曲线的参数方程2

当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如右图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？
如图1，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．
【设计意图】通过现实问题的求解，加深对参数方程中参数的意义的理解．
●活动① 建立模型，加深认识
如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M(x ，y)，那么θ＝ωt.设|OM|＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？
由三角函数定义，有
cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y
r
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝rcos ωt ，
y ＝rsin ωt.
(t 为参数)
考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝rcos θ，y ＝rsin θ.(θ为参数)
这就得到了以原点为圆心，半径为r 的圆参数方程.其中θ的几何意义是OM0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM0转过的角度． ●活动② 归纳梳理、灵活应用
若圆的圆心坐标为),(b a ，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？
此时圆的标准方程为：2
2
2
)()(r b y a x =-+-，由1cos sin 22=+αα，故令
θθsin ,cos =-=-r b
y r a x ，整理得：)(sin cos 为参数θθθ⎩
⎨
⎧+=+=r b y r a x 图1
图2-1-2
代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么⎩
⎨⎧==g(t)y f(t)
x 就是曲线的参数方
程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致。

讲解例题
同类训练 化下列曲线的参数方程为普通方程,并指出它是什么曲线．
(1)⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t
(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋sin θ，
y ＝sin θcos θ(θ为参数)．
【知识点】参数方程化为普通方程．
【解题过程】(1)∵x ＝1＋2t ，∴2t ＝x －1.
∵－4t ＝－2x ＋2，∴y ＝3－4t ＝3－2x ＋2. 即y ＝－2x ＋5(x ≥1)，它表示一条射线． (2)∵x ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，
∴x ∈[－2，2]． x2＝1＋2sin θcos θ，
将sin θcos θ＝y 代入，得x2＝1＋2y.
∴普通方程为y ＝12x2－1
2()－2≤x ≤2，它是抛物线的一部分．
课堂小结
（1）一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数：。