清华大学运筹学教程胡运权主编课后习题答案

8 10
x1 , x2 0
目标函数最优值（下界）为：6.4
17
第18页/共66页
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—
类解。
max Z 3x1 x2 2x3
x1 x2 x3 6
(1)
st
2x1 2x2
x3 x3
0
2
x j 0（, j 1,,3）
所以最优解为X*=(1,3/2,0,0)T
第11页/共66页
0点
A1点 A2点
max Z 2x1 x2 3x1 5x2 15
(2) st.6x1 2x2 24 x1, x2 0
11
第12页/共66页
第13页/共66页
第14页/共66页
d
x
2
，
l.5 讨论c
,
上题(1)中，若目标函数变为max Z = d的值如何变化，使该问题可行域的每个
8
第9页/共66页
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述 线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各 基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10x1 5x2
(1)
st.35xx11
4 x2 2 x2
9 8
x1, x2 0
9
第10页/共66页
cj
10
5 00
CB
xB
b
x1
x2
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
x1 10x2 5 x1
120 10
5 x2 8
唯 一 最 优 解 ，x1 10, x2 6
Z 16
max Z 5x1 6x2 2x1 x2 2
(4) st. 2x1 3x2 2 x1, x2 0
该问题有无界解
1
第2页/共66页
由于上表中所有检验数都小于等于零(且非基变量检验数都
小于0)，因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X *第37页/2共656页,9 / 5,1,0 T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
7M-4 4M-1 -M
1
3 0
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0 5M/3+1/3 -M
0 -M -M
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7M/3+4/3 0
第32页/共66页
cj
-4
CB
xB
b
x1
3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
第31页/共66页
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4
x1
1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
[3]
1
0
4
3 -1
1
20
cj
-4
CB
xB
b
x1
-4 x1 3/5
1
-1 x2 6/5
0
-1 0 0
i
x2
x3
x4
0 1/5 0
3
1 -3/5 0
0
x4
1
0
cj zj
0
0 [1] 1 1 0 1/5 0
-4 x1 2/5
1
-1 x2 5/9
0
0 0 -1/5 1 0 3/5
0
x3
1
0
011
cj zj
0
0 0 -1/5
15
第16页/共66页
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 3x1 6x2
st.21xx1142xx22
12 14
x1, x2 0
目标函数最优值的上界为：21
16
第17页/共66页
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
max Z x1 4 x2
st
.53xx1165xx22
x j 0, ( j 1,4)
5
第6页/共66页
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8 3
x1 x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
6
第7页/共66页
x1
x2
x3
(x1,x2,x3)
0
61/3
-7/6
i
x2
x3
x4
x5
x6
0 1/5 0 3/5 -1/5
1 -3/5 0 -4/5 -3/5
0 [1] 1 000
1 -1
-1 -1
该模型最优解为X=（3/5，6/5，0，1，0，0）T， 其基变量不含人工变量，说明原问题的一个基可行解为 X=（ 3/5，6/5，0，1 ）T，转入第二阶段。
第36页/共66页
1
0 3/5 -1/5 0
0
x3
1
0
0
1
1
1 -1
cj zj
0
0
0 -1/5 -M+7/5 -M
由于上表中所有检验数都小于等于零(且非基变量检验数都
小于0)，因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 第332页/共56,69页/ 5,1,0,0,0 T
方法二：两阶段法
第一阶段：
mimW x5 x6
顶c x点1
+ 依
次使目标函数达到最优。
最优值
1)c<0
2)c=0 3)c>0
d<0
d=0
d>0
d<0
d>0
d<0
d=0 d>0
0 c 3 d4
c3 d4
3 c 5 4d 2
c 5 d2 c5 d2
O点 OA3线段 A3点 OA1线段 A3点 A1点 A1点 A3点
A2A3线段
A2点
A1A2线段
A1点
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
b=2, c=4, d= -2, g=1, h=0, f=3, i=5, e=2, l=0,
x1
x2
x3
x4
是否基
Z
可行解
(x1,x2)
-4
11/2
0
0
否
(x1,x3)
2/5
0
11/5
0
是
43/5
(x1,x4)
-1/3
0
0
11/6
否
(x2,x3)
0
1/2
2
0
是
5
(x2,x4)
0
-1/2
0
2
否
(x3,x4)
0
0
1
1
是
5
所有基可行解中最优解为X=(0,1/2,2,0)T和X=(0,0,1,1)T
第15页/共66页
l.6 考虑下述线性规划问题：
max Z c1x1 c2 x2
st.aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
x1, x2 0
12定≤ ≤目aa标12式11函≤≤中数35，,,最241优≤≤≤值aac121的22≤≤≤下356,界,, 48和≤≤1上0cb2≤界≤1≤b。621,≤2-,14,试确
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4 x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
min Z 5x1 2x2 3x3 2x4
(2)
st
2x1x1 22x2x23
x3 x3
4 x4 2 x4
7 3
x5 x6
14 2
x1 , x2 , x3 , x41 , x42 , x6 0
3
第4页/共66页
min Z 2x1 2x2 3x3
(2)
st
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1 0, x2 0, x3无约束
解：令W Z , x11 x1 , x31 x32 x3 同时引入松弛变量x4，则标准形式为：
-4 x1 3/5
1
-1 x2 6/5
0
-1
0
0 -M -M
i
x2
x3
x4
x5
x6
0 1/5 0 3/5 -1/5 3
1 -3/5 0 -4/5 -3/5
0
x4
1
0
cj zj
0
0 [1] 1
1 -1 1
0
1/5
0 -M+8/5 -M-1/5
-4 x1 2/5
1
-1 x2 5/9
0
0
0 -1/5 2/5 0
x1 0, x2 0, x3无约束
2
第3页/共66页
min Z 3x1 4x2 2x3 5x4
4x1 x2 2x3 x4 2
(1)
st
x12x1x23xx23
2x4 x3
14 x4
. 2
x1, x2, x3 0, x4无约束
解 ： 令w Z , x4 x41 x42， 其 中x41，x42 0,
同 时 引 入 松 弛 变 量x5， 剩 余 变 量x6， 则 标 准 形 式 为 ：
max w 3 x1 4 x2 2 x3 5 x41 5 x42
4 x1 x2 2 x3 x41 x42 2
st
x1 x2 x3 2 x1 3 x2
2 x41 2 x42 x3 x41 x42
(x1,x2,x4)
0
10
0
(x1,x2,x5)
0
3
0
(x1,x2,x6)
7/4
-4
0
(x1,x3,x4)
0
0
-5/2
(x1,x3,x5)
0
0
1.5
(x1,x3,x6)
1
0
-0.5
(x1,x4,x5)
0
0
0
(x1,x4,x6)
5/4
0
0
(x1,x5,x6)
3/4
0
0
(x2,x3,x6)
0
16/3
-7/6
0 [5/3] -1
0
5/3 0
0
5/3
-1
0 -1 -1
i
x4
x5
x6
0
10
1
0
0 1 3/2
1
00
4
0
00
0 1/3 0 3
0 -4/3 1 6/5 1 -1/3 0 9/5 0 -7/3 0
第35页/共66页
cj
0
CB
xB
b
x1
0
x1 3/5
1
0
x2 6/5
0
0
x4
1
0
cj zj
0
0
0
0 -M -M
x3
x4
0
x3
9
3
4 10
0
x4
8
[5]
cj zj
10
2 01 5 00
0 x3 21/5 0 [14/5] 1 -3/5
10 x1 8/5
1
cj zj
0
2/5 0 1/5 1 0 -2
5
x2 3/2
0
1 5/14 -3/14
10
x1
1
1
cj zj
0
0 -1/7 2/7
0
-5/14 25/14
maxW 2 x11 2 x2 3 x31 3 x32
st
2
x11 x11
x2 x2
x31 x31
x32 x32
4 x4
6
x11 , x2 , x31 , x32 , x4 0
4
第5页/共66页
1.3 对下述线性规划问题找出所有 基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
。
18
第19页/共66页
第20页/共66页
第21页/共66页
第22页/共66页
第23页/共66页
第24页/共66页
min Z 2x1 3x2 x3
(2)
st
.3x1x142xx2 22
x3 6
8
x1, x2 0
24
第25页/共66页
第26页/共66页
第27页/共66页
见下表。
(x2,x4,x6)
0
10
0
(x2,x5,x6)
0
3
0
(x3,x4,x6)
0
0
-5/2
(x3,x5,x6)
0
0
3/2
(x4,x5,x6)
0
0
0
x4
x5
x6
是否基
Z
可行解
0
0
0
否
-7
0
0
否
0
7/2
0
是
3
0
0
21/4
否
8
0
0
否
0
8
0
是
3
0
0
3
否
3
5
0
是
0
-2
0
15/4
否
0
2
9/4
是
9/4
0
0
0
否
-7
0
0
第28页/共66页
第29页/共66页
max Z 4x1 x2
3x1 x2 3
(3)
st
4x1 3x2 x3 6
x1
2x2
x4
4
x j 0（, j 1,,4）
29
第30页/共66页
方法一：大M法 引入人工变量x6和x7,线性规划问题变为：
max Z 4 x1 x2 Mx5 Mx6
37
第38页/共66页
第39页/共66页
第40页/共66页
第41页/共66页
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格，试求
括弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0