小学数学课堂培养学生数据分析观念的实践与反思

小学数学课堂培养学生数据分析观念的实践与反思
——以“五舍六入”一课的教学为例[摘要]：培养学生的数据分析观念是时代发展的必然要求，也是小学数学基于标准开展教学的应有之意。

本文结合小学数学“五舍六入”一课的教学，系统分析了小学数学课堂中培养学生数据分析观念的意义、方法和原则。

文章认为，培养学生的数据分析观念，既符合现代教育发展的基本理念，也能够有效改善小学数学教学中存在的弊端，有利于教学有效性的提升和学生的全面发展。

培养学生的数据分析观念，可以按照“创设生活情境，激发学生观察数据的兴趣；设计实验活动，引导学生体验数据的探究；拓展应用范围，促进学生领会数据的价值”等步骤开展，在开展的过程中，应该注重形成教师的数据意识，培养学生的数据感情，挖掘数据的多元意义。

[关键词]：小学数学，数据分析，意义，方法，原则
随着社会的发展，数学学科对人类生活的影响越来越广泛，数学思维和数学能力成为衡量人才素质的重要指标。

我国基础教育阶段的数学教育，将统计学作为重要的教学内容，随着对这一教学内容理论研究和实践探索的不断深入，人们越来越深刻地认识到，统计学的核心是培养学生的数据分析观念。

《义务教育数学课程标准》也明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”，学生的数据分析观念第一次在课程标准中得以明确提出，并作为学生的核心素养之一被突出强调。

课堂是提升学生数学素养的有效阵地，教师应该通过科学合理的教学设计培养学生的数
据观念，提升学生的数据分析能力。

本文以小学数学“五舍六入”一课的教学为例，讨论小学数学课堂之中培养学生数据分析观念的基本原则与方法。

一、培养学生数据分析观念的意义
进入2012年，大数据（big data）一词越来越多地被提及，人们用它来描述和定义信息爆炸时代产生的海量数据，并命名与之相关的技术发展与创新，可以说，数据分析能力已经成为时代发展对人才培养提出的一个崭新的命题，这一命题也蕴含了数学教学理念与方法的转型需求。

“五舍六入”是上海版《数学》四年级第二学期“数学广场”中的内容，是在学生已经学习了“四舍五入”、进一法、去尾法等凑整方法的基础上，通过生活实例引入的一种新的凑整方法。

相比较与“四舍五入”等凑整方法，“五舍六入”的“知名度”显然更低，教学中的受重视程度也相对较弱。

笔者曾参与过这一主题的一次教研活动，其中的一个小插曲引发了我的思考：
课堂上有学生向老师发问：“不是已经学过‘四舍五入’了吗？为什么还要学习‘五舍六入’呢？”执教老师显然对这突如其来的问题准备不足，只能搪塞道：“这是教材编排的，我也不知道。

”课后，当我们问及这位老师如何对学生提出的问题给出一个交代时，她坦诚而又无奈地说：“我还真不知道怎么给学生一个交代。

其实对于为什么要学习‘五舍六入’，我也很困惑”。

这个来自教学现场的真实性问题引发了笔者对于“五舍六入”这一部分教学内容价值与意义的思考。

在一次教研活动时，笔者对参与教研的95
位小学数学教师进行了无记名问卷调查：被试中听说过“五舍六入”的占78%；上过或听过这节课的占68%；对教材安排“五舍六入”的意图不清楚的占61%，超过50%的被试认为这一部分教学内容缺乏实用价值，仅有13%的被试自认为能够清楚地认识到教材中安排这一部分内容的初衷。

通过对上述调查数据的分析，笔者认为，小学数学教师对“五舍六入”这一部分的教学内容普遍存在认识误区，这一误区具体体现在两个方面：其一，从对教学内容的理解上看，教师普遍对“四舍五入”和“五舍六入”两种教学内容的本质理解不清楚，很多教师简单地认为，“四舍五入”与“五舍六入”只是一种精确度的计数保留法，采用这两种方法，能使近似值与实际值的差不超过最后一位数量级的二分之一，两者的不同之处在于，“四舍五入”得到的近似值大于实际值，“五舍六入”的近似值小于实际值。

因为“四舍五入”法用得比较普及，所以习惯上人们将“四舍五入”视作基本的保留法。

基于这样的理解，教师往往容易对两种取整方法存在的合理性和必然性认知不足，难以将此部分内容的教学演绎为对任意数字“a舍b入”合理性的探究，难以通过教学让学生理解“四舍五入”和“五舍六入”存在的合理意义。

这种对上述教学内容的狭隘理解，显然是难以彰显当代小学数学教学意蕴的；
其二，从对教学目标的定位上看，由于对两类取整方法认识上的误区，加之现实生活中运用的局限，很多教师都以一种相对随意的态度对待“五舍六入”的教学，仅仅将“五舍六入”视作与“四舍五入”相并列的取整方法，教学目标仅仅停留在知识与技能的维度，忽视了过程与方法等其他维度的目标达成，没有在教学中充分发挥两部分教学内容之中蕴含的数学
思想和数学思维，借以提升学生利用数据分析问题、解决问题的意识和能力，让学生真正感受数学与生活的关系。

在笔者看来，将新课程改革的理念融入现代教学，一个重要的内容就是依据“三维目标”科学设定具体的教学目标，以“五舍六入”一课为例，理想的教学目标应该突破对知识与技能的固守，通过教学让学生掌握两种取整方法的区别与联系，体会生活中不同凑整方法的合理性与科学性，初步学会选用合理数据分析问题、解决问题的方法，通过联系生活实际，激发学习数学的兴趣，培养严谨的学习态度。

上述分析表明，小学数学课堂上还存在一定程度的“维知识”、“维技能”倾向，如何转变教师的观念和教学实践是一个极富时代意义的命题。

在笔者看来，数据是数学的基础，数据分析是数学能力的基础，教师应该在教学过程中充分发挥自己的教育智慧，灵活利用课内外的教学资源，创设生动的教学过程，培养学生数据分析观念，因为从理论上说，这符合现代教育的基本理念，能够通过科学合理的教学设计和实施促进学生的生命成长；从实践上说，这切合小学数学教学改革的实践，能够有效克服小学数学教学中存在的种种弊端，更好地实现基于标准的数学教学。

二、培养学生数据分析观念的方法
根据课程标准对数据分析观念的解读，笔者认为，数学课堂上培养学生的数据分析观念，其基本的目标是培养学生的数据意识，教会学生选择适当的方法搜集和分析数据，通过数据分析体验随机性，认识数据与现实生活的联系。

教有法，而无定法，现实的课堂上，为实现上述目标，教师可以根据自己的经验、特长和学生的实际情况灵活构建课堂的进程，选择
恰当的方法开展教学。

在教授“五舍六入”一部分内容时，笔者着重从以下几个方面入手培养学生的数据分析观念：
（一）创设生活情境，激发学生观察数据的兴趣
新课程改革强调以学生发展为本，关心学生需要，切实改变学生的学习方式，强调课堂教学要联系学生生活，强调学生充分运用经验进行建构性学习。

布鲁纳认为：“学习最好的刺激是对学习材料的兴趣”，而学生感兴趣的学习材料通常是与现实生活密切相关的材料，对于小学生来说，他们头脑中“数据”以及“数据分析”的概念尚没有清晰地确立，难以自然而然地产生对数据的分析兴趣，这就需要教师在教学中注重运用现实生活中的素材，以生活化的教学内容引发学生对课堂的主动参与和思考。

在教授“五舍六入”一课时，我设计了如下导入环节：
师：同学们，大家都去过超市吧！小胖在收银台旁看到这样一则告示，他在想，超市为什么要出这样的告示呢？你是怎么想的？
生：因为分币现在很少了。

生：找零用分币很麻烦。

师：嗯，小胖与你们想的一样。

当用现金支付时，分币流通不方便，超市会用四舍五入法保留到角？你会吗？我们一起来任意说几个价格试试看。

师生共同报出以下6个数据，再用四舍五入法凑整到“角”。

13.37 26.05 15.56 9.98 10.64 7.95
师：这家超市用四舍五入法解决了分币流通不方便的问题。

有家医院遇到了同样的问题（出示医院收银条），是不是也用“四舍五入”法来凑整的呢？说说你的理由。

生：不是，我觉得是用了去尾法。

生：不是去尾法，第一张应付8.85元，实付8.80元，可能是去尾法。

可是第二张应付4.16元，实付4.20元，如果是去尾法，应该是4.10元。

……
师：你们观察得真仔细！这里用的是“五舍六入”法。

谁能从字面上来解释一下什么是“五舍六入”吗？
生：就是看尾数的最高位。

小于或等于5就舍去，大于或等于6就向前一位进一。

师：都听明白了吗？好！下面就用五舍六入法把刚才的6个价格凑整到“角”。

……
数学来源于生活，生活也充满着数学。

通过实际生活情境的引入，引导学生发现数学问题、理解数学问题和思考数学问题，能够让学生感受到数学原来就在自己的身边，深刻体会到凑整方法的出现不是无缘无故的，是在实际生活中产生的一种现实需求。

有了这样的认识和体验，学生参与本节课学习的热情自然就会比较高涨，主动观察数据、思考数据的兴趣也会被充分地调动。

（二）设计实验活动，引导学生体验数据的探究
数学学习不是单纯的知识接受，也不是没有思维要求的反复操练，而是学生自己的活动过程。

在教学中，教师应该跳出知识与技能的禁锢，注重通过自主探索、合作交流等活动，引导学生观察、模仿、实验、猜想，经历有意味的“做数学”过程，使之在活动中探索数学问题，发现数学结论，形成数学思维。

就“五舍六入”的教学看，学生明确“五舍六入”的内涵和运用方法只是一种基础性的学习，教学目标如果仅围绕这个方面进行设计显然是不符合新课程理念的。

教师应该注重从两种取整方法入手，引导学生探索两种方法之间的区别与联系，通过对数据的不同实验（误差对比）明确两种取整方式存在的合理性和必然性。

在引导学生认识“五舍六入”之后，我设计了如下教学过程：
1.探究“四舍五入”与“五舍六入”的区别
师：你们真厉害！不用老师教，就已经掌握了“五舍六入”的凑整方法。

那么，“四舍五入”与“五舍六入”这两种方法究竟有什么区别？既然有“五舍六入”，是否还有“六舍七入”，“七舍八入”，或者是任意的“a舍b入”呢？
师：大家已经有了自己的猜测，接下来就需要来验证这些观点。

老师为你们提供了4组数据（如下），小组中每人选择一组，用计算器算一算运用不同方法凑整后的总和与实际总和的误差分别是多少。

学生汇报：
A组误差：“四舍五入”多0.05元，“五舍六入”少0.05元；
B组误差：“四舍五入”多0.35元，“五舍六入”少0.35元；
C组误差：“四舍五入”多0.05元，“五舍六入”少0.05元；
D组误差：“四舍五入”和五舍六入都是多了0.12元。

生：A、B、C三组四舍五入、“五舍六入”与精确值之间的误差正好是一多一少。

生：而且这三组多多少和少多少是一样的。

生：B组误差最大。

生：D组不管是四舍五入还是无舍六入，结果是一样的，都是多了0.12。

师：你们观察得真仔细！那么为什么B组误差会大一些，D组会看不出区别呢？请你们再仔细观察这两组数据的特征，在小组里交流一下各自的想法。

生：因为B组的尾数都是5，“四舍五入”时都向前一位进一，“五舍六入”时都可以舍去，这样一来误差就变大了。

师：积少成多啊！
生: 我们发现，D组“四舍五入”与“五舍六入”后的数据都是一样的，所以与精确值的误差也是一样的。

师：咦，奇怪了，D组的数据最多，为什么反而看不出两者之间的区别了呢？
生：因为D组里一个5也没有，无论是“四舍五入”还是“五舍六入”，都和它没有关系，都是一样的。

师：说得真好！“四舍五入”、“五舍六入”的关键差别就在于5，D组的尾数都没有5，因此在研究这个问题时这组就是无效数据。

师：现在让我们站在消费者的角度想一想，你觉得“四舍五入”与“五舍六入”哪种凑整方法更省钱？
生：“五舍六入”更省钱。

师：也就是说在误差一样的情况下，“五舍六入”更倾向于消费者，大家认为是这样吗？对啊！不少医院正是出于这样的考虑做出了让利于民的决定。

2.探究“a舍b入”中误差最小的凑整方法
师：那么，会不会还有比“四舍五入”、“五舍六入”的误差更小的凑整方法呢？认为有的举手。

（有近一半的学生在犹犹豫豫中陆续举起了手）师：吃不太准是吗？有什么好办法可以来验证你的想法呢？
生：像刚才一样算一算就知道了。

师：好，就听你的。

我们让数据来说话。

我们再来看看这几组数据，这回你们打算用哪一组数据来做实验呢？
生：我们打算用A组数据。

这组数据的尾数1-9都有了，随便研究几舍几入都行。

生：其他几组数据的尾数不是缺了就是重复了。

师：嗯，言之有理！好，那我们就用A组数据。

刚才有小组已经算过了，这组数据的实际总和是10.35，“四舍五入”与“五舍六入”的误差都是0.05（出示下表）。

接下来，请你任意选一种“a舍b入”的凑整方法算一算，会不会出现误差比0.05还小的凑整方法呢？
误差
生：我尝试了“一舍二入”，与实际值的误差是0.35。

生：我试了“七舍八入”，误差是0.25。

生：我试的是“二舍三入”，算出来的结果比实际值多了0.25......
根据学生的回答，教师逐将表格填写完整：
师：请大家仔细观察表格，你能得出什么样的结论？
生：“四舍五入”与“五舍六入”的误差最小。

生：每一组的误差都是一样的，也是一多一少。

生：舍的少入的多，近似值就会比精确值多；反过来就会少。

生：我知道为什么“一舍二入”的误差最大了，因为舍的只有1个，入的却有8个。

“八舍九入”的道理也是一样的。

……
师：怪不得大多数商家都选择“四舍五入”或“五舍六入”呢！看来，“a舍b入”可不是我们随便说说的，这里面是有数学道理的。

在这节课中，数据的设计与探究，既是亮点也是难点。

“四舍五入”与“五舍六入”两种取整方法存在的合理性体现在哪里，为什么生活中不采用任意的“a舍b入”，如果仅靠教师的口头讲解和说明学生是很难建立起对上述两个问题的明确概念的。

而通过上述两个问题的主动探究，学生在数据的计算、对比和分析中对两种取整方法之间的本质区别及其存在的合理性（误差最小）有了清晰的认识。

在这样的探究过程中，学生经历了预测猜想—实验观察—数据处理—合情推理—探究验证的过程，这有助于学生培养起敏感的数据意识，使之认识到对于数据的比较分析和逻辑推理能够解释现实生活中的问题，这不仅深化了课堂教学的内容，也有助于学生数据分析能力的培养和数学思维的养成。

（三）拓展应用范围，促进学生领会数据的价值
小学数学学科的价值体现在很多方面，其中一个重要的价值就在于数学能促进学生理性地思考问题，科学地解决问题。

在教学中，教师应注重培养课程资源开发意识，适当地延伸和拓展课堂教学内容，让学生在更为广阔的平台和更为真实的场景中活化数学知识、解决实际问题、领悟数学内涵、体会数学价值。

在学生通过探究理解了“四舍五入”和“五舍六入”两种取整方法的本质与价值之后，笔者又设计了如下教学步骤：
师：生活中，对于几分钱，除了用“四舍五入”、“五舍六入”凑整到“角”，还有哪些不同的方法呢？让我们一起来看看。

（逐次出示下面的方法）
师：对水、电、煤、电信等账单处理“分”的方式，你有什么问题吗？
生：什么叫结转零头？
生：结转零头大概是就把这个月的零头“分”转到下个月的意思吧。

师：完全正确！当下个月再有零头时就可以加上这几分钱凑成角，多余的再放到下个月。

你们认为这样的方法好不好？
生：这样的话就不用考虑误差了，我认为是个好办法。

师：对啊，这方法多好，既合理又科学。

超市、医院为什么不用呢？
生：医院不可能每个月都去一次，如果这次结账时有零头没有支付，要到下次生病时再去结转。

如果我以后再也不生病了呢？（听课老师都笑了）生：超市我们可以有选择，比如我今天出去旅游到某个超市买了东西，下次我就有可能没有机会再去了，那这个零头怎么办呢？
……
师: 通过今天的学习，我们知道了在凑整方法中，“四舍五入”和“五舍六入”的误差最小。

有没有更为精确的凑整方法呢？有！那就是“四舍六入五成双”，有兴趣的同学课后可以上网查一查，下次来讲给同学听。

学生的学习不仅是发生在课堂上的行为，现代信息技术的发展在很大程度上改变了学生的学习方法，也拓展了学习的场域。

教师的教学，也不应该局限于课堂，而是应该以适当的设问引发学生课后和校外的主动探究。

在已经解决了上述两个问题后，笔者认为，可以让学生继续围绕“有没有
更为科学更为合理的解决分币流通不便的方法”开展探究，并自然引出一种误差更小的凑整方法，这样的教学设计显然更能激发学生深入探究的兴趣，使之进一步体会数学的价值。

三、培养学生数据分析观念的原则
日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点：在学校学的数学知识，毕业后没什么机会可用，一两年后很快就忘掉了。

但是无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将长远地发挥重要作用，而在笔者看来，学生数据分析观念的养成是提升学生数学素养、形成学生数学思维方式的重要基础。

对“五舍六入”一课教学的反思，可以总结形成小学数学课堂培养学生数据分析观念的三方面操作原则：
（一）要注重形成教师的数据意识
培养学生的数据分析观念是新课标提出的重要思路，也是数学教学领域相对新颖的教学目标，在思路的贯彻和目标的实现过程中，教师的数据意识培养是极为关键的因素。

对于小学数学教师来说，数据意识的培养，主要包括两个方面：其一是数据收集的意识，即教师应该注重培养自己的课程资源开发理念，注重结合时代发展、结合生活实际、结合学生需求、结合教学需要搜集和整理数据，为数学课堂上培养学生数据观念提供素材。

例如，雾霾天气中PM2.5含量数据、世博会每天入园人数、奥运会中国代表团奖牌数、跳绳前后人的心跳数等，这样的数据符合上述四个“结合”，教师可以在日常生活中注意积累，丰富课堂教学的内容；其二是数据教学的意识，即教师应该立足三维目标和数学课程标准，注重在教学中培养学
生的数据观念，特别是引导学生通过数据的探究感受数据的魅力，养成独特的数学思维。

（二）要注重培养学生的数据感情
培养学生数据分析观念的一个重要前提就是学生对数据的兴趣，只有学生愿意亲近数据，他们才能够主动探索数据。

对于小学生来说，只有他们真正领会到数据中蕴含的信息及其与生活的联系，他们才能真正建构起对数据的亲切感。

“五舍六入”一课的教学中，笔者通过学生喜闻乐见的“付款方式”让学生自然而然地与数据建立起亲密的关系，进而主动探索数据背后蕴含的信息，这是确保课堂教学目标达成的重要前提和基础。

实际上，学校生活环境中，与数据分析密切相关的案例有很多，例如设计或购买校服的时候需要统计学生的身高、学校食堂做“营养餐”需要统计菜价的变化等，这样的数学活动学生体验得越多，其对数据的亲切感也就越强烈，在探究数据的过程中也就越能主动投入。

（三）要注重挖掘数据的多元意义
对于数据的处理和分析过程，既包含着科学性，又不乏艺术性和趣味性，教师在教学中应该注重围绕学生数据观念培养的基本目标，充分挖掘数据的多元意义，防止数据教学仅仅停留在表面的现象。

例如在教学中，教师往往比较喜欢通过实验的方式让学生的感受和体验数据，但是很多教师的实验设计仅仅停留在让学生感知数据的层面，而忽视了数据背后蕴含的其他丰富信息，忽视了利用数据丰富和发展学生的归纳、演绎和逻辑思维能力。

教师应该明确数据的多元价值和意义，通过灵活化的处理，使得数据教学既源于课堂，又高于课堂，真正发挥其促进学生全面发展、个性发展
的积极作用。

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主要参考文献：
[1] 史宁中，等.“数据分析观念”的内涵及教学建议[J].课程·教材·教法，2008（6）.
[2] 郭琪龙.关于小学数学教学有效性的思考[J].江苏教育研究（理论版），2008（6）.
[3] 吕秀俊.对新课标下小学数学生活化的探究[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2006（6）.
[4] 吴小燕.小学数学生活化教学的实践探索[J].上海教育科研，2005（12）.
[5] 鲁献蓉.从传统教案走向现代教学设计[J]. 课程·教材·教法，2004（7）.
[6] 刘悦红.数据分析观念的内涵及其教育价值[J].大连教育学院学报，2012（2）.
2014年3月。