3-7-9 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞,能量守恒定律,质心运动定律

由机械能守恒定律得
m1(v10 − v1) = m2 (v2 − v20) (1)
v m v m1 v10 2 v 20 A B
碰后
1 2 1 1 2 1 2 2 m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2 2 2 2 2 2 2 2 2 m1 ( v10 − v1 ) = m2 ( v2 − v20 ) (2)
第三章 动量守恒和能量守恒
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物理学
第五版
3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
两个质子发生二维的完全弹性碰撞
v v v mv0 = mv1+mv2
1 2 1 2 1 2 mv0 = mv1 + mv2 2 2 2 v v1 v v0
v v2
第三章 动量守恒和能量守恒
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第五版
3-8 能量守恒定律
v v m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
v v 求：碰撞后的速度 v1 和 v 2 。
v v1
v v2
A
B
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第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰前
取速度方向为正向, 解：取速度方向为正向 由动量守恒定律得
v v v v m1v10 + m2v20 = m1v1 + m2v2
v d(∑ pi )
i =1
n
dt
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3-9 质心
n
质心运动定律
根据质点系动量定理
n
v n v dpi ex ∑ dt = ∑ Fi i =1 i =1
v in （因质点系内 ∑ Fi = 0）
v v ex dv dvC v F = m' = m'aC dt
作用在系统上的合外力等于系统的总质量 乘以质心的加速度 —ห้องสมุดไป่ตู้质心运动定律
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-9 质心
质心运动定律
圆环的面积
Rsinθ
y
Rdθ
ds = 2 πR sin θ ⋅ Rdθ
圆环的质量
dm = σ 2 πR sin θ dθ
2
R
θ O
dθ
Rcosθ
x
由于球壳关于y 轴对称， 由于球壳关于 轴对称，故 xc= 0
1 ∫ y ⋅ σ 2πR sin θdθ = y sin θ dθ yC = ∫ ∫ ydm = m' σ 2πR 2
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i =1
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3-9 质心
质心运动定律
例3
设有一质量
的弹丸， 为 2m的弹丸 ， 从 的弹丸 地面斜抛出去， 它飞行在最高点 处爆炸成质量相 等的两个碎片， 并且它们同时落地。 并且它们同时落地。 第二个碎片落地点在何处? 问：第二个碎片落地点在何处
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3-9 质心
质心运动定律
求一阶导数， 上式两边对时间 t 求一阶导数，得
v v n drC dri = ∑ mi m' dt dt i =1
n i =1
v v v m'vC = ∑ mi vi = ∑ pi
i =1
n
v 求一阶导数， 再对时间 t 求一阶导数，得 m'aC =
第三章 动量守恒和能量守恒
在半球壳上取一如图圆环39质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版19由于球壳关于y轴对称故x39质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版20sincos所以sin39质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版2139质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版22上式两边对时间t求一阶导数得再对时间t求一阶导数得39质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版23作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度质心运动定律39质心质心运动定律第三章动量守恒和能量守恒物理学第五版24设有一质量为2m的弹丸从地面斜抛出去它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片其中一个竖直自由下落另一个水平抛出并且它们同时落地
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-8 能量守恒定律
能量守恒定律：对一个与自然界无 能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系 的系统来说, 系统内各种形式的能量可以 可以相 的系统来说 系统内各种形式的能量可以相 互转换，但是不论如何转换，能量既不能产 互转换，但是不论如何转换，能量既不能产 也不能消灭。 生，也不能消灭。 (1) 生产实践和科学实验的经验总结； 生产实践和科学实验的经验总结； (2) 能量是系统状态的函数； 能量是系统状态的函数； 状态的函数 (3) 系统能量不变，但各种能量形式可以互相 系统能量不变， 转化； 转化； (4) 能量的变化常用功来量度。 能量的变化常用功来量度。
第三章 动量守恒和能量守恒
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-9 质心
质心运动定律
二 质心运动定律
v rC =
v ∑ mi ri
i =1
n
y
m2
v m ri i
v r2
m'
n
v rC
c
v r1 m1
x
o
z
v v m′rC = ∑ mi ri
i =1
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n v v m' rC = ∑ mi ri i =1
亥姆霍兹 (1821—1894)
德国物理学家和生理 学家。于1874年发表了 论力(现称能量 守恒》 现称能量)守恒 《 论力 现称能量 守恒 》 的演讲， 的演讲 ， 首先系统地以数 学方式阐述了自然界各种 运动形式之间都遵守能量 守恒这条规律， 守恒这条规律 ， 是能量守 恒定律的创立者之一。
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第三章 动量守恒和能量守恒
i
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
完全弹性碰撞
（五个小球质量全同） 五个小球质量全同）
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
的尘埃， 例1 宇宙中有密度为 ρ 的尘埃， 这些尘埃 相对惯性参考系静止． 相对惯性参考系静止．有一质量为 m0 的宇 宙飞船以初速 v 0穿过 宇宙尘埃， 宇宙尘埃，由于尘埃 m v 粘贴到飞船上， 粘贴到飞船上，使飞 船的速度发生改变。 船的速度发生改变。 求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。 求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系。 (设想飞船的外形是面积为 的圆柱体） 设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体） 设想飞船的外形是面积为
x
v ∑ mi ri
i =1 n
m'
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3-9 质心
质心运动定律
n
对质量离散分布的物系： 对质量离散分布的物系：
xC =
∑m x
i =1
n
i i
m' m' m' 对质量连续分布的物体： 对质量连续分布的物体： 1 1 1 xC = ∫ xdm，yC = m' ∫ ydm，zC = m' ∫ zdm m' 对密度均匀、形状对称的物体， 说明 对密度均匀、形状对称的物体，质心 在其几何中心。 在其几何中心。
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v v1
v v2
A
B
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
(2) 可解得： 由(1) 、 可解得：
v10 + v1 = v2 + v20
碰前
v10 − v20 = v2 − v1 (3)
(3) 可解得： 由 (1)、 可解得：
v m v m1 v10 2 v 20 A B
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3-9 质心
质心运动定律
解 建立图示坐标系 链条质心的坐标y 链条质心的坐标 c是变化的
y y yC o
F c
y λy + λ(l − y ) × 0 2 yc = i = λl ∑ mi
i
∑ mi yi
y = 2l
2
竖直方向作用于链条的合外力为 F − λyg
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3-9 质心
质心运动定律
一 质心
1 质心的概念 c 板上点C的运动 板上点 的运动 轨迹是抛物线 c c c c c c
其余点的运动 = 随点C的平动+绕点 的转动 随点 的平动 绕点C的 绕点
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3-9 质心
碰后
(m1 − m2 )v10 + 2m2v20 v1 = m1 + m2 (m2 − m1)v20 + 2m1v10 v2 = m1 + m2
v v1
v v2
A
B
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
(m1 − m2 )v10 + 2m2v20 碰前 讨论 v1 = m1 + m2 v m v m1 v10 2 v 20 (m2 − m1)v20 + 2m1v10 v2 = A B m1 + m2 碰撞 m1 = m2 （1）若 ） 碰后 v v v 则 v1 = v20 ， 2 = v10 v2 v1 且 （2）若m2 >> m1 ,且v20 = 0 ） B A v 则 v1 ≈ −v10 ， 2 ≈ 0 v （3）若m2 << m1 ,且v20 = 0 则v1 ≈ v10 ， 2 ≈ 2v10 ） 且
2
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3-9 质心
质心运动定律
yC = ∫ y sin θ dθ
而 y = R cos θ
π 2 0
Rsinθ
y
Rdθ
R
θ O
dθ
Rcosθ
x
所以 yC = R
cos θ sin θ dθ = R 2 ∫ v v 得质心位矢： 得质心位矢： C = R 2 j r
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2m m O
xC
C
m x
其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出， 其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，
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3-9 质心
质心运动定律
解 选弹丸为一系 爆炸前、 统，爆炸前、后质 心运动轨迹不变， 心运动轨迹不变， 建立图示坐标系， 建立图示坐标系，
2m m1 O m2 C x2
m1 = m2 = m
x1 = 0
m1 x1 + m2 x2 xC = m1 + m2
xC
x
xC为弹丸碎片落地时质心离原点的距离
x2 = 2 xC
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3-9 质心
质心运动定律
用质心运动定律来讨论以下问题。 例4 用质心运动定律来讨论以下问题。 一长为l 一长为 、密度均匀的柔软链 条，其单位长度的质量为 λ 。 将其卷成一堆放在地面。 将其卷成一堆放在地面。若 手提链条的一端， 手提链条的一端，以匀速 v 将其上提。当一端被提离地 将其上提。 求手的提力。 面高度为 y 时，求手的提力。 F y yC c
−12
H
m
o
O
d
C
52.3
o
v v −12 rC = 6.8 ×10 mi
d
H
x
52.3
o
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3-9 质心
质心运动定律
例2
的匀质半薄球壳的质心。 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心。
Rsin θ
y
Rdθ
R
θ O
dθ
Rcos θ
x
选如图所示的坐标系。 解 选如图所示的坐标系。 在半球壳上取一如图圆环
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yC =
∑m y
i =1 i
n
i
zC =
∑m z
i =1
i i
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3-9 质心
质心运动定律
水分子H 的结构如图 的结构如图， 例1 水分子 2O的结构如图，每个氢原子和 氧原子中心间距离均为d=1.0×10-10 m，氢原 氧原子中心间距离均为 ， o 子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.6 。 子和氧原子两条连线间的夹角为 水分子的质心。 求：水分子的质心。
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v
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰前
例 2 设有两个质量分别为 v m1 和 m2，速度分别为v10和 v 的弹性小球对心碰撞， v 20 的弹性小球对心碰撞， 两球的速度方向相同， 两球的速度方向相同，若碰 撞是完全弹性碰撞， 撞是完全弹性碰撞，
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
v ex v in v 一般情况碰撞 Q F << F ∴ ∑ pi = C
1 完全弹性碰撞 系统内动量和机械能均守恒 系统内动量和机械能均守恒 2 非弹性碰撞 系统内动量守恒 机械能不守恒 守恒，机械能 系统内动量守恒 机械能不守恒 3 完全非弹性碰撞 系统内动量守恒 机械能不守恒 守恒，机械能 系统内动量守恒 机械能不守恒
y
d
O
H 52.3 C
o
o
d
H
x
52.3
o
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3-9 质心
质心运动定律
解： yC =0
xC
∑m x = ∑m
i =1 i
n
i i
mH d sin 37.7 o + mO × 0 + mH d sin 37.7 o = mH + mO + mH
y
xC = 6.8 × 10
质心运动定律
2 质心的位置 由 n 个质点组成的质 点系，其质心的位置： 点系，其质心的位置：
y
m2
v m ri i
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
z
v v v v m1r1 + m2 r2 + … + mi ri + … rC = = m1 + m2 + … + mi + …
第三章 动量守恒和能量守恒
完全非弹性碰撞
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
尘埃与飞船作完全非弹性碰撞 解：尘埃与飞船作完全非弹性碰撞
m0 v 0 = m v dm = ρ S vdt m m0v0 = − dv 2 v v dv ρS t −∫ = 3 ∫0 d t v0 v m0v0 m0 1 2 v=( ) v0 2 ρ Sv 0t + m 0