抛物线焦点弦

4
4
A 、
B 、
C 、3
D 、-3
、亠、
P 2
解析：设弦的两个端点为 A( x i,y i )、B( x 2,y 2),x i x 2=
, y 1 y 2
4
P 2 ,.OA ? OB = x 1x 2 y 1y 2
P 2
3p 2
3
,故答案选B 。

4
抛物线焦点弦的性质及应用
平面内与一个定点 F 和一条定直线I 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

由于抛物线定义的特殊性, 使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征，特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出，同时也高考中经常 要考查的内容。

p
设抛物线的方程为 y 2=2px(P >0),过焦点F (2,0)作倾斜角为 的直线，交抛物线于 PQ 称抛物线的焦点弦，(如图1).
抛物线的焦点弦具有以下性质
：
2
性质 1:设 P(x i ,y i ),Q(x 2,y 2),则 y i y 2=-p 2. xm —
4
证明：①当=90时，PQ 方程为x=2代入y 2=2px 中有y 2=p 2,
即 y i =p,y 2=-p, ... y i y 2=_p 2.
②当丰90时，设直线PQ 斜率为k,则
PQ 方程为y=k(x - p)与y 2=2px 联立，消x 后得到： ky 2-2py-kp 2=0, . y i y 2=-p 2. 因为 y ； 2px i , y |
2px 2，所以 y ； ? y ； 4p 2X i X ?,
2
2
4 2
y i ?y 2 p p 4p 2
4p 2 4
P 、Q 两点，则线段
所以x i x 2
例i 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P 、Q 通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点
M 求证:
直线MQ 平行与抛物线的对称轴.
证明：为了方便比较，可将 P 点横坐标及
Q 点纵坐标均用 P 点的纵坐标 ••• P(2p,y i ),Q(x 2,y 2),但 y i y 2=-p 2
.
y2
=- y i ,
PM
方程是：y 書x,当x
= - 时尸-
土即为M
点的纵坐标, 这样M 点
与Q 点的纵坐标相同，故 MQ/ Ox.
Ml 7i )
J
\ /F (L n) r
■
E 32
［例2］设坐标原点为 O ,抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于 A 、B 两点,
OA ? OB =
y i 表
性质4:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
证法一：如图3，设PQ 中点为R,贝U R 即为PQ 为直线圆的圆心，过 R 作RS 丄MN 于 S,
性质2:抛物线焦点弦的长度: AB
p (X i
X 2)= 2p
sin
证明：如图所示，分别做
AA 、BB i 垂直于准线I ，由抛物线定义有 AB
AF 且有AF
BF
于是可得 BF AA BB i
AF
•••
AB AF
故命题成立.
X i
AF ? cos
P ，
1 cos
BF
BF ?cos ，BF
X 1 x 2
P .
1 cos
p —+ 1 cos 1 cos 1 cos
P _~2
sin
例3已知圆M: x 2+y 2-4x=0及一条抛物线，抛物线顶点在 为 的直线l, l 与抛物线及圆由上而下顺次交于
A 、
B
C 、
D 四点，若
解：如图，方程x 2+y 2-4x=0,表示的图的
圆心为(2 , 0)即为抛物线的焦点，
•••抛物线的方程是 y 2=8x(其中p=4),
2p 8
|AD|= ^7^=1=40,但圆的直径 |BC|=4 ,
Olli I
5
• |AB|+|CD|=|AD|-|BC|=40-4=36.
性质3:三角形OAB 的面积公式：S OAB
2
P 2 si n
证法一：当直线倾斜角 为直角时, 公式显然成立。

当直线倾斜角 不是直角时, 设焦点弦所在直线方程:
y k(x 子)
由 y k(x 2) y 2 2px
2p T y
P 2
y“2
2p k
2
p
S OAB
p|y 1|
扣
1 y 2
l
P 2
4 (y1 y2)
4y1y2
「4p 2
4 . tan 2
4p 2
2
P 2 sin
0(0,0),焦点是圆M 的圆心F ,过F 作倾斜角
1
(A ) 2a
(B )—
2a
(C ) 4a
4 (D)-
a
又设 P(X 1,y 1),Q(x 2,y 2), 1 - 2
) 2+
y
1+" j
(X 2 - 2) 2+y2
(x 1 - 2)2+2pX 1+、(x 2 - ；)2+2pX 2=X 1+2+X 2+2=X 1+X 2+p,
段PF 与QF 的长分别是p,q ,则
而 R (等，警),• RS=X ^+p =X ^
S-
10
1
•••|RS|=2|PQ|, • RS 为圆的半径，命题得证. 证法二：由图3知RS 为梯形PQNM 勺中位线，
1 1
•- |RS|= 2（|PM |+|QN|）= 2|PQ|（利用性质 3）,
性质5:以抛物线y 2=2px （p > 0）,焦点弦PQ 端点向准线作垂线, 垂足分别为
M N,则FML FN.（其中F
为焦点）.
证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM| ,•••/仁/ 2, 而 PM/ Ox, 2=Z 3,「./ 仁/3,
同理/ 4= / 6,而/ 1 + Z 3+Z 4+Z 6=180，•/ 3+ / 6=90 , • FML FN.
性质6:设抛物线y 2=2px(p >0),焦点为F ，焦点弦PQ 则 甌+甌 =p(定值). 证法一：由P 、Q 向准线作垂线，垂足分别为
M N,作QA1 Ox 于A, FB 丄PM 于 B,准线与 Ox 交于E ，
|AF| |BP| |EF|-|NQ|
|PM|-|EF|
(如图 5)由厶 AF3A BPF ，则jQFf =
jFPp,即 丽 = 但由定义知 |NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|, .|EF|-|FQ|」p F|-|EF| 有里 里即 |EF| JEF|
|FP| ,有|FQ| 1 |FP| 即 |QF| |PF| 2, 1 1 2 而|EF|=p,代入后即得甌+
両=孑
证法二：由性质的语法二，设|FP|=1 1,|FQ|=-1 2,
工
2pcos p 2 ,
2p
而 11+12= sin 2 ,1 112=- sin 2 ,|1 1-1 2|= sin
|FQ| -
2p
1 1 1
1 12-t 1 sin
2 2.
t~=t . = =p ( T 12 - 11< 0),还有其它证法 . 1 2 1112
p_ p 2
则甌+函£
sin 例4 2001年理科第11题:
过抛物线y
ax 2 (a
0）
的焦点F 作一直线交抛物线于 P 、Q 两点，若线
|PQ|=|PF|+|QF|=
|PF|
2
2004年理科第16题：设P是曲线y 4(x 1)上的一个动点，则点P到点(0,1)的距离与点P到y 轴的距离之和的最小值为_______________ .
性质7:以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

证明：如图，设A(导心(乡yJ，则M1(
又K F M1y_ y2
二
_p
2
y1 y 2
2p '
K AB上y2
% x2y i y2
2 2
y1 y2
2p环
2p
y1 y2
K
AB ? K FM 1
1，即FM AB.
如图，A、B1和B 、0、A1三点分别共线。

证明: 因为K
OA y
X1
y1
~2"
旳
2p
空，
y1
K O B1y2
p.
2
2y2
P
y1 y2
所以K
OA 2p
2
p
y2
K OB 1，
p y1 y2
1
B 1三点共线。

同理可证，B 、0、A 1三点分别共线.
例5 2001年理科第19题：设抛物线y 2 2 px( p 0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于 A 、B 两点, 点C 在抛物线上，且 BC
A 、0、 所以。