吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案-空间向量及应用

一、知识梳理 1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率
b a
+=+= b a OB OA BA
-=-=
)(R a ∈=λλ
加法交换率：.a b b a
+=+
加法结合率：).()(c b a c b a
++=++ 数乘分配率：.)(b a b a
λλλ+=+
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或
重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a
∥b 。

注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也
可能是平行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a
∥b 的充要条件是存在实
数λ使b
＝λa
注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa
，
其中λ是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数λ，使b
＝λa （a
≠0），
则有a ∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a
（或b ）上有一点不在
b （或a ）上）。

⑵对于确定的λ和a
，b
＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa
|，当λ>0
时与a 同向，当λ<0时与a
反向的所有向量。

⑶若直线l∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理
来推导OP 的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a
的直线，那么对任一点
O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式
=a t
+ ①
其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a =，则①式可化为 .)1(t t +-= ②
当
21
=
t 时，点
P 是线段AB 的中点，则
).(21
OB OA OP +=
③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a
在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。

注意：向量a
∥α与直线a
∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条
件是存在实数对x 、y ，使
.b y a x p
+=① 注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使
,y x +=④
或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤
在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。

①式叫做平面MAB 的向量表示式。

又∵.OM -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得
.)1(y x y x ++--= ⑥
由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么对空间任一向量，
存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
.c z b y a x p
++=
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{}R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|
，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c
都叫做基向量；
⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指
一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概
念；⑷由于0 可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三
个向量不共面就隐含着它们都不是0。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x 、、，使.z y x ++= 6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a =，b =，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〉〈b a
，
说明：⑴规定
0≤〉〈b a
，≤π
,因而〉〈b a ，=〉〈a b ，； ⑵如果〉〈b a
，
=
，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥
b
；
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注
意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同， 图（3）中∠AOB=〉〈,， 图（4）中∠AOB=-π〉〈OB AO ,, 从而有〉〈-,=〉-〈OB OA ,=-π〉〈OB OA ,.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

A
a
B
a
O a
（3）
a
a
b
a
a a
b a
A
a
B
a
O a （1） O a a a
b
a
a a b
a
A
a
B
a
（2）
（3）向量的数量积：
〉
〈b a b a ,cos 叫做向量a
、b 的数量积，记作b a ⋅。

即b a ⋅=〉
〈b a b a ,cos ，
向量
方向上的正射影在e
: B A e a e a ''=〉〈=⋅
,cos ||
（4）性质与运算率
⑴
〉〈=⋅e a e a ,cos 。

⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a ⊥b ⇔b a ⋅=0 ⑵b a
⋅=b a ⋅
⑶
2||.a a a =⋅ ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ 二、题型探究
：空间向量的概念及性质
例1．有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量
,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（ C ）
()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③
解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。

②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。

例2．下列命题正确的是（ C ）
()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面；
()C 零向量没有确定的方向；
()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；
解析：A 中向量为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证不为零向量。

答案C 。

点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。

像零向量与任何向量共线
等性质，要兼顾。

：空间向量的基本运算
例3．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

若AB a =，
AD b =，1AA c =，则下列向量中与相等的向量是（A ） ()A 1122a b c -++ ()B 11
22a b c ++ ()C 1122a b c --+ ()D c b a +-21
21
解析：显然=+-=+=111)(21
AA B BB 1122a b c -++；
答案为A 。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。

用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。

例4．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y
x ,的值.
解： a ∥b ,,且,,0a b a λ=∴≠即
.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++ 又p n m ,,不共面,.8,13,422831=-=∴-=-=+∴y x y
x
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

：空间向量的坐标
例5．(1)（2013年高考课标Ⅱ卷）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz
-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为
（
（
（
（
例6．已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。

设=AB ，
=AC ，（1）求和的夹角θ；（2）若向量k +与k －2互相垂直，求k 的
值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，=AB ，=AC ， ∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos θ=||||b a =
52001⨯++-=－10
10，
∴a 和b 的夹角为－
10
10。

(2)∵k +=k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2）， k －2=（k+2，k ，－4），且(k +)⊥（k －2），
∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k2－8=2k2+k －10=0。

则
k=－2
5
或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）(k －2)=k22－k ·－2b 2=2k2+k －10=0，解得k=－2
5
，或k=2。

：数量积
例7．(2000江西、山西、天津理，4)设、、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）
不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；
④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立.故④真. 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。

例8．（1）（2002上海文，理2）已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2－）·=_____.
（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，
1，1)的夹角都等于4
π。

(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0
＜<，>＜π)。

解析：（1）答案：13；解析：∵（2a －b ）·a =2a 2－b ·a =2|a |2－
||·||·cos120°=2·4－2·5（－21
）=13。

（2）解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 2
2=1.
又∵与的夹角为4
π
，∴·=||||cos 4
π
=
2
22
221
11++=
2
6.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=
2
6。

另外x 21
+y 21
=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=(
2
6)2－1=2
1
.∴x1y1=4
1。

(2)cos<，>=||||b a =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=
2
6，x1y1=4
1
.∴x1，y1是
方程x2－
2
6x+4
1=0的解.
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x 同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=-=.426,42622y x ∵≠，∴
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧
-==+==,426,4
261221y x y x 或⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧
+==-==.42
6,42
61221y x y x
∴cos<，>=
4
2
6+·
4
26-+
4
26+·
4
26-=41+41=2
1.
∵0≤<a ，b >≤π
，∴<a ，b >=3
π。

评述：本题考查向量数量积的运算法则。

：空间向量的应用
∵·≤
||·||， ∴·=
113+a +113+b +113+c ≤||·||=43.
当
1
131
+a =1131+b =1131
+c 时，即
a=b=c=31
时，取“=”号。

（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·21M M =14。

点评：若=(x ，y ，z)，=(a ，b ，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。

本题考查|a |·|b |≥
·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进
行运算。

空间向量的数量积对应做功问题。

例10．如图,直三棱柱111C B A ABC -中,,,1111C A BC AB BC ⊥⊥求证: .11C A AB = 证明：,1111C C A A +=
,
0)()(,211111111111=-⋅=+⋅+=⋅+=C C C A CC C C A BC A CC BC .1121C A C C ⋅=∴ 同理,,111111C B BB BC BB AB +=+=
,0),(011112111 =⋅+⋅∴==+⋅=⋅BC C A BC AB CC BB CC BC AB BC AB 又,11C A =.0)(=+⋅∴
设D 为BC 中点,则.2=+,,02AD BC AD BC ⊥∴=⋅∴
,AC AB =∴又.,1111AB C A B B A A =∴=
点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件。

三、方法提升
空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。

如向量的数量积a ·b=|a|·|b|cos<a，b>在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，对于中点公式要熟记。

1．选择、填空题型一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边
形形状等问题。

2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。

本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。

因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

四、反思感悟：
五、课时作业
空间向量与立体几何
I 卷
一、选择题
1．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )
A ．(0,0，±2)
B ．(0,0，±3)
C ．(0,0，±3)
D ．(0,0，±1)
【答案】B
2．在空间四边形ABCD 中，若AB a =，BD b =，AC c =，则CD 等于 ( ）
A ．()a b c --
B ．()c b a --
C ．a b c --
D ．()b c a --
【答案】D
3．四棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点M ，设11111,,A B a A D b AA c ===，
则下列与1B M 相等的向量是 ( ）
A ．1122a b c -+-
B ． 1122a b c ++
C ．1122a b c -+
D ．1122a b c --+
【答案】Ａ
4．在三棱柱111ABC A B C -中，设M 、N 分别为1,B B A C 的中点，则MN 等于
( ）
A ．11()2AC A
B BB ++ B ．111111()2B A B
C C C ++
C ．11()2AC CB BB ++
D ．11()2BB BA BC --
【答案】B
5．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是( )
A ．33
B ．－33
C ．63
D ．－63
【答案】C
6． 空间任意四个点
A 、
B 、
C 、
D ，则B A C B C +-等
于 ( ） A ．DB B ．AD C ．DA D ．AC
【答案】C
7．以下命题中，不正确的命题个数为( )
①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则A ＋B ＋C ＋D ＝0
②若{a ，b ，c}为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a}构成空间的另一个基底； ③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若O ＝x ＋y ＋z(其中x ，y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
8．已知向量{a ，b ，c}是空间的一基底，向量{a ＋b ，a －b ，c}是空间的另一基底，一向量p 在基底{a ，b ，c}下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c}下的坐标是( )
A ．(4,0,3)
B ．(3,1,3)
C ．(1,2,3)
D ．(2,1,3)
【答案】B
9．在棱长为1的正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若＝x ＋y ＋z ，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
A ．1
B ．12
C ．13
D ．16
【答案】D
10．在90°的二面角的棱上有A 、B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，则CD ＝( )
A ．5 2
B ．5 3
C ．6
D ．7
【答案】A
11．如图ABCD －A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A1B14
，则BE1与DF1所成角的余弦值是( )
A ．1517
B ．12
C ．817
D ．32
【答案】A 12．如图所示，在四面体P －ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B －AP －C 的余弦值为( )
A ．22
B ．33
C ．77
D ．57
【答案】C 二、填空题
13． 设a1＝2i －j ＋k ，a2＝i ＋3j －2k ，a3＝－2i ＋j －3k ，a4＝6i ＋4j ＋5k ，其中i ，j ，k 是空间向量的一组基底，试用a1，a2，a3表示出a4，则a4＝____________. 【答案】－32a1＋2a2－72
a3 14．平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n ＝(1，－1，－1)，则x 轴与平面α的交点坐标是________．
【答案】(－2,0,0)
15．在三棱柱ABC —A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C 的中心，则AD 与平面BB1C1C 所成角的大小是________．
【答案】60°
16．已知a ＝(1－t ，1－t ，t)，b ＝(2，t ，t)，则|b －a|的最小值为________． 【答案】355
三、解答题
17．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12
PD.
(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；
(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．
【答案】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线OA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz.
(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)．
则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．
所以·＝0，·＝0.
即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.
又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ 。

(2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)．
设n ＝(x ，y ，z)是平面PBC 的法向量，
即即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
－x ＋2y －z ＝0.
因此可取n ＝(0，－1，－2)．
设m 是平面PBQ 的法向量，则
可取m ＝(1,1,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝－15
5．
故二面角Q －BP －C 的余弦值为－15
5．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线
段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点.
(Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE;
(Ⅱ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)取AD 的中点G ，连结GF ，CE ，由条件易知
FG ∥CD ，FG=12CD. BE ∥CD,BE=1
2CD.
所以FG ∥BE,FG=BE. 故四边形BEGF 为平行四边形.
所以BF ∥平面A ′DE.
(Ⅱ)在平行四边形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，∠ABC=120°，
设BC=4，作MG ⊥AB 于G ，则32121;===M A AM MG .
如图所示建立空间直角坐标系M —xyz ，
则)3,27,23(),32,0,0(),0,7,3(),0,1,3(),0,1,3(;----F A C E D ， 所以)3,27,23(),32,1,3(),0,2,32('-===MF DA DE .
设平面A ′DE 的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00'DA 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+032303z y x y x ，所以
)0,3,1(-=.
设直线FM 与平面A ′DE 所成角为θ，则21c o s ,3,234234s i n ===⨯==θπθθ.
所以直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值为1
2.
19．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，
点E 在棱PB 上
.
(Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
(Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
【答案】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.
∵PD ABCD ⊥底面，∴PD ⊥AC.∴AC ⊥平面PDB.∴平面AEC PDB ⊥平面. (Ⅱ）设AC ∩BD=O ，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角.
∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，OEPD ，12OE PD =.
又∵P D A B C D ⊥底面，
∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO.在Rt △AOE 中，
122OE PD AB AO ===，∴45AEO ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，
设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ，
(Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，
∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=.∴AC ⊥DP ，AC ⊥BD ，AC ⊥平面PDB.
∴平面AEC PDB ⊥平面.
(Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，
(
)
11,,22P E a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O ⋂=，则11(,,0)22O a a ，连结OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角.
∵
112,,,0,0,22EA a a a EO ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴
2cos EA EO
AEO EA EO ⋅∠==
⋅， ∴45AEO ︒∠
=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
20．已知长方体ABCD —A1B1C1D1中，AB ＝2，BC ＝4，AA1＝4，点M 是棱D1C1的中点．求直线AB1与平面DA1M 所成角的正弦值．
【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，
A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，
D1(0,0,4)．
于是，M(0,1,4).＝(0,1,4)，＝(4,0,4)，＝(0,2,4)．
设平面DA1M 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，
则，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋4z ＝04x ＋4z ＝0．
取z ＝－1，得x ＝1，y ＝4.所以平面DA1M 的一个法向量为n ＝(1,4，－1)．
设直线AB1与平面DA1M 所成角为θ，则sin θ＝＝1015
， 所以直线AB1与平面DA1M 所成角的正弦值为1015．
21．如图，四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，DC ＝SD ＝2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC.
(1)证明：SE ＝2EB ；
(2)求二面角A －DE －C 的大小．
【答案】方法一 (1)证明 如图所示，连结BD ，取DC 的中点G ，连结BG ，由此知DG ＝GC ＝BG ＝1，即△DBC 为直角三角形，故BC ⊥BD.
又SD ⊥平面ABCD ，故BC ⊥SD ，所以BC ⊥平面BDS ，BC ⊥DE.作BK ⊥EC ，K 为垂足．因为平面EDC ⊥平面SBC ，故BK ⊥平面EDC ，BK ⊥DE ，即DE 与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直，所以DE ⊥平面SBC ，
所以DE ⊥EC ，DE ⊥SB.
又DB ＝AD2＋AB2＝2，SB ＝SD2＋DB2＝6，DE ＝SD ·DB SB ＝23， EB ＝DB2－DE2＝63，SE ＝SB －EB ＝263
， 所以SE ＝2EB.
(2) 由SA ＝SD2＋AD2＝5，AB ＝1，SE ＝2EB ，AB ⊥SA ，知 AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13SA 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫23AB 2＝1.又AD ＝1. 故△ADE 为等腰三角形．
取ED 中点F ，连结AF ，
则AF ⊥DE ，AF ＝AD2－DF2＝63
． 连结FG ，则FG ∥EC ，FG ⊥DE.
所以∠AFG 是二面角A －DE －C 的平面角．
连结AG ，AG ＝2，FG ＝DG2－DF2＝63
． cos ∠AFG ＝AF2＋FG2－AG22AF ·FG ＝－12
． 所以二面角A －DE －C 的大小为120°.
方法二 (1)证明
以D 为坐标原点，线段DA ，DC ，DS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴．建立如图所示的直角坐标系D －xyz ，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．
S ＝(0,2，－2)，B ＝(－1,1,0)．
设平面SBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c)，由n ⊥S ，n ⊥B ，得n ·S ＝0，n ·B ＝0. 故2b －2c ＝0，－a ＋b ＝0.
令a ＝1，则b ＝1，c ＝1，n ＝(1,1,1)．
又设S ＝λ(λ＞0)，则E ⎝
⎛⎭
⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ， D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ，D ＝(0,2,0)． 设平面CDE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，
由m ⊥DE ，m ⊥DC ，得m ·DE ＝0，m ·DC ＝0.
故λx 1＋λ＋λy 1＋λ＋2z 1＋λ
＝0,2y ＝0. 令x ＝2，则m ＝(2,0，－λ)．
由平面DEC ⊥平面SBC ，得m ⊥n 所以m ·n ＝0,2－λ＝0，λ＝2.故SE ＝2EB.
(2)解 由(1)知DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23，取DE 中点F ，则
F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，FA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23
，－13，－13，故FA ·DE ＝0，由此得FA ⊥DE. 又EC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43
，－23，故EC ·EC ＝0，由此得EC ⊥DE ，向量F 与E 的夹角等于二面角A －DE －C 的平面角．
于是cos 〈F ，E 〉＝FA EC
FA EC ＝－12
， 所以二面角A －DE －C 的大小为120°.
22．如图14－2，三棱柱ABC －A1B1C1中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC ；
(2)求二面角A －A1B －C 的余弦值．
图14－2
【答案】 (1)如图，设A1D ＝t(t>0)，取AB 的中点E ，
则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，
所以DE ⊥AC ，又A1D ⊥平面ABC ，
以DE ，DC ，DA1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)， ＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，＝(2,0,0)，由1·＝0，知AC1⊥CB ， 又BA1⊥AC1，BA1∩CB ＝B ，所以AC1⊥平面A1BC.
(2)由·＝－3＋t2＝0，得t ＝3．
设平面A1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，＝(0,1，3)，＝(2,2,0)， 所以{ y ＋3z ＝0，2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)．
再设平面A1BC 的法向量为m ＝(u ，v ，w)，＝(0，－1，3)，＝(2,0,0)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ －v ＋3w ＝0，2u ＝0，设w ＝1，则m ＝(0，3，1)．
故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m|·|n|＝－77
．因为二面角A －A1B －C 为锐角，所以可知二面角A －A1B －C 的余弦值为77
．。