳定
则被放大5倍加到这一步
格式
稳定格式，对舍入误差有抑制作用
2、 有时候，模型本身就是病态
（系数引入小变化，解产生大变化）
6 5
I~n
2.
I n1
1 5
1 n
In
,
I8 0.019
In
n
In
0 0.182
I~n
0.182
1 0.088 0.090
2 0.058 0.050
3 0.0431 0.083
4 0.0343 -0.165
5 0.0284 1.025
6 0.024 -4.958
7 0.021 24.933
设 x* 为准确值， x 为近似值
er
e x*
x* x x*
x* x x
称为 x 的相对误差.
若| er|Biblioteka r ，则称 r 为 x 的一个相对误差限.
例：将10,000米的跑道建成10,010与 100米的跑道建成101， 两者的绝对误差分别为10和1米，优劣如何？
前者相对误差 (10010-10000)/10000=0.001， 后者相对误差(101-100)/100=0.01. 故虽前者绝对误差较大，但在某种意义上前者更精确。
在
( x1 , ,
xn ) 处取值.
故绝对误差限
e( f ) f (x1*,, xn* ) f (x1,, xn )
非线性微分方程的数值解算法
非线性微分方程的数值解算法非线性微分方程（Nonlinear differential equation，简称NDE）是微分方程中最难处理的一类问题。
由于它们的非线性特征，解析解并不常见，通常需要数值解算法来解决。
在这篇文章中，我们将讨论非线性微分方程数值解算法的基本原理和常见方法。
一、非线性微分方程的表达式在数学物理和科学工程中，非线性微分方程的表达式通常为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x代表自变量，y是一个关于x的函数，y'、y''。
y^(n)表示y的1到n次导数。
F(x,y,y',y'',...,y^(n))是与y相关的函数，可以是多项式、三角函数等。
二、数值解算法的原理求解非线性微分方程并不容易，因为几乎所有的解析解都是不存在的。
因此，为了得到一个描述这个方程的函数y(x)，我们通常需要使用数值解算法。
这些算法基于连续的函数逼近方法，将一个连续的函数分段近似为一组公式，通过计算非线性微分方程的求解空间来得出关于y(x)的估计值。
更具体地说，通常需要做以下几步：1. 将非线性微分方程转化为一个适当的积分方程为了使非线性微分方程易于处理，很多方法利用了积分方程，例如龙格-库塔方法。
这个方法利用了积分方程y(x+h)=y(x)+∑b_i*f(x+c_i*h,y(x+c_i*h),h)其中b_i、c_i是与权重相关的常量，f表示非线性微分方程右侧的函数。
这个方法会给出y(x+h)的近似值。
2. 迭代法或牛顿方法求解根据积分方程计算y(x+h)的近似值后，使用迭代法或牛顿方法求解方程f(x,y(x+h))=0的精确解。
这个方程的解表示为y(x+h)的精确值，它被用来代替原始方程中的y(y)。
3. 重复以上步骤一旦通过迭代法或牛顿方法找到了y(x+h)的精确值，就可以通过逐步减小h的值，继续重复上述步骤以获得更精确的解决方案。
一类二阶变系数微分方程的解
一类二阶变系数微分方程的解
一类二阶变系数微分方程是指具有两个未知函数的一类常微分方程，即其变量在每个各点上可以对应多种值，函数的解以及它们的特性有数学家研究，可以把它想像成椭圆或抛物线。
一类二阶变系数微分方程的解有三种：
一、常系数解法：若系数a、b、c不随时间变化，即a、b、c是常数，则可将该方程改写为常系数微分方程，可以直接用模拟积分解法或者其它积分解法解决。
二、逐步积分解法：当a、b、c都随时间变化，但是他们在各点把a和b看做常数时，可以采用逐步积分法来求解。
三、曲线拟合解法：当a、b、c都随时间变化，可以采用曲线拟合技术进行求解，采用拟合技术将原方程拟合到一条曲线上，然后对拟合后的曲线求解。
四、有限差分法：有限差分法是一种基于积分的计算技术，它采用离散化的方法分析一类二阶变系数微分方程，是在一类二阶常系数方程的基础上把时间段划分成若干的小颗粒，每一小颗粒上可以看到系数a、b、c的值，然后用逐步迭代法求解。
五、矩阵混沌解法：采用矩阵混沌方法作为一类二阶变系数微分方程求解方法，它是将该方程改写成矩阵的形式，然后求解矩阵的混沌状态，并从混沌中取出解。
以上就是一类二阶变系数微分方程的六种求解方法，根据实际需要，会采用不同的解法对一类二阶变系数微分方程进行求解，取得准确的解。
二阶非齐次线性微分方程的解法.
目 录待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程 待定系数法解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)d x dxL x a a x dt dt≡++=12,.a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++=(1.1)(1)特征根是单根的情形设12,,,nλλλ是特征方程的(1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如下2个解：12,t t e e λλ (1.2)如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为 1212t tx c e c e λλ=+如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。
设iλαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-它们的实部和虚部也是方程的解。
这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解cos ,sin .t t e t e t ααββ（2）特征根有重跟的情形若10λ=特征方程的k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解211,t,t ,k t -。
若这个k 重零根10,λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为1212,,,k (k 2)m m k k k k ++=。
方程(1)的解为 11112222111,t ,t ;,t ,t ;;,t ,t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--例1 求方程220d xx dt -=的通解。
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=F,对任意的u e X成立. 引理1.2[13]若F是连续算子，则F(«)是
零算子，对任意的u e X.
基于弗雷歇导数理论，得到方程(1)类似于
公式(2)的近似公式. 考虑算子 F：C2[0,l] ->C[O,1]
F(u)^=u" + ~u' +N(u)
X
其中N(u) =-/(x,u(%)).方程(1)可写为
rF(u) = 0,0 < % 1 ,a 1
心)
iu'(0)二 0,au(l) + bur(1) = c
根据定义1. 1和引理1. 1，可得到F在％点 的弗雷歇导数：
Fz(u0) zu—^u" + —u + Ar，(u0)u
(4)
x
且算子方程F(u)二0可近似的写为
F(u0) + F'(uo)(仏一坯)=0
【关键词】奇异非线性边值问题;数值解;拟牛顿法;再生核方法. 中图分类号:0241.8文献标识码:A 文章编号：1000-5617(2019)02-0026-04
0引言
考虑下列二阶奇异非线性微分方程
uw(x) + —u'(x') = f (x,u(x) )
(1)
X
带有Neumann和Robin边值条件
(5)
将(4)代入(5)得到下面方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u + —ur +M(uo)(u-u0)+ N(uq) = 0 x (6)
因此，得到一个拟牛顿迭代公式,如下
2 简化的再生核方法
在这部分，主要通过简化的再生核方法解决 线性方程•为了方便，讨论方程(7)得简化形式
/'(%) +—/(%) + a2(x)u = g(x)
u'(0) = 0 ,au( 1 ) + bur ( 1 ) = c.
其中，aMl,bM0,c M 0,对于任意的0 W兀W 1 ,
非线性函数/(x,U(x))连续，乎存在且连续， du
疋M 0. du
奇异边值问题在应用数学和工程实践中很
常见.如化学反应，气体动力学，控制和优化理
论，生物学领域和天体物理文献［4］给出了
改进的Adomian分解法.尽管这些数值方法很有 效且有很多优点，但同时也需要大量的计算或高 度光滑的条件.
近年来再生核理论作为强有力的框架出现 在数值分析，积分微分方程，概率和统计学 中SB基于再生核理论，该文将牛顿迭代和改
进的再生核法相结合，得到方程(1)的数值解. 这个方法与之前的方法有所不同•该方法可以减 少计算消耗并且可以提供高精度的全局近似解.
第35卷 第2期
哈尔滨师范大学自然科学学报
NATURAL SCIENCES JOURNAL OF HARBIN NORMAL UNIVERSITY
Vol. 35, No. 2 2019
一类二阶奇异非线性微分方程的数值算法
孙平平I,牛晶I…，吴琦2
(1 ■哈尔滨师范大学;2.黑龙江工商学院)
【摘要】解决奇异非线性问题，提出了一种基于拟牛顿法和简化的再生核方 法结合的有效方法.同时给出了数值解的收敛性分析.通过数值算例证明了所给方 法的准确性和高效性.
方程(7)是线性方程.首先，选择一个简单函数 满足边界条件，作为初始函数"。,将«0代入方程 (7)得到解呦，经过几次迭代，可以得到高精度 的数值解.
S”+2 = spanU<p, U<p2｝ ,S = ,U Si+2.
1=1
则 s”+2 u s u 昭. 定理2.2 u是算子方程(10)的精确解，则 Pu也是(10)的解,P是昭到S的正交投影算子. 令代+2是昭到S”+2的正交投影算子.则有 下列定理. 定理2. 3 P”+2“是下列线性方程组的解
二 0,1,2,-
第2期
一类二阶奇异非线性微分方程的数值算法
27
定义 1. 1[13] 令 F-X-^Y,X,Y 是 Banach 空
间，则有界线性算子A：X->Y在u e X叫做F的 弗雷歇导数，如果
dm II F(u + fi) - F(u) _ F(/i) || = q
—
II h ||
对任意的h e X,定义为F(u). 引理1.1[13]若F是线性算子，则,F'(u)
■
x
(X)
/(0) = 0 ,au( 1) +bu'(l) = c,
其中 °2 = M(攻),g&) = Nf(uk)uk +N( uk).方 程(8)乘以％，得
{%u,z(x) + au'(兀)+ xa2 (%) u 二 h{x)(旳 u'(0) = 0 ,au( 1 ) + bu' ( 1) = c. 其中,h(x) = %g(x). 对方程(9)引入再生核方法. 文献［10］中，碣［0,1］,昭［0,1］是再生核
1 拟牛顿法
先将经典牛顿迭代法进行改进用以解决非
线性问题，考虑非线性方程/(^) =0,在点 (%/(%)),得到切线方程
y =/(¾) +厂仏)(％ - %o)・ 而且，方程/(x) =0可以被下列方程近似
f &0)+/'(尤0)(% -牝)=0
(2)
为了解决/(x) =0,给出了牛顿迭代公式
xk+\
(*r£,)(x)
= (LRJ(t).
在区间［0,1］取稠密点集{讪二，在鷲空
间得到一个函数系2,(%) }二
<pM =
定理2.1［,0］ ｛件(”)｝二线性无关.
。'丫) 令卩1(%) =
I ,=0，卩2(尤)=aR^x) +
%；' + 号％; + N'(uk)uz = N'(uk)uk
.+ N(uJ u/(0) = 0*( ,au 1) + bu；( 1) = c ,k = 0,1,2••⑺
空间，再生核函数分别是«,(x),r,(x).
考虑算子厶吒［0,1］ tW；［0,1］,
Lu =%“"(％) + au'(x') + xa2(x)u(x)
方程(9)可写为 ［Lu + h(x) 1/(0) = 0,au( 1)+ bu' {1 ) = c.
,、 (10)
引理2.1 L'是厶的共辄算子，则
泰勒级数法并给出了误差分析.文献［5］的作者
应用变分迭代法解决方程(1).文献［6］的作者 为了计算方程(1)的近似解，用B样条函数去寻
找数值方法•文献［7］介绍了一个改进的分解方
法和三次B样条结合的一种新的方法.并且，文
献【8］讨论了基于格林函数Adomian分解法的
收稿日期:2019-01-13 *基金项目：黑龙江省高校创新人才项目(UNPYSCT-2017179) * **通讯作者