分类与整合思想、转化与化归思想

值范围是 A.(－∞，－1]
B.[12，＋∞)
√ C.[－1，12] D.－23，12
解析 当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A，B；
当 a＝－32时，函数 f(x)＝32x3－92x，f′(x)＝92x2－92＝92(x2－1)，
当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上为减函数，
1.若一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为
A.x＋y－7＝0
B.2x－5y＝0
√C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，
当 a＝0 时，直线过原点，此时直线方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0； 当 a≠0 时，设直线方程为ax＋ay＝1，求得 a＝7，
9.已知函数 f(x)＝lgx＋ax－2，若对任意 x∈[2，＋∞)，恒有 f(x)>0，则实 数 a 的取值范围是_(_2_，__＋__∞__)_. 解析 根据题意，得 x＋ax－2>1 在[2，＋∞)上恒成立， 即a>－x2＋3x在[2，＋∞)上恒成立， 又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a>2.
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特 殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把 握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填 空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.
1.据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an和 b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|am＜bm，m＝1，2，…，n}，若M中元素 个数大于 34n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：A＜B， 现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是 A.若A＜B，B＜C，则A＜C
解析 答案
二、命题的等价转化
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简 单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与 变量的转化，图形形体及位置的转化.
5.由命题“存在x0∈R，使e|x0 1－| m≤0”是假命题，得m的取值范围是
(－∞，a)，则实数a的值是
A.a1a8>a4a5
√ B.a1a8<a4a5
C.a1＋a8>a4＋a5
D.a1a8＝a4a5
解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，
显然只有1×8<4×5成立，即a1a8<a4a5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B.若A＜B，B＜C同时不成立，则A＜C不成立
√C.A＜B，B＜A可同时不成立
D.A＜B，B＜A可同时成立
解析 特例法：例如蔬菜A连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A＜B，B＜A同时不成立，故选C.
解析 答案
2.过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若线段
图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论， 这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何 中直线与圆锥曲线的位置关系.
5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为
83 A. 3
B.4 3
23 C. 9
√D.4 3或833
解析 当矩形长、宽分别为 6 和 4 时，体积 V＝2× 3×12×4＝4 3；
综上，曲线 C 的离心率为12或32.
解析 答案
8.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若 △OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为__4__.
解析 答案
三、含参问题分类整合
某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需 对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根 据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要 周全.
解析 不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0. 若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝36tt＝12；
若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝ac＝22ac＝32tt＝32.
所以 f(x)min＝f(1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除 C. 综上，选D.
解析 答案
4.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差 cos A＋cos C 4
数列，则1＋cos Acos C＝__5__. 解析 令 a＝b＝c，则△ABC 为等边三角形，且 cos A＝cos C＝12， 代入所求式子，得1c＋oscAo＋s AccoossCC＝1＋12＋12×21 21＝45.
第三篇 渗透数学思想，提升学科素养
(二)分类与整合思想、转化与化归思想
栏目 索引
分类与整合思想 转化与化归思想 数学素养专练
分类与整合思想
一、概念、定理分类整合
概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分 类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{an}的前n项和公式等， 然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转 化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.
9.已知实数a，x，a>0且a≠1，则“ax>1”的充要条件为
A.0<a<1，x<0 B.a>1，x>0
√C.(a－1)x>0
பைடு நூலகம்D.x≠0
解析 由ax>1知，ax>a0，
当0<a<1时，x<0；
当a>1时，x>0.
故“ax>1”的充要条件为“(a－1)x>0”.
解析 答案
10.若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为
则数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，
则S5－S4＝a5＝25＝32.
解析 答案
3.已知集合 A＝－1，21，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，若 A∩B＝B，则所有 符合条件的实数 m 组成的集合是
√A.{0，－1，2}
B.－21，0，1
C.{－1，2}
D.－1，0，21
解析 因为A∩B＝B，所以B⊆A.若B为∅，则m＝0；
则直线方程为x＋y－7＝0.
解析 答案
2. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，则S5－S4的值为
A.8
B.10
C.16
√D.32
解析 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.
因为Sn＝2an－2，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
两式相减得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，
若 B≠∅，则－m－1＝0 或12m－1＝0，解得 m＝－1 或 2.
综上，m∈{0，－1，2}.故选A.
解析 答案
4.设函数 f(x)＝esixn－1π，x2x≥，0－. 1<x<0， 若 f(1)＋f(a)＝2，则实数 a 的所有可 能取值的集合是__－__2_2_，__1__.
解析 答案
二、图形位置、形状分类整合
当长、宽分别为
4
和
6
时，体积
V＝43×2
3 3×12×6＝8
3 3.
解析 答案
x≥0， 6.已知变量 x，y 满足的不等式组y≥2x，
kx－y＋1≥0
表示的是一个直角三角形
围成的平面区域，则实数 k 等于
A.－12
1 B.2
C.0
√D.0 或－12
解析 答案
7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足 |PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为_12_或__32__.
A.(－∞，1)
B.(－∞，2)
√C.1
D.2
解析 命题“存在x0∈R，使e|x0 1|－m≤0”是假命题，
可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，
可得m的取值范围是(－∞，1)，
而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
解析 答案
6.如图所示，已知三棱锥 P－ABC，PA＝BC＝2 34，PB＝AC＝10，PC＝ AB＝2 41，则三棱锥 P－ABC 的体积为
A.40
√C.160
B.80 D.240
解析 答案
7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取 值范围是_(_－__∞__，__－__1_)∪__(_3_，__＋__∞__)_. 解析 设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3， 则当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1. f(p)在[0，4]上恒为正等价于ff04>>00，， 即xx2－－13>0x，－1>0， 解得 x>3 或 x<－1.
由圆心 C(2，0)到直线 y＝kx－(k＋3)的距离
|2k－k＋3| k2＋1 ＝r＝1，解得
k＝43，
所以yx＋－31的取值范围是43，＋∞.
解析 答案
三、 函数、方程、不等式之间的转化
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需 要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.
解析 答案
8.如果实数 x，y 满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么xy－＋13的取值范围是__43_，_＋__∞___.
解析
设
y＋3 k＝x－1，则
y
表示点
P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1
上的点的连
线的斜率(如图).
从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最值，
此时对应的直线斜率分别为kPB和kPA，其中kPB不存在.
√ A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
解析 当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.
当 a≠0 时，函数 f(x)＝ax2＋4x－3＝ax＋2a2－3－4a，其对称轴为 x＝－a2. 当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意. 当 a<0 时，只有当－2a≥2，即－1≤a<0 时， f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意. 综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2).故选B.
解析 答案
11.设函数f(x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f(x0)<0
和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为
√A.(7，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)
解析 答案
转化与化归思想
一、特殊与一般的转化
PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则1p＋1q等于
A.2a
1 B.2a
√C.4a
4 D.a
解析 抛物线 y＝ax2(a>0)的标准方程为 x2＝1ay(a>0)，焦点 F0，41a. 过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|＝|QF|＝21a，
∴1p＋1q＝4a.
解析 答案
3.已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取
故当 x∈－32，1时，对满足－1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)<0.
解析 答案
12.已知函数 f(x)＝ln x.若不等式 mf(x)≥a＋x 对所有 m∈[0，1]，x∈1e，e2 都成立，则实数 a 的取值范围为_(_－__∞__，__－__e_2]_.
解析 答案
数学素养专练
1.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么
解析 答案
10.(2017·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点 P 在 圆 O：x2＋y2＝50 上，若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 __[－__5___2_，__1_] _.
解析 答案
11.已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导 函数.对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为 __－__32_，__1_ _. 解析 由题意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1). 对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0， ∴33xx22＋－xx－－82<<00，， 解得－23<x<1.