2017年9月丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测数学试卷

2017年9月丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学
注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考
试时间120分钟。

第Ⅰ卷 （选择题，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知集合{}1, 0, 1P =-，{}
11Q x x =-≤<，则P Q =I
A ．{}0
B ．{}1, 0-
C ．[1,0]-
D ．[1,1)-
2．若复数z 满足 i 32i z ⋅=-+ (i 为虚数单位) ，则复数z 的虚部是 A ．3- B ．3i - C ．3 D ．3i
3．已知角α为第三象限角，且3
tan 4α=
，则sin cos αα+= A ．7
5
- B ．15- C ．15
D ．
7
5
4．若将正方体(如图4－1)截去两个三棱锥，得到如图4－2所示的几何体，则该几何体的侧视图是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若a ∈R ，则“21a -≥”是“0a ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足
21π
2
PF F ∠=，连接1PF 交y 轴于点Q
，若2QF =，则双曲线的离心率是
图4-1
图
4-2
A ．2
B ．3
C ．12+
D ．13+
7．若关于x 的不等式23x a x -->在(,0)-∞上有解，则实数a 的取值范围是
A ．13
(,3)4
-
B ．13(3,
)4- C ．13
(,)4
-∞-
D ．(3,)+∞ 8．已知,x y ∈R 满足条件10,20,2.x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
若目标函数z ax y =+仅在点(2,3) 处取到最大值，
则实数a 的取值范围是
A ．(, 1)-∞
B ．(, 1]-∞
C ．[1, +)-∞
D ．(1, +)-∞
9．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在半平面α内,且45POB ∠=o
．若对于半平面β内异于O
的任意一点Q ,都有45POQ ∠≥o
,则二面角AB αβ--的取值范围是
A ．π[0,]4
B ．ππ[,]42
C ．π[,π]2
D ．π
[,π]4
10．已知x ∈R 且0x ≠，θ∈R ，则22
2(1sin )(1cos )x x x
θθ+-+--+的最小值是
A ．22
B ．8
C ．122+
D ．942-
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11．已知数列{}n a 的通项公式为31n a n =-*
()n ∈N ，则57a a += ▲ ；该数列前n 项和n S =
▲ .
12．已知随机变量ξ的分布列如右表， 则m = ▲ ；()E ξ= ▲ . 13．若62
()a x x
-
展开式中3
x 项的系数为12-，则a = ▲ ；
常数项是 ▲ .
14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π
3
A ∠=，7,5a b ==，点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，
则边c = ▲ ；AD = ▲ .
15．已知直线1l ：210x y -+=，直线2l ：420x y a -+=，圆C ：2
2
20x y x +-=.
若C 上任意一点P 到两直线1l ，2l 的距离之和为定值5a = ▲ .
16．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人担任“一带
一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 ▲ 种不同的选法. 17．已知向量a,b 满足32-=+=a b a b ，则a 的取值范围是 ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．(本小题满分14分)
ξ 1 2
P
13
m
已知函数()sin3cos cos3sin cos 2f x x x x x x =-+． (Ⅰ) 求π
()4
f 的值；
(Ⅱ) 求()f x 的单调递增区间．
19．(本小题满分15分)
如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，11B C BC ∥，
Q 是1A B 的中点，且112AC BC B C ==，2π3
ACB ∠=
． (Ⅰ) 证明：1B Q ∥平面11A ACC ；
(Ⅱ) 求直线AB 与平面11A BB 所成角的正弦值．
20．(本小题满分15分) 已知函数ln (),x
f x x
=
() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,
,.a a b b a b ≥⎧=⎨
<⎩
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).
21．(本小题满分15分)
已知1F ,2F 是椭圆C ：2
212x y +=的左右焦点，,A B 是椭圆C 上的两点，且都在x 轴上方，1AF 2BF ∥，设21,AF BF 的交点为M ．
（Ⅰ）求证：
12
11AF BF + 为定值； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程． 22．(本小题满分15分) 已知数列{}n a 满足1
n n
a t =+(,,3,n t t n t *∈≥≤N 证明：
（Ⅰ）1
e -<n a n a （e 为自然对数底数）；
（Ⅱ）
12111
(1)ln(1)n
t n a a a +++>++L ； （Ⅲ）123()()()()1t
t
t
t
n a a a a ++++<L ．
2017年9月丽水、衢州、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学参考答案
11. 34，232n n +； 12 . 23， 53
；
13. 2，60；
14. 8，
3
； 15. 18-； 16. 60
；
17.[1,2]
．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. (本小题满分14分)
已知函数()sin3cos cos3sin cos 2f x x x x x x =-+． (Ⅰ) 求π()4
f 的值；
(Ⅱ) 求()f x 的单调递增区间．
解 (Ⅰ) 因为 π3ππ3πππ
()sin cos cos sin cos 444442
f =-+
02222
=
+⨯+ 1=
所以 π
()14
f = …………………………………………………………5分
(Ⅱ) 因为 ()sin(3)cos 2f x x x x =-+
π
)4
x =
+ …………………………………………………9分
（化简出现在第（Ⅰ）小题中同样给4分）
由正弦函数的性质得 πππ
2π2+2π242
k x k -
+≤≤+，Z k ∈ 解得
3ππ
ππ88
k x k -
+≤≤+，Z k ∈ 所以
()f x 的单调递增区间是3ππ
[π, π]88
k k -
++，Z k ∈………………………14分 19．(本小题满分15分)
如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，
11B C BC ∥，Q 是1A B 的中点，且112AC BC B C ==，2π
3
ACB ∠=
． (Ⅰ) 证明：1B Q ∥平面11A ACC ；
(Ⅱ) 求直线AB 与平面11A BB 所成角的正弦值．
(Ⅰ) 证明：如图1所示，连接11,AC A C 交于M 点，连接MQ . 因为 四边形11A ACC 是正方形， 所以 M 是1AC 的中点
又已知Q 是1A B 的中点 所以 1 2
MQ BC ∥
又因为 11B C BC ∥且11=2BC B C
所以 11 MQ B C ∥，
即四边形11B C MQ 是平行四边形
所以 11B Q C M ∥，
因此 1B Q ∥平面11A ACC .…………………………………………………7分
(Ⅱ) 如图2所示，过点B 作面11A B B 与 面ABC 的交线BD ，交直线CA 于D .
过A 作线BD 的垂线AH ，垂足为H . 再过A 作线1A H 的垂线AG ，垂足为G . 因为1,AH BD AA BD ⊥⊥, 所以BD ⊥面1A AH ,
所以BD ⊥AG ,又因为1A H AG ⊥,
所以AG ⊥面11A B B ，所以ABG ∠即AB 与面11A B B 所成的角．………………10分 因为11A B ∥面ABC ，所以11A B ∥BD ， 且A 为CD 的中点，
如图2所示，CP 为BD 边上的高，
AB
BD
因为0
11sin12022
CB CD BD CP ⋅=⋅
所以CP =
=2CP AH =因为12AA =
，所以1A H =
=
, 1
1AH AA AG A H
⋅=
==
所以sin 31
ABG ∠=
==………………………………………15分
20．(本小题满分15分) 已知函数ln (),x
f x x =
(),(0)g x kx k =>函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,
,.
a a
b b a b ≥⎧=⎨
<⎩ (第19题图4)
H
A
(Ⅰ) 求()f x 的极值；
(Ⅱ) 求()F x 在[]1,e 上的最大值（e 为自然对数底数）. (Ⅰ) 解： 因为2
1ln ()x
f x x
-'=
由 ()0f x '=，解得：e x =……………………………………………………3分 因为
x (0, e)e (e, +)
∞()f x '+
0 -
()
f x Z 1e
]
所以 ()f x 的极大值为
1
e
，无极小值．………………………………………7分 (Ⅱ) 因为()f x 在[1, e]上是增函数， 所以 max 1
()(e)e
f x f ==
……………………………………………………10分 ()g x 在[1, e]上是增函数
所以 max ()(e)e g x g k ==……………………………………………………13分
所以 2
max
21
1, 0<,e e ()1e, .
e k F x k k ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩
……………………………………………15分
21．(本小题满分15分)
已知1F ,2F 是椭圆C ：2
212x y +=的左右焦点，,A B 是椭圆C 上的两点，且都在x 轴上方，1AF 2BF ∥，设21,AF BF 的交点为M ．
（Ⅰ）求证：
12
11AF BF + 为定值； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．
（I ）证1：设直线1AF 所在直线的方程为1x my =- ，
与椭圆方程联立
2222,
1,
x y x my ⎧+=⎨
=-⎩ 化简可得()
22+2-210m y my -= 因为A 点在x 轴上方， 所以
22A y m =
+
所以
(12
02
A m AF m =-=
+
同理可得：(2202
B m BF m -=-=
+…………4分
所以211AF =，
221BF =
所以
2212
11+AF BF =
2⎛⎫
221-m m +
⎪
⎭
=7分 证2：如图2所示，延长1AF 交椭圆于1B ,由椭圆的对称性可知：112B F BF =,
所以 只需证明
111
11+AF B F 为定值， 设直线1AF 所在直线的方程为1x my =- ，与椭圆方程联立
2222,1,
x y x my ⎧+=⎨
=-⎩ 化简可得：()22
+2-21
m y my -所以
111122
11111
++
AF B F y y y
⎛⎫
=
⎪⎪
⎭
=
=
==………………………………………………7分
（II）解法1：设直线
2
AF，
1
BF所在直线的方程为
1
1
x k y
=+，
2
1
x k y
=-
1
2
1,
1,
x k y
x k y
=+
⎧
⎨
=-
⎩
所以M点的坐标为
12
21
21
2
k k
x
k k
y
k k
+
⎧
=
⎪-
⎪
⎨
⎪=
⎪-
⎩
……………………………………10分
又因为
1
122
A A
A A A
x my
k m
y y y
--
===-，
2
122
B B
B B B
x my
k m
y y y
++
===+
所以
12
22
2211
+=+=22
2
A B B A
k k m m m
y y y y
m
⎛⎫
-++-
⎪
⎝⎭
⎛⎫
=
⎝
所以()
12
+226
k k m m m
=+=，
22
21
-2
k k
⎛⎫
=
所以
12
21
21
2
k k
x
k k
y
k k
+
⎧
===
⎪-
⎪
⎨
⎪===
⎪-
⎩
所以()
22
1 0
91
88
x y
y
+=>……………………………………………………15分
解法2：
如图3所示，设
1122
,
AF d BF d
==，则11
2
MF d
MB d
=，
第21题图3
12
所以
111
1111212
MF d d MF BF BF d d d d =⇒=⋅++
又因为122BF BF a +==
所以122BF BF d ==
所以()
12
1
111212
d d d MF BF d d d d =⋅=++ ……………………………………10分
同理可得(
)21
212
d d MF d d =
+，所以
(
)(
)12
2
1
12
1212
12
12
2d d d d d d MF MF d d d d d d +=
+=+++ ……………12分
由(I)
可知
1212
21
111+d d d d d d =+ ……………………………………………14分
所以12MF MF +=
所以动点M 的轨迹方程为()22
1 09188
x y y +=>………………………………15分 22．(本小题满分15分) 已知数列{}n a 满足1
n n
a t =+(,,3,)n t t n t *∈≥≤N ． 证明： (Ⅰ) 1
n a n a -<e （e 为自然对数底数）；
(Ⅱ)
12111
(1)ln(1)n
t n a a a +++>++L ； (Ⅲ) 123()()()()1t
t
t
t
n a a a a ++++<L ． 证明： (Ⅰ) 设1
()e
x f x x -=- 因为 1
()e
1x f x -'=-
当(0,1)x ∈时，()0f x '<，即()f x 在(0, 1)单调递减
因为 0111
n n t a t t <=≤<++ 所以 1()e
(1)0n a n n f a a f -=->= 即 1n a n a -<e …………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 即证 12111ln(1)(1)(1)(1)n
n t a t a t a +++>++++L 即证 1111ln(1)23n n
++++>+L 设()ln(1)g x x x =-+
1()111x g x x x '=-
=++ 因为
当0x >时，()0g x '>，即 ()g x 在(0,)+∞上单调递增
所以 ()ln(1)(0)0g x x x g =-+>=
即 0x >时，有ln(1)x x >+
所以 1113411ln 2ln ln ln ln(1)2323n n n n ++
+++>++++=+L L 所以 12111(1)ln(1)n
t n a a a +++>++L ……………………………………10分 (Ⅲ) 因为 123()()()()t t t t n a a a a ++++L
3121111(e )(e )(e )(e )n a a a a t t t t ----<++++L
2
111e (1e )
1e
t tn t t t
t -+++-=-22211111e (1e )e 11e 1e t t t t t t t t t t --+++++--≤=-- 设 1e t
t q += 因为3
14
e e 2t
t q +=≥> 2
11e 1
1e
t t t
t -++-=-1111111t t q q q q q ----=<<--- 所以 123()()()()1t t t t n a a a a ++++<L ………………………………15分。