决策分析--层次分析法
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层次分析法
层次分析法（Analytical Hierarchy Process ,简称AHP)是美 国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统 分析方法。由于研究工作的需要，Saaty教授开发了一种综合 定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，以解决多因素复 杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。1977 年举行的第一届国际数学建模会议上，Saaty教授发表了《无 结构决策问题的建模—层次分析法》。从此，AHP开始引起 了人们的注意，并陆续应用。1980年，Saaty 教授出版了有 关AHP的论著。近年来，世界上有许多著名学者在AHP的理 论研究和实际应用上作了大量的工作。
二。AHP的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： ⑴ 建立层次结构模型； ⑵ 构造判断矩阵； ⑶ 层次单排序； ⑷ 层次总排序； ⑸ 一致性检验。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
⑴ 建立层次结构模型
人们在日常生活中经常会碰到许多决策问题：买一件衬衫， 你要在棉的、丝的、涤纶的、…及花边的、白的、方格 的、…之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去 饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，失去风光绮 丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂 林。如果你以为这些日常生活小事不必作为决策问题认真对 待的话，那么，当你面临报考学校、选择专业，或者抉择工 作岗位的时候，就要慎重考虑、反复考虑，尽可能地做出满 意的抉择了。
C5 : 旅途。相对于目标层：选择旅游地， 两两比较打分。
相对重要程度 aij
1 3 5 7 9 2，4，6，8
定义 同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对重要 介于两重要程度之间
解释
目标i比j同样重要 目标i比j略微重要
目标i比j重要 目标i比j明显重要 目标i比j绝对重要
采用1～9的比例表度的依据是：①心理学的实验表明，大多 数人对不同事物在相同属性上的差别的分辨能力在5～9，采 用1～9的标度反映了大多数人的判断能力；②大量的社会调 查表明，1～9的比例标度早已被人们所熟悉和采用；③科学 考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分引起人们感 觉差别的事物的各种属性。
a11
0
a12 0
a1n
0
an1 a11an1 an2 a12an1 ann a1nan1
a11an1 an1a11 an1; a1nan1 an1a1n ann
a12an1 an1a12 an2 ;
a11
A
0
a12 0
a1n 0
0 0 0
所以 ran( A) 1.
在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征值为单根，且
max n 当判断矩阵具有满意的一致性时，max 稍大于矩阵阶数 n ，
其余特征根接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。但 由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所有的 判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上 的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。
P3 1/ 4 1 `1
相对于旅途
P1
P1 1 B5 P2 1
P3 4
P2 P3
1 1/ 4 1 1/ 4 4 1
⑶ 层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素 的重要性的排序。具体计算是：
对于判断矩阵B，计算满足
BW maxW
的特征根于特征向量，式中max为 B 的最大最大特征根，W 为对应于max的正规化的特征向量，W 的分量 i 即是相应元
为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层 间的联系用相连的直线表示。见下图
目标层 准则层 方案层
旅途 饮食 居住 费用 景色
选择旅游地
P1
P2
P3
图5.1 选择旅游地的层次结构
⑵ 构造判断矩阵
① 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。 设准则层5个准则 C1 : 景色，C2 : 费用，C3 : 居住，C4 : 饮食
有 P1 、P2 、P3三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费
用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选 地点。首先，你会确定这些准则在你心目中各占多大比重，如
果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色，而平素简朴 或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年则会对居住、饮 食等条件给予较大关注。其次，你会就每一准则将三个地点
从事各种职业的人也经常面临决策：一个厂长要决定购买哪 种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要 为疑难病例选择治疗方案；经理要从若干应试者中选择秘 书；各地区、各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等 领域的发展规划作出决策。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判 断过程大体上类似。不妨用前面提到过的假期旅游为例，假如
AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方 法。在进行系统分析时，经常会碰到这样的一类问题：有 些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析； 也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量 分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选 择一个新厂的厂址，购买一台重要的设备，确定到哪里去 旅游等等。这时，我们若应用AHP进行分析，就可以简便 而且地解决问题。 AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它 具有思路清晰、方法简单、适用面广、系统性强等特点， 便于普及推广，可成为人们工作中思考问题、解决问题的
选择旅游地
旅途 饮食 居住 费用 景色
C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 1/ 2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
A C3 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
C4 1/ 3 1/ 5 2 1 1
C5 1/ 3 1/ 5 3 1
1
相对于景色
P1
P1 1 B1 P2 1/ 2
素单排序的权值。
自上而下，先求判断矩阵A的最大特征值于特征向量。
1 1/ 2 4 3 3
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
1
max 5.073 对应于max 的正规化的特征向量为
W (2) (0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T
1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美 国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者 介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇 介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅 速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会， Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论 和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研 究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展 目标分析的许多都取得了令人满意的成果。
进行对比，譬如 P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3 次之；P3
居住条件较好等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行
综合，在 P1 ，P2 ，P3 中确定哪个作为最佳地点。
上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤： 1．将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游
地，最下层为方案层，有 P1 ，P2 ，P3 3个供你选择地点，中间层
1
有
W
2
n
1 / 1
AW
2 / 1
1 / 2
2 / 2
1 / n 1 n1
2
/
n
2
n2
nW
n / 1 n / 2 n / n n nn
1
即n是A的一个特征根，
W
2
的一个特征向量。
n
是A的对应与特征根n
现在提出相反的问题：如果事先不知道每个西瓜的重量，也 没有衡器去称量，如何判定每个西瓜的相对重量呢？即如何 判定那个最重，那个次之，…哪个最轻呢？
一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它 最适宜于解决难以完全用定量方法进行分析的决策问题。因 此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
一。AHP的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先让我们分析下面的简单事实。 假定我们已知n个西瓜的总重量为1，每个西瓜的重量为 W1, W2,,Wn. 问每个西瓜相对于其他西瓜的相对重量是多重？ 可通过两两比较（相除），得到比较矩阵（以后称之为判断 矩阵）：
P3 1/ 5
P2 P3
2 5 1 2 1/ 2 `1
相对于居住
P1 P2 P3
P1 1 1 3 B3 P2 1 1 3
P3 1/ 3 1/ 3 `1
相对于费用
P1 P2 P3
P1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1/ 3
P3 8 3 `1
相对于饮食 P1 P2 P3
P1 1 3 4 B4 P2 1/ 3 1 1
例如： 相对于景色
P1
P1 1 B1 P2 1/ 2
P3 1/ 5
P2 P3
2 5 1 2 1/ 2 `1
经计算 max 3.005 对应于max的正规化的特征向量为
0.595
W (3) 1
0.277
0.129
同理算出 B2 , B3, B4 , B5 的最大特征值分别为：
max(2) 3.002, max(3) 3, max(4) 3.009, max(5) 3.
n 1
一般的，只要 CI 0.1就可认为判断矩阵具有满意的一致性。
将5个特征向量按列依次排成一矩阵：
W
(3)
0.595 0.277
0.129
0.082 0.236 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
0.166 0.166 0.668
⑷ 层次总排序 各个方案优先程度的排序向量为
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
若上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 可以证明，n阶完全一致性矩阵具有以下的性质： 1。A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 2。A的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。 证明：设
a11
A
a21
a12
a22
a1n
我们可以通过两两比较的方法，得出判断矩阵A,然后求出A的 最大特征值 max ，进而通过
AW maxW
求出A的特征向量
1
W
2
n
然后通过
i
iห้องสมุดไป่ตู้
n
i
i 1
i 1,2,, n
将 W 规范化：
1
W
2
n
则 W 即为n个西瓜的相对重量。
使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩 阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：
W W (3)W (2)
0.595 0.082 0.277 0.236
0.129 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
0.263
000...116666668
1
1 1 / 1
A
2
2
/
1
n n / 1
2
1 / 2 2 /2
n /2
n
1 / n
2
/
n
(aij
) nn
n / n
显然矩阵A满足
aii 1,
aij
1 a ji
（1）
称满足（1）式的矩阵为互反矩阵。且满足
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n) （2）
设
a2n a1na21
an1
an2
ann
注意到： aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
有 a11a21 a21a11 a21 a1na21 a21a1n a2n
a12a21 a21a12 a22
a11
A
0
a12 0
a1n (an1) 0
an1 an2 ann
所对应的特征向量分别为
0.082
W (3) 2
0.236
0.682
0.429
0.633
0.166
W (3) 3
0.429,
W (3) 4
0.193,
W (3) 5
0.166.
0.142
0.175
0.668
为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义
CI max n
a2n
(aij
) nn
an1 an2 ann
是n阶完全一致性矩阵，则
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
a11
A
a21
a12
a22
a1n
(a21)
a2
n
an1 an2 ann
a11
a21
a11a21
a12
a22 a12a21
a1n
层次分析法（Analytical Hierarchy Process ,简称AHP)是美 国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统 分析方法。由于研究工作的需要，Saaty教授开发了一种综合 定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，以解决多因素复 杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。1977 年举行的第一届国际数学建模会议上，Saaty教授发表了《无 结构决策问题的建模—层次分析法》。从此，AHP开始引起 了人们的注意，并陆续应用。1980年，Saaty 教授出版了有 关AHP的论著。近年来，世界上有许多著名学者在AHP的理 论研究和实际应用上作了大量的工作。
二。AHP的步骤 用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： ⑴ 建立层次结构模型； ⑵ 构造判断矩阵； ⑶ 层次单排序； ⑷ 层次总排序； ⑸ 一致性检验。 其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
⑴ 建立层次结构模型
人们在日常生活中经常会碰到许多决策问题：买一件衬衫， 你要在棉的、丝的、涤纶的、…及花边的、白的、方格 的、…之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去 饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，失去风光绮 丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂 林。如果你以为这些日常生活小事不必作为决策问题认真对 待的话，那么，当你面临报考学校、选择专业，或者抉择工 作岗位的时候，就要慎重考虑、反复考虑，尽可能地做出满 意的抉择了。
C5 : 旅途。相对于目标层：选择旅游地， 两两比较打分。
相对重要程度 aij
1 3 5 7 9 2，4，6，8
定义 同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对重要 介于两重要程度之间
解释
目标i比j同样重要 目标i比j略微重要
目标i比j重要 目标i比j明显重要 目标i比j绝对重要
采用1～9的比例表度的依据是：①心理学的实验表明，大多 数人对不同事物在相同属性上的差别的分辨能力在5～9，采 用1～9的标度反映了大多数人的判断能力；②大量的社会调 查表明，1～9的比例标度早已被人们所熟悉和采用；③科学 考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分引起人们感 觉差别的事物的各种属性。
a11
0
a12 0
a1n
0
an1 a11an1 an2 a12an1 ann a1nan1
a11an1 an1a11 an1; a1nan1 an1a1n ann
a12an1 an1a12 an2 ;
a11
A
0
a12 0
a1n 0
0 0 0
所以 ran( A) 1.
在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征值为单根，且
max n 当判断矩阵具有满意的一致性时，max 稍大于矩阵阶数 n ，
其余特征根接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。但 由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所有的 判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上 的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。
P3 1/ 4 1 `1
相对于旅途
P1
P1 1 B5 P2 1
P3 4
P2 P3
1 1/ 4 1 1/ 4 4 1
⑶ 层次单排序
所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素 的重要性的排序。具体计算是：
对于判断矩阵B，计算满足
BW maxW
的特征根于特征向量，式中max为 B 的最大最大特征根，W 为对应于max的正规化的特征向量，W 的分量 i 即是相应元
为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层 间的联系用相连的直线表示。见下图
目标层 准则层 方案层
旅途 饮食 居住 费用 景色
选择旅游地
P1
P2
P3
图5.1 选择旅游地的层次结构
⑵ 构造判断矩阵
① 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩 阵。 设准则层5个准则 C1 : 景色，C2 : 费用，C3 : 居住，C4 : 饮食
有 P1 、P2 、P3三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费
用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选 地点。首先，你会确定这些准则在你心目中各占多大比重，如
果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色，而平素简朴 或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年则会对居住、饮 食等条件给予较大关注。其次，你会就每一准则将三个地点
从事各种职业的人也经常面临决策：一个厂长要决定购买哪 种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要 为疑难病例选择治疗方案；经理要从若干应试者中选择秘 书；各地区、各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等 领域的发展规划作出决策。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判 断过程大体上类似。不妨用前面提到过的假期旅游为例，假如
AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方 法。在进行系统分析时，经常会碰到这样的一类问题：有 些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析； 也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量 分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选 择一个新厂的厂址，购买一台重要的设备，确定到哪里去 旅游等等。这时，我们若应用AHP进行分析，就可以简便 而且地解决问题。 AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它 具有思路清晰、方法简单、适用面广、系统性强等特点， 便于普及推广，可成为人们工作中思考问题、解决问题的
选择旅游地
旅途 饮食 居住 费用 景色
C1 C2 C3 C4 C5
C1 1 1/ 2 4 3 3
C2 2 1 7 5 5
A C3 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
C4 1/ 3 1/ 5 2 1 1
C5 1/ 3 1/ 5 3 1
1
相对于景色
P1
P1 1 B1 P2 1/ 2
素单排序的权值。
自上而下，先求判断矩阵A的最大特征值于特征向量。
1 1/ 2 4 3 3
2 1 7 5 5
A 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3
1/ 3 1/ 5 2 1 1
1/ 3 1/ 5 3 1
1
max 5.073 对应于max 的正规化的特征向量为
W (2) (0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)T
1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美 国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者 介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇 介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅 速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会， Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论 和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研 究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展 目标分析的许多都取得了令人满意的成果。
进行对比，譬如 P1景色最好，P2次之；P2费用最低，P3 次之；P3
居住条件较好等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行
综合，在 P1 ，P2 ，P3 中确定哪个作为最佳地点。
上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤： 1．将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游
地，最下层为方案层，有 P1 ，P2 ，P3 3个供你选择地点，中间层
1
有
W
2
n
1 / 1
AW
2 / 1
1 / 2
2 / 2
1 / n 1 n1
2
/
n
2
n2
nW
n / 1 n / 2 n / n n nn
1
即n是A的一个特征根，
W
2
的一个特征向量。
n
是A的对应与特征根n
现在提出相反的问题：如果事先不知道每个西瓜的重量，也 没有衡器去称量，如何判定每个西瓜的相对重量呢？即如何 判定那个最重，那个次之，…哪个最轻呢？
一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它 最适宜于解决难以完全用定量方法进行分析的决策问题。因 此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
一。AHP的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先让我们分析下面的简单事实。 假定我们已知n个西瓜的总重量为1，每个西瓜的重量为 W1, W2,,Wn. 问每个西瓜相对于其他西瓜的相对重量是多重？ 可通过两两比较（相除），得到比较矩阵（以后称之为判断 矩阵）：
P3 1/ 5
P2 P3
2 5 1 2 1/ 2 `1
相对于居住
P1 P2 P3
P1 1 1 3 B3 P2 1 1 3
P3 1/ 3 1/ 3 `1
相对于费用
P1 P2 P3
P1 1 1/ 3 1/ 8 B2 P2 3 1 1/ 3
P3 8 3 `1
相对于饮食 P1 P2 P3
P1 1 3 4 B4 P2 1/ 3 1 1
例如： 相对于景色
P1
P1 1 B1 P2 1/ 2
P3 1/ 5
P2 P3
2 5 1 2 1/ 2 `1
经计算 max 3.005 对应于max的正规化的特征向量为
0.595
W (3) 1
0.277
0.129
同理算出 B2 , B3, B4 , B5 的最大特征值分别为：
max(2) 3.002, max(3) 3, max(4) 3.009, max(5) 3.
n 1
一般的，只要 CI 0.1就可认为判断矩阵具有满意的一致性。
将5个特征向量按列依次排成一矩阵：
W
(3)
0.595 0.277
0.129
0.082 0.236 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
0.166 0.166 0.668
⑷ 层次总排序 各个方案优先程度的排序向量为
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
若上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 可以证明，n阶完全一致性矩阵具有以下的性质： 1。A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。 2。A的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。 证明：设
a11
A
a21
a12
a22
a1n
我们可以通过两两比较的方法，得出判断矩阵A,然后求出A的 最大特征值 max ，进而通过
AW maxW
求出A的特征向量
1
W
2
n
然后通过
i
iห้องสมุดไป่ตู้
n
i
i 1
i 1,2,, n
将 W 规范化：
1
W
2
n
则 W 即为n个西瓜的相对重量。
使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩 阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：
W W (3)W (2)
0.595 0.082 0.277 0.236
0.129 0.682
0.429 0.429 0.142
0.633 0.193 0.175
0.263
000...116666668
1
1 1 / 1
A
2
2
/
1
n n / 1
2
1 / 2 2 /2
n /2
n
1 / n
2
/
n
(aij
) nn
n / n
显然矩阵A满足
aii 1,
aij
1 a ji
（1）
称满足（1）式的矩阵为互反矩阵。且满足
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n) （2）
设
a2n a1na21
an1
an2
ann
注意到： aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
有 a11a21 a21a11 a21 a1na21 a21a1n a2n
a12a21 a21a12 a22
a11
A
0
a12 0
a1n (an1) 0
an1 an2 ann
所对应的特征向量分别为
0.082
W (3) 2
0.236
0.682
0.429
0.633
0.166
W (3) 3
0.429,
W (3) 4
0.193,
W (3) 5
0.166.
0.142
0.175
0.668
为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义
CI max n
a2n
(aij
) nn
an1 an2 ann
是n阶完全一致性矩阵，则
aija jk aik (i, j, k 1,2,, n)
a11
A
a21
a12
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