2023-2024学年广东省深圳实验学校中学部九年级(上)开学数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省深圳实验学校中学部九年级（上）开学数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 把多项式m2(a−2)+m(2−a)分解因式等于( )
A. (a−2)(m2+m)
B. (a−2)(m2−m)
C. m(a−2)(m−1)
D. m(a−2)(m+1)
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在( )
A. AC的垂直平分线上
B. ∠BAC的平分线上
C. BC的中点
D. AB的垂直平分线上
3. 用配方法解关于x的一元二次方程x2−2x−3=0，配方后的方程可以是( )
A. (x−1)2=4
B. (x+1)2=4
C. (x−1)2=16
D. (x+1)2=16
4. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1
小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/ℎ，根据题意所列方程是( )
A. 420
x =420
x−10
+1 B. 420
x
+1=420
x+10
C. 420
x =420
x+10
+1 D. 420
x
+1=420
x−10
5. 如图，AB//CD//EF，AD=4，BC=DF=3，则CE的长为( )
A. 9
4
B. 21
4
C. 4
D. 6
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是( )
A. AB=AD
B. OE=1
2
AB
C. ∠DOE=∠DEO
D. ∠EOD=∠EDO
7. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE =2，则△BCE的面积等于( )
A. 5
B. 7
C. 10
D. 3
8. 准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是( )
A. 1
3B. 1
4
C. 1
5
D. 1
6
9. 如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B处，两边与CD及其延长线交于E，F，若CE=1，则BF的长为( )
A. 25
B. 35
C. 210
D. 8
3
10
10. 如图，将矩形沿图中虚线(其中x>y)剪成四块图形，用这四
块图形恰能拼一个正方形，若y=2，则x的值等于( )
A. 3
B. 2 5−1
C. 1+ 5
D. 1+ 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别.经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在0.3，则绿球的个数约是______ ．
12. 若x =−2是方程ax 2+bx +3=0(a ≠0)的一个解，则代数式1−8a +4b 的值是
______．
13. 仔细观察下图，各块图形面积之和为a 2+3ab +2b 2，则因
式分解a 2+3ab +2b 2= ______ ．
14. 某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是______ ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO 的边CO ，OA 分别
在x 轴，y 轴上，点E 在边BC 上，将该长方形沿AE 折叠，点B 恰好
落在边OC 上的点F 处，若OA =8，CF =4，则AE 所在直线的表达
式为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2−
x−1x +1)÷x 2+6x +9x 2−1
，其中x =5．17. (本小题9.0分)
解方程：
(1)(x−1)2−25=0；
(2)(5x−1)2=3(5x−1)；
(3)x2−4x−3=0；
(4)2x2+6x+2=0．
18. (本小题6.0分)
如图，在正方形网格中，A点坐标为(−1,0)，B点坐标为(0,−2)．
(1)在网格中画出平面直角坐标系(坐标原点为O)，并写出C点坐标；
(2)求证：∠OCB=∠CAO．
19. (本小题8.0分)
如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，DE、CE交于E．
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若菱形ABCD的边长AB=2，∠BAD=120°，求矩形OCED的周长．
20. (本小题8.0分)
关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x2+m2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若两根为x1、x2且x21+x22=7，求m的值．
21. (本小题9.0分)
“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为
吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______ 元/件；
(2)直接写出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
22. (本小题10.0分)
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE 折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F．
(1)点E可以是AD的中点吗？为什么？
(2)求证：△ABG∽△BFE；
(3)设AD=a，AB=b，BC=c
①当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系；
②在①的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求∠C的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：m2(a−2)+m(2−a)，
=m2(a−2)−m(a−2)，
=m(a−2)(m−1)．
故选C．
先把(2−a)转化为(a−2)，然后提取公因式m(a−2)，整理即可．
本题主要考查了提公因式法分解因式，整理出公因式m(a−2)是解题的关键，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵AD=DC，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
3.【答案】A
【解析】解：把方程x2−2x−3=0的常数项移到等号的右边，得到x2−2x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x+1=3+1，
配方得(x−1)2=4．
故选：A．
在本题中，把常数项−3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．
本题考查了配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4.【答案】C
【解析】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km ，且这辆汽车原计划的速度是x km /ℎ，∴这辆汽车提速后的速度是(x +10)km /ℎ．
依题意得：
420x =420x +10+1，故选：C ．
根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是(x +10)km /ℎ，利用时间=路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．5.【答案】A
【解析】解：∵AB //CD //EF ，
∴AD DF =BC CE
，∵AD =4，BC =DF =3，
∴43=3CE
，解得：CE =94，
故选：A ．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB =AD =CD ，AC ⊥BD ，故选项A 不合题意，
∵点E 是CD 的中点，
∴OE =DE =CE =12CD =12
AB ，故选项B 不合题意；
∴∠EOD =∠EDO ，故选项D 不合题意；
故选：C ．
由菱形的性质可得AB =AD =CD ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得OE =DE =CE =12CD =12A B ，即可求解．
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．7.【答案】A
【解析】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
×BC×EF=5．
∴△BCE的面积=1
2
故选：A．
作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到EF=DE=2，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8.【答案】A
【解析】解：设分成的四张纸片中，1和2为一张；3和4为一张；那么
，故选：A．
共有12种情况，正好能拼成的占4种，概率是1
3
列举出所有情况，看随意抽出两张正好能拼成原图的情况占总情况的多少即可．注意本题是不放回实验．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的．
概率P(A)=m
n
9.【答案】B
【解析】解：如图将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM.BF与AD交于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=3，∠ABC=90°，
∵∠GBE=45°，
∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=45°=∠GBM，
∵BG=BG，∠GBM=∠GBE，BE=BM，
∴△BGM≌△BGE，
∴EG=GM=AM+AG=AG+CE，设AG=x，则DG=3−x，GE=1+x，
在Rt△DGE中，∵GE2=DG2+DE2，
∴(3−x)2+22=(x+1)2，
∴x=3
，
2
∴AG=DG，
易证△AGB≌△DGF，
5，
∴BG=FG=AB2+AG2=3
2
∴BF=2BG=35，
故选：B．
如图将△BCE绕点B逆时针旋转90°得到△BAM.BF与AD交于点G.首先证明GE=AG+CE，设AG =x，在Rt△DGE中，利用勾股定理求出x，再证明BG=FG，求出BG即可解决问题．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】C
【解析】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为x，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，
y(x+y)=x2，
∵y=2，
∴2(x+2)=x2，
整理得，x2−2x−4=0，
解得x1=1+5，x2=1−5(舍去)．
故选：C．
观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为x，宽为y的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为x，宽为(x−y)的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为x的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可．
本题考查了图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键．
11.【答案】35个
【解析】解：设绿球的个数有x个，
=0.3，
根据题意，得：15
15+x
解得：x=35，
经检验：x=35是分式方程的解，
∴绿球的个数约有35个．
故答案为：35个．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在0.3，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12.【答案】7
【解析】解：把x=−2代入方程ax2+bx+3=0(a≠0)，得4a−2b+3=0，
所以4a−2b=−3，
则1−8a+4b=1−2(4a−2b)=1−2×(−3)=7．
故答案为：7．
把x=−2代入方程可得4a−2b+3=0，即4a−2b=−3.然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意解题中的整体代入思想．
13.【答案】(a+2b)(a+b)
【解析】解：经过观察发现：a2+3ab+2b2是这个大长方形的面积，
而这个大长方形的长为a+2b，宽为a+b，面积为(a+2b)(a+b)，
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)，
故答案为：(a+2b)(a+b)．
经过观察发现：a2+3ab+2b2是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键．
14.【答案】25%
【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得64×(1−x)(1−x)=36，
整理得64×(1−x)2=36，
解得x=0.25或1.75(不合题意，舍去)；
即该药品平均每次降价的百分率是25%．
故答案为：25%．
设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是64×(1−x)，第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为64×(1−x)(1−x)=36，解方程即可求解．
本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
15.【答案】y=1
x+8
2
【解析】解：设CE=a，则BE=8−a，
由题意可得，EF=BE=8−a，
∵∠ECF=90°，CF=4，
∴CE2+CF2=EF2，
∴a2+42=(8−a)2，
解得，a=3，
设AB=OC=b，
∴AF=OC=b，
∴OF=b−4，
∵∠AOF=90°，
∴AF2=OF2+OA2，
∴b2=(b−4)2+82，
解得b=10，
∴点E的坐标为(−10,3)，
由题意知点A的坐标为(0,8)，
设AE所在直线的表达式为y=kx+b，
∴{−10k +b =3b =8，
解得{k =12b =8
，∴y =12x +8，
∴AE 所在直线的表达式为y =12x +8．
故答案为：y =12x +8．
根据勾股定理可以得到CE 、OF 的长度，从而可以得到点E 的坐标，由待定系数法即可求出AE 所在直线的表达式．
本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化−对称，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16.【答案】解：原式=2x +2−x +1x +1
⋅(x +1)(x−1)(x +3)2=
x +3x +1⋅(x +1)(x−1)(x +3)2=x−1x +3
，当x =5时，原式=48=12
． 【解析】直接将括号里面通分运算进而利用分式的乘除运算法则化简，把x 的值代入求出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】解：(1)(x−1)2−25=0，
(x−1)2=25，
∴x−1=±5，
∴x 1=6，x 2=−4；
(2)(5x−1)2=3(5x−1)，
(5x−1)2−3(5x−1)=0，
(5x−1)(5x−1−3)=0
∴5x−1=0或5x−4=0，
∴x 1=15，x 2=45
；
(3)x 2−4x−3=0，
x 2−4x =3，
x 2−4x +4=3+4，即(x−2)2=7，
∴x−2=± 7，
∴x 1=2+ 7，x 2=2− 7；
(4)2x 2+6x +2=0，
这里a =2，b =6，c =2，
∴Δ=62−4×2×2=20>0，
∴x =−6±
202×2=−3± 52，∴x 1=−3+
52，x 2=−3−
52．
【解析】(1)利用直接开平方法进行求解一元二次方程即可；根据配方法得到(x−2)2=10，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先移项，然后根据因式分解法进行求解一元二次方程即可；
(3)利用配方法求解一元二次方程即可；
(4)利用公式法求解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法．
18.【答案】解：(1)如图所示：
C 的坐标为：(1,1)，
(2)如图，连接AB ，
由勾股定理得：AB2=AC2=22+12=5，BC2=32+12=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACO+∠OCB=45°，
∵∠OCB+∠OBC=45°，
∴∠ACO=∠OBC，
∵∠OAC+∠ACO=45°，
∴∠OAC=∠OCB．
【解析】(1)根据题意画出平面直角坐标系，进而解答即可；
(2)根据勾股定理及逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，得∠ACB=45°，再由三角形外角的性质可得结论；如果学习了相似，可以证明两个三角形相似来解答．
本题考查了点的坐标和勾股定理及其逆定理，作辅助线构建等腰直角△ACB是解题的关键．19.【答案】解：(1)证明：∵DE//AC，CE//BD
∴四边形OCED是平行四边形，
O是菱形ABCD的对角线的交点，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
(2)在菱形ABCD中
∠BAD=120°可知∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴A B=A C=2
∴OC=1
D O=B O=3
∴矩形OCED的周长=2(3+1)．
【解析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了矩形的判定，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据OC，OD的关系求得OC，OD的值是解题的关键．
(1)易证四边形OCED为平行四边形，菱形对角线互相垂直，根据有一个内角为90°的平行四边形可
以证明四边形为矩形；
(2)解直角三角形求出OD、OC即可解决问题．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0有实数根，
∴Δ=(2m−1)2−4×1×m2=−4m+1≥0，
解得：m≤1
4
．
(2)∵x1，x2是一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1−2m，x1x2=m2，
∴x21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=7，即(1−2m)2−2m2=7，
整理得：m2−2m−3=0，
解得：m1=−1，m2=3．
又∵m≤1
4
，
∴m=−1．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=1−2m，x1x2=m2，结合x21+x22=7可得出关于m的一元
二次方程，解之取其小于等于1
4
的值即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数
根”；(2)根据根与系数的关系结合x2
1
+x22=7，找出关于m的一元二次方程．
21.【答案】105
【解析】解：(1)110−30−20
2
=110−10 2
=110−5
=105(元/件)，
∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件．
故答案为：105；
(2)根据题意得：y=20+2(110−x)=−2x+240，
∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式为y=−2x+240(70≤x≤99)；
(3)根据题意得：(x−70)(−2x+240)=1200，
整理得：x2−190x+9000=0，
解得：x1=90，x2=100(不符合题意，舍去)．
答：该产品的售价每件应定为90元．
(1)利用售价=110−日销售量−20
，即可求出结论；
2
(2)利用日销售量=20+2×(110−售价)，即可找出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式；
(3)利用电商每天销售该产品获得的利润=每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出
一元二次方程．
22.【答案】解：(1)不可以．
据题意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，
∴Rt△EGD中，GE<ED，
∴AE<ED，
故，点E不可以是AD的中点；
(2)方法一：
证明：∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵△EAB≌△EGB，
∴∠AEB=∠BEG，
∴∠EBF=∠BEF，
∴FE=FB，
∴△FEB为等腰三角形．
∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，
∴∠ABG=∠EFB，
在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=(180°−∠ABG)÷2，
∠FBE=(180°−∠EFB)÷2，
方法二：∠ABG =∠EFB (见方法一)，
证得两边对应成比例：AB BF =GB EF ，
由此可得出结论．
(3)①方法一：∵四边形EFCD 为平行四边形，
∴EF //DC ，
证明两个角相等，得△ABD∽△DCB ，
∴AD DB =DB CB ，即a a 2+b 2= a 2+b 2
c ，
∴a 2+b 2=ac ；
方法二：如图，过点D 作DH ⊥BC ，
∵四边形EFCD 为平行四边形
∴EF //DC ，
∴∠C =∠EFB ，
∵△ABG∽△BFE ，
∴∠EFB =∠GBA ，
∴∠C =∠ABG ，
∵∠DAB =∠DHC =90°，
∴△ABD∽△HCD ，
∴AD DH =AB HC ，
∴a b =b
c−a ，
∴a 2+b 2=ac ；
方法三：证明△ABD∽△GFB ，则有BF DB =BG
AD ，
∴BF
a2+b2=b
a
，则有BF=b a2+b2
a
，
∵四边形EFCD为平行四边形，∴FC=ED=c−b a2+b2
a
，
∵ED//BC，
∴△EDG∽△FBG，
∴ED BF =DG
BG
，
∴c−b a
2+b2
a
b a2+b2
a
=a2+b2−b
b
，
∴a2+b2=ac；
②方法一：解关于a的一元二次方程a2−ac+22=0，得：
a1=c+c2−16
2>0，a2=c−c2−16
2
>0…9分
由题意，△=0，即c2−16=0，
∵c>0，
∴c=4，
∴a=2，
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°；
方法二：设关于a的一元二次方程a2−ac+22=0两根为a1，a2，
a1+a2=c>0，a1⋅a2=4>0，
∴a1>0，a2>0，
由题意，△=0，即c2−16=0，
∵c>0，
∴c=4，
∴a=2，
∴H为BC的中点，且ABHD为正方形，DH=HC，∠C=45°．
【解析】(1)根据折叠的性质可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根据直角三角形斜边大于直角边可得DE>EG，从而判断点E不可能是AD的中点；
(2)方法一：根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EBF，再根据折叠的性质可以判定出∠AE B=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，从而判断出△FEB为等腰三角形，再根据等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根据等腰三角形的两个底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根据两角对应相等，两三角形相似即可证明；
方法二：与方法一相同求出∠ABG=∠EFB后，根据等腰三角形的两腰相等，然后根据两边对应成比例且夹角相等判断出两个三角形相似；
(3)①方法一：根据勾股定理求出BD的长度，再利用两角对应相等，两三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法二：过点D作DH⊥BC于点H，然后求出∠C=∠ABD，再根据直角相等，判断出△ABD和△H CD相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
方法三：先求出△ABD和△GFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF的长度，再求出△EDG和△FBG相似，根据平行四边形的对边相等表示出ED，再表示出DG，然后根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
②方法一：把b=2代入a、b、c的关系式，利用求根公式求出a的两个根，再根据a是唯一的，可以判定△=c2−16=0，然后求出c=4，再代入根求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°；
方法二：把b=2代入a、b、c的关系式，利用根与系数的关系判断出关于a的方程的解是正数，再根据a是唯一的，可以判定△=c2−16=0，然后求出c=4，再代入根与系数的关系求出a=2，然后判断出H是BC的中点，利用解直角三角形求出∠C=45°．
本题综合考查了相似三角形的性质与判定，根的判别式，根与系数的关系，平行四边形的性质，折叠的性质，综合性较强，难度较大，需仔细分析，认真研究，结合图形理清题目边长之间的关系，角度之间的关系是解题的关键，本题对同学们的能力要求较高．。