对数平均不等式在极值点偏移中应用

对数平均不等式的典型应用

极值点偏移问题的母题

对数、指数平均不等式与高考中的一类热点,即极值点的偏移(类对称或淮对称)问题具有深该的内在联系,利用对数

与

指数平均不等式可建立极值点的偏移母题如下.

[母题结构]:(Ⅰ)(对数模型)设

P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=mlnx+ax 2

+bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当

m>0时,f '(

221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(2

21x

x +)>k PQ ; (Ⅱ)(指数模型)设P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)是函数f(x)=me x

+ax 2

+bx+c(m ≠0)图像上的任意两点,则当m>0时,f '(2

2

1x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(

2

2

1x x +)>k PQ . [母题解析]:(Ⅰ)由

f(x)=mlnx+ax 2

+bx+c ⇒f '(x)=

x m +2ax+b ⇒f '(2

21x x +)=212x x m ++a(x 1+x 2)+b;又由

k PQ =2

121)

()(x x x f x f --=

m ⋅

2121ln ln x x x x --+a(x 1+x 2)+b ⇒k PQ -f '(221x x +)=m(2121ln ln x x x x ---212x x +),由对数平均不等式:2b a +>b

a b a ln ln --⇒212

1ln ln x x x x -->

212

x x +⇒当m>0时,f '(221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(221x x +)>k PQ ;

(Ⅱ)由f(x)=me x

+ax 2

+bx+c ⇒f '(x)=me x

+2ax+b ⇒f '(2

21x

x +)=me

2

21x x ++a(x 1+x 2)+b;又由k PQ =

2

121)()(x x x f x f --=m ⋅2121x x e e x x --+

a(x 1+x 2)+b ⇒k PQ -f '(2

2

1x x +)=m(2121x x e e x x ---e

2

2

1x x +),由指数平均不等式:b

a e e b

a -->e

2

b a +⇒2

12

1x x e e x x -->e

2

2

1x x +⇒当m>0时,

f '(

221x x +)<k PQ ;当m<0时,f '(2

21x

x +)>k PQ . 1.对数模型

子题类型Ⅰ:(2011年辽宁高考试题)已知函数f(x)=lnx-ax 2

+(2-a)x.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a>0,证明:当0<x<

a 1时,f(a 1+x)>f(a

1

-x); (Ⅲ)若函数y=f(x)的图像与x 轴交于A,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0,证明:f '(x 0)<0.

[解析]:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),由

f(x)=lnx-ax 2

+(2-a)x ⇒f '(x)=-

x

x 1

2+(ax-1);①当a ≤0时,f '(x)>0⇒f(x)在(0,+∞)上递增;②当a>0时,f(x)在(0,

a 1)上递增,在(a

1

,+∞)递减; (Ⅱ)令g(x)=f(

a 1+x)-f(a 1-x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,则g '(x)=ax a +1+ax a -1-2a=2

22312x a x a ->0⇒g(x)在[0,a 1

)上递

增⇒g(x)>g(0)=0⇒f(

a 1+x)>f(a

1

-x);

(Ⅲ)设A(x 1,0),B(x 2,0),则k AB =0,由f '(

2

2

1x x +)<k AB =0⇒f '(x 0)<0. [点评]:若连续函数

f(x)在区间(x 1,x 2)内有唯一的极值点x 0,且f(x 1)=f(x 2),研究

2

2

1x x +与x 0的大小或判断f '(

2

2

1x x +)的符号,统称为极值点的偏移问题;母题结论具有解决极值点偏移问题的根本性. 2.指数模型

子题类型Ⅱ:(2010年天津高考试题)已知函数f(x)=xe -x

(x ∈R).

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x); (Ⅲ)如果x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),证明:x 1+x 2>2.

[解析]:(Ⅰ)由

f(x)=xe -x ⇒f '(x)=e -x -xe -x =(1-x)e -x

,列表如下,由表知f(x)在(-

∞,1)

内是增函数,在(1,+∞)内是减函数,函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)=e -1

; (Ⅱ)由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称⇒g(x)=f(2-x)=

(2-x)e x-2

;当x>1时,令F(x)=f(x)-g(x)=xe -x

+(x-2)e x-2

,则F '(x)=(x-1)(e 2x-2

-1)e -1

>0⇒函数F(x)在[1,+∞)是增函数

⇒F(x)>F(1)=0⇒f(x)>g(x);

(Ⅲ)设P(x 1,y 0),Q(x 2,y 0),由x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2),则x 1,x 2>0;令g(x)=lnf(x)=lnx-x,则

g '(

2

21x x +)<k PQ =0⇒212

x x +-1<

0⇒x 1+x 2>2.

[点评]:指数与对数函数模型不仅具有相似的结论,实质上,由函数y=e x

与y=lnx 的对称性知,母题中,指数与对数

函数模型的结论是等价的;把指数函数问题转化为对数函数问题是解决指数函数问题的常用方法. 3.切线背景

子题类型Ⅲ:(2005年湖南高考试题)已知函数f(x)=lnx,g(x)=2

1ax 2

+bx,a ≠0. (Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a 的取值范围;

(Ⅱ)设函数f(x)的图象C 1与函数g(x)图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1,C 2于点M 、N,证明:C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.

[解析]:(Ⅰ)当b=2时,h(x)=f(x)-g(x)=lnx-2

1ax 2

-2x ⇒

h '(x)=

x 1-ax-2=-x

1(ax 2

+2x-1)(x>0);所以,h(x)存在单调递减区间⇔h '(x)≤0在(0,+∞)内有解集区间⇔T(x)=ax 2

+2x-1≥0在(0,+∞)内有解集区间⇔a>0,或a<0,且

4+4a>0⇔

a 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞);

(Ⅱ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),A(x 1,0),B(x 2,0),由h(x)=f(x)-g(x)=lnx-2

1ax 2

+bx ⇒h '(x)=f '(x)-g '(x)⇒h '(221x x +)=

f '(

221x x +)-g '(221x x +)<k AB =0⇒f '(221x x +)<g '(221x x +)⇒C 1在点M 处的切线斜率=f '(2

21x

x +)<C 2在点N 处的切线斜率=g '(

2

2

1x x +)⇒C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. [点评]:对数、指数平均不等式及其引伸的母题结论具有广泛的应用,尤其在解决双切线问题中,具有十分有力的深