综合质量评估--(人教A版)数学选修1 课时作业本(有答案)-(高二)

综合质量评估--(人教A 版)数学选修1 课时作业本（有答案)-(高二)综合质量评估 第一至第三章 (120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“x>3”是“不等式x 2-2x>0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.非充分必要条件【解析】选A.解不等式x 2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x 2-2x>0”的充分不必要条件.2.命题:“∀x ∈R,都有x 2-x+1>0”的否定是 ( ) A.∀x ∈R,都有x 2-x+1≤0B.∃x 0∈R,使-x 0+1>0C.∃x 0∈R,使-x 0+1≤0D.∃x 0∈R,使x 2-x 0+1<0【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f ′(x)的图象可能是 ( )【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f ′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f ′(x)<0.4.南南阳高二期末)若函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9在x=-1时取得极值,则a 等于 ( ) A.1B.2C.3D.4【解析】选C.f ′(x)=3x 2+2ax+3.由题意知f ′(-1)=0,解得a=3.5.设曲线y=ax 2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 的值为 ( )A.1B.C.-D.-1【解析】选A.y ′=2ax,于是曲线y=ax 2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.6.已知点P 是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|=3,则|PF 2|等于 ( ) A.7B.6C.5D.3【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF 2|. 【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x ±ay=0,则a=2,双曲线中c=,b=3,由|PF 1|=3知P 为双曲线左支上一点, 则|PF 2|=|PF 1|+4=7.7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率 为 ( )A.B.C.D.【解析】选B.由题意知=,得a 2=4b 2,又a>b>0,所以a=2b.所以双曲线的离心率e===.【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( )A.B.5C.D.【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x 2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.8.设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.(1,2]B.[4,+∞)C.(-∞,2]D.(0,3]【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),令f′(x)≤0得0<x≤3.所以f(x)在(0,3]上单调递减,所以解得1<a≤2.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.10.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,又因为圆心在OF 的垂直平分线上,|OF|=,所以+=6,p=8.11.南二模)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x 1处取得极大值,在x 2处取得极小值,满足x 1∈(-1,0),x 2∈(0,1),则的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.(1,3) C.[0,3]D.[1,3]【解析】选B.因为f(x)=x 3+ax 2+bx+c, 所以f ′(x)=x 2+ax+b.因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值, 所以f ′(x)=x 2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根, f ′(0)<0,f ′(-1)>0,f ′(1)>0,即在aOb 坐标系中画出其表示的区域,如图,=1+2×,令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,分析可得0<<1,则1<<3,所以的取值范围是(1,3).12.门模拟)若点O 和点F(-2,0)分别是双曲线-y 2=1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为 ( )A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)C.D.【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a 2+1=4,即a 2=3,所以双曲线方程为-y 2=1,设点P(x 0,y 0)(x 0≥),则有-=1(x 0≥),解得=-1(x 0≥),因为=(x 0+2,y 0),=(x 0,y 0),所以·=x 0(x 0+2)+=x 0(x 0+2)+-1=+2x 0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0=-,因为x 0≥,所以当x 0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数f(x)=lnx 的图象在点(e,f(e))处的切线方程是 .【解析】因为f ′(x)=,所以f ′(e)=,又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x.答案:y=x14.若命题“∃x 0∈R,a+x 0+1<0”是假命题,则a 的取值范围是 .【解析】因为∃x0∈R,a+x0+1<0是假命题,所以∀x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0,命题成立.当a≠0时,即所以a≥,所以a的取值范围为a≥或a=0.答案:a≥或a=015.若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k= . 【解析】设切点坐标为(x0,y0).因为y=lnx,所以y′=.所以f′(x0)==k.因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,所以把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.所以k==.答案:16.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ,b= .【解题指南】焦点在x 轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a 2+b 2=c 2=5②.由①②联立解得a=1,b=2. 答案:1 2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)命题p:关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x 是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围. 【解析】设g(x)=x 2+2ax+4,若p 真,由于关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立, 所以函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点, 故Δ=4a 2-16<0, 所以-2<a<2.若q 真,即函数f(x)=(3-2a)x 是增函数, 则3-2a>1,所以a<1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 和q 一真一假,(1)若p 真q 假,则所以1≤a<2. (2)若p 假q 真,则所以a≤-2.综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间 [1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.【解析】若p真,f′(x)=1-.因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,所以a≤(x2)min,所以a≤1.p:A={a|a≤1}.若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.q:B={a|a<-3或a>3}.因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).18.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.【解析】(1)f ′(x)=3x 2-x+b,f(x)的图象上有与x 轴平行的切线,则f ′(x)=0有实数解. 即方程3x 2-x+b=0有实数解. 所以Δ=1-12b ≥0,解得b ≤.(2)由题意,得x=1是方程3x 2-x+b=0的一个根,设另一个根为x 0,则解得所以f(x)=x 3-x 2-2x+c, f ′(x)=3x 2-x-2.当x ∈时,f ′(x)<0;当x ∈(1,2]∪时,f ′(x)>0.所以当x=-时,f(x)有极大值+c,又f(-1)=+c,f(2)=2+c,所以当x ∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c. 因为当x ∈[-1,2]时,f(x)<c 2恒成立. 所以c 2>2+c,解得c<-1或c>2, 所以c 的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).19.(12分)已知椭圆的两焦点为F 1(-,0),F 2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=,=,所以a=2,b2=a2-c2=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|===2.解得m2=,满足(*),所以m=±.20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围. 【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.由已知有即解得所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,则必须有解得实数a的取值范围为.21.(12分)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若·=1,求直线l的斜率.(2)求∠ATF的最大值.【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾. 故直线l与x轴不垂直.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-1).①将①代入y2=4x整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=,x1x2=1.所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=1++1-4==1.解得k=±2.(2)因为y1>0,所以tan∠ATF===≤1.当且仅当y1=即y1=2时取等号.故∠ATF的最大值为.22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,函数f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).所以当1<x<2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).(2)由f(x)=-x3+x2-2x,得f′(x)=-x2+ax-2,因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f′(x)max=f′(1)=a-3,由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1<a≤2.②当>1即a>2时,f′(x)在上单调减增,在上单调递减,所以f′(x)max=f′=-2,由-2<2(a-1),得0<a<8,此时2<a<8,综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).关闭Word文档返回原板块。