2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
加减法
复数的
乘法
复数的
除法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用
法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单
位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分
)
关键能力—考点突破
考点一
复数的有关概念
[基础性]
1．若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为(
)
A．－3
B．3
C．5
D．－5
答案：A
3−5i −3i+5i2
解析：由复数的运算法则，可得z＝
＝
＝－5－3i，所以复数z的虚部为－3.
i
i× −i
1+i
2．[2022·广东深圳市高三质量评估]若复数z＝ －i为纯虚数，则实
2．[2022·合肥市教学质量检测]设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单
位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(
)
A. y＝－x
B. y＝x
C.(x－1)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
答案：B
解析：z在复平面内对应的点为(x，y)，则z＝x＋yi(x，y∈R)，又|z－1|＝|z－i|，所以(x－1)2＋y2＝x2＋(y－
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
x轴
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．_____叫做实轴，
实数
y轴除去原点
_____________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点
实部不为0的虚数
纯虚数
都表示________；各象限内的点都表示________________．
)
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( × )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就
是复数对应的向量的模．( √ )
(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．( × )
(二)教材改编
2．[选修2－2·P103 例题改编]已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对
应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(
b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、
向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题
的解决更加直观．
[提醒] |z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x 2 + y 2 ，由
此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何
z+i
2
A．2 B． 2 C．1 D．
2
答案：C
z−i
a+ b−1 i
i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数z+i＝a+ b+1
a+ b−1 i a− b+1 i
a2 + b+1 2
a2 +b2 −1−2ai
z−i
＝ a2 + b+1 2 .因为复数z+i为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.所以|z|＝
模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考
考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．
学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核
心素养．
必备知识—基础落实
一、必记3个知识点
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
实部
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________
＝
a2 + b 2 ＝1.
)
反思感悟
求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的
实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给
复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)
求解．
考点二
复数的代数运算
[基础性]
[例1] (1)[2021·北京卷]在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(a＋c)＋(b＋d)i
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________．
(a－c)＋(b－d)i
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________．
＝
＝ ＝
z·തz−i
2+i · 2−i −i 5−i
5−i 5+i
−2+10i −1+5i
＝
.
26
13
＝
考点三
复数的几何意义
[基础性、应用性]
2−i
(1)复数
在复平面内对应的点所在的象限为(
1−3i
[例2]
A.第一象限 B．第二象限
C.第三象限 D．第四象限
答案：(1)A
2−i
解析：(1)1−3i＝
4+3i
4 2
3 2
∴|z＋i2 021|＝
5
＝
5
+
5
1+2i
＝1.
5
4)

3．[2022·浙江省舟山中学高三月考]若z＝2＋i，则|z|＝_____，
− +

2i
＝________．
z·തz−i
解析：因为z＝2＋i，所以|z|＝ 22 + 12 ＝ 5；
2i
2i
2i
2i 5+i
2−i 1+3i
10
5+5i 1+i
1
1
＝
，所以该复数对应的点为
，
10
2
2
2
＝
，该点在第一象限．
)
a+i
(2)[2022·开封市模拟考试]在复平面内，复数 对应的点位于直线y
1+i
＝x的左上方，则实数a的取值范围是(
A.(－∞，0) B．(－∞，1)
C.(0，＋∞) D．(1，＋∞)
)
答案：A
a+i

2+i
解析：因为z＝1−i＝
2+i 1+i
1−i 1+i
＝
1+3i 1
＝2
2
3
1
3
+ 2i，所以，其共轭复数为2 − 2i.
(三)易错易混
4．(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2
2
＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数 ，则z1 的虚部为_____，m＋n＝
a+i
数a的值为(
)
1
A．－1 B．－
2
C．0
D．1
答案：A
1+i
1+i a−i
解析：化简原式可得：z＝ －i＝ 2
a+i
a +1
－1.
－i＝
a+1+ a−a2 −2 i
a2 +1
.z为纯虚数时，
a+1
＝0，a－a2－2≠0即
2
a +1
a＝
z−i
3．已知z为复数，i为虚数单位．若复数 为纯虚数，则|z|＝(
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________．
z1 a+bi
a+bi c−di
④除法： ＝
＝
z2 c+di
c+di c−di
+ + −
+
＝__________________(c＋di≠0)．
z1
z
i
解析：由题图得：z1＝－2－i，z2＝i，所以z2 ＝−2−i＝
i −2+i
−2−i −2+i
−2i−1
1
＝ 5 ＝－5
−
2
i.
5
1
(四)走进高考
6．[2021·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(
A．0
B．1
C． 2
D．2
答案：D
解析：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.
(
)
A．2＋i
B．2－i
C．1－i
D．1＋i
答案：(1)D
2
解析：(1)由题意可得：z＝1−i＝
2 1+i
1−i 1+i
2 1+i
2
＝
＝1＋i.
(2)[2021·全国乙卷]设2(z＋തz)＋3(z－തz)＝4＋6i，则z＝(
A．1－2i B．1＋2i C．1＋i D．1－i
答案： (2)C
解析： (2)设z＝a＋bi，则തz＝a－bi，则2(z＋തz)＋3(z－തz)＝4a＋6bi＝4＋6i，
意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．
【对点训练】
2i
1．[2022·重庆市高三月考]在复平面内，复数 对应的点的坐标为
1−i
(
)
A.(－1，1) B．(1，－1)
C.(－1，i) D．(i，－1)
答案：A
2i
2i 1+i
解析：由1−i＝ 1−i 1+i
2i+2i2
2i
＝ 2 ＝－1＋i，则复数1−i对应的点的坐标是(－1，1)．
解析：(2)因为1+i＝
a+i 1−i
1+i 1−i
＝
a+1 + 1−a i
a+i
，复数
对应的点在直线y＝x的左上方，所以1－a>a＋1，解得
2
1+i
a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．
反思感悟 复数几何意义及应用
(1) 复 数z 、复 平 面上 的 点 Z 及 向 量 OZ相互 联系 ， 即z ＝a ＋bi(a ，
3
_____．
6+2i
解析：由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝ 2−i ＝
n＝3.
6+2i 2+i
2−i 2+i
＝
10+10i
＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n＝1，所以m＋
5
5．(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应


－ − i
z2
的点分别是A和B，则 ＝________．
)
A．(－1，1)
B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案：A
解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足ቊ
m + 1＞0
，解得－1＜m＜1.
m − 1＜0
2+i
3．[选修2－2·P116复习参考题A组T1(2)改编]复数z＝ (i为虚数单位)
1−i


− i
的共轭复数是________．
1)2，所以y＝x.
第二节 合情推理与演绎推理
必备知识—基础落实
微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．
＝
1−z
2+i
2+i 2−i
解析：由
1
5
3
5
＝－ + i.
2．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|തz＋i2 021|＝(
4
A.
5
65
5
B．
3
C．
5
D．1
答案：D
1+i 2 2i 1−2i
2
解析：由z(1＋2i)＝(1＋i) 得复数z＝
＝
4−2i
4−2i
4+3i
∴തz＝ 5 .തz＋i2 021＝ 5 ＋i＝ 5 ，
别合并即可
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中
要注意把i的幂写成最简形式
【对点训练】
1+2z
1．设复数z满足
＝i，则z＝(
1−z
1
3
1
3
A. + i
B． − i
5
5
5
5
1
3
1
3
C.－ + i D．－ − i
5
5
5
5
)
答案：C
1+2z
−1+i
−1+i 2−i
＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝
b＝0
b≠0
虚部
和_______．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚
a＝0且b≠0
数，若______________，则a＋bi为纯虚数．
a＝c且b＝d
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．
= ，
൜
= −
3＝0，n∈N*.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．