【精品】2019版高中全程复习方略数学(文)课时作业：第二章函数、导数及其应用13
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y＝1－ ＝ ，
∴y′＝ ＝ ，y′|x＝－1＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()
＝－4ax3＋bsinx＋7.
∴f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 017)＝6，
∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.
答案：D
10．(2018·江西上饶二模)已知函数y＝ex－ x存在平行于x轴的切线且切点在y轴左侧，则a的取值范围为()
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
解析：∵y＝alnx，∴y′＝ ，
∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，
故切点为(1,0)，
∴切线方程为y＝a(x－1)．
令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.
∴三角形面积S＝ ×a×1＝4，
∴a＝8.
答案：8
14．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1.所以x2＝ .
所以切线l1的方程为y－lnx1＝ (x－x1)，切线l2的方程为y＋lnx2＝－ (x－x2)，
即y－lnx1＝－x1(x－ ).
分别令x＝0得A(0，－1＋lnx1)，B(0,1＋lnx1)．
又l1与l2的交点为P( ，lnx1＋ ）.
∵x1>1，
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：f(x＋1)＝ ，故f(x)＝ ，即f(x)＝2－ ，对f(x)求导得f′(x)＝ ，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.
答案：A
8．(2018·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝()
A．－1 B．1
C．3 D．4
答案：C
5．(2018·焦作模拟)已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋x2
C．f(x)＝1＋2sinxD．f(x)＝ex＋x
解析：A选项中，f′(x)＝－3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－ ，排除B选项；C选项中，f′(x)＝2cosx，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称．
解析：对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
答案：C
9．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为()
A．－6 B．－8
C．6 D．8
解析：∵f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.
∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()
A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．
答案：C
2．(2018·衡水调研)曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为()
∴S△PAB＝ |yA－yB|·|xP|＝ < ＝1.
∴0<S△PAB<1，故选A.
答案：A
17．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：∵f′(x)＝a－ ，∴f′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
A．1 B．1－log2 0162 012
C．－log2 0162 012 D．－1
解析：由题意可得点P(1,1)，f′n(x)＝(n＋1)xn，所以点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以与x轴交点的横坐标xn＝ ，
则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝log2 016 ＝－1，故选D.
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
答案：1
解析：函数y＝ex－ x的导数为y′＝ex－ .设切点为(m，n)，m<0，可得切线的斜率为k＝em－ .由题意可得em－ ＝0，即有em＝ ，由m<0，可得0< <1，解得a>3.
答案：C
二、填空题
11．已知f(x____.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：D
16．(2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝ 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于
点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)(不妨设x1>1,0<x2<1)，则由导数的几何意义得切线l1，l2的斜率分别为k1＝ ，k2＝－ .
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－ ，即f′(3)＝－ ，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－ ＝0.
答案：0
[能力挑战]
15．(2018·江西五校联考)已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N＋的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为()
答案：3
12．已知f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，则f′(1)＝________.
解析：因为f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，
所以f′(x)＝－e2－x＋f′(2) ，
令x＝1，得f′(1)＝－e＋f′(2) ＝－e.
答案：－e
13．曲线y＝alnx(a>0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
答案：C
4．(2018·郑州市第二次质量检测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案：B
6．(2018·河南适应性测试，6)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则 的值为()
A. B.
C．－ D．－
解析：由题意得y′＝3x2，当x＝1时，
y′|x＝1＝3×12＝3，
所以 ×3＝－1，即 ＝－ .
答案：D
7．(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝ ，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：∵y＝1－ ＝ ，
∴y′＝ ＝ ，y′|x＝－1＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：A
3．(2018·山西名校联考)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()
＝－4ax3＋bsinx＋7.
∴f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 017)＝6，
∴f′(－2 017)＝14－6＝8，故选D.
答案：D
10．(2018·江西上饶二模)已知函数y＝ex－ x存在平行于x轴的切线且切点在y轴左侧，则a的取值范围为()
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
解析：∵y＝alnx，∴y′＝ ，
∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，
故切点为(1,0)，
∴切线方程为y＝a(x－1)．
令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.
∴三角形面积S＝ ×a×1＝4，
∴a＝8.
答案：8
14．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1.所以x2＝ .
所以切线l1的方程为y－lnx1＝ (x－x1)，切线l2的方程为y＋lnx2＝－ (x－x2)，
即y－lnx1＝－x1(x－ ).
分别令x＝0得A(0，－1＋lnx1)，B(0,1＋lnx1)．
又l1与l2的交点为P( ，lnx1＋ ）.
∵x1>1，
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：f(x＋1)＝ ，故f(x)＝ ，即f(x)＝2－ ，对f(x)求导得f′(x)＝ ，则f′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.
答案：A
8．(2018·开封模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋mx＋n相切于点A(1,3)，则n＝()
A．－1 B．1
C．3 D．4
答案：C
5．(2018·焦作模拟)已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)＝()
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝x3＋x2
C．f(x)＝1＋2sinxD．f(x)＝ex＋x
解析：A选项中，f′(x)＝－3sinx，其图象不关于y轴对称，排除A选项；B选项中，f′(x)＝3x2＋2x，其图象的对称轴为x＝－ ，排除B选项；C选项中，f′(x)＝2cosx，其图象关于y轴对称；D选项中，f′(x)＝ex＋1，其图象不关于y轴对称．
解析：对于y＝x3＋mx＋n，y′＝3x2＋m，∴k＝3＋m，又k＋1＝3,1＋m＋n＝3，可解得n＝3.
答案：C
9．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2 017)＝6，则f′(－2 017)为()
A．－6 B．－8
C．6 D．8
解析：∵f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.
∴f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()
A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．
答案：C
2．(2018·衡水调研)曲线y＝1－ 在点(－1，－1)处的切线方程为()
∴S△PAB＝ |yA－yB|·|xP|＝ < ＝1.
∴0<S△PAB<1，故选A.
答案：A
17．(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
解析：∵f′(x)＝a－ ，∴f′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
A．1 B．1－log2 0162 012
C．－log2 0162 012 D．－1
解析：由题意可得点P(1,1)，f′n(x)＝(n＋1)xn，所以点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以与x轴交点的横坐标xn＝ ，
则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝log2 016 ＝－1，故选D.
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
答案：1
解析：函数y＝ex－ x的导数为y′＝ex－ .设切点为(m，n)，m<0，可得切线的斜率为k＝em－ .由题意可得em－ ＝0，即有em＝ ，由m<0，可得0< <1，解得a>3.
答案：C
二、填空题
11．已知f(x____.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：D
16．(2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝ 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于
点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)(不妨设x1>1,0<x2<1)，则由导数的几何意义得切线l1，l2的斜率分别为k1＝ ，k2＝－ .
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－ ，即f′(3)＝－ ，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－ ＝0.
答案：0
[能力挑战]
15．(2018·江西五校联考)已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N＋的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为()
答案：3
12．已知f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，则f′(1)＝________.
解析：因为f(x)＝e2－x＋f′(2)(lnx－x)，
所以f′(x)＝－e2－x＋f′(2) ，
令x＝1，得f′(1)＝－e＋f′(2) ＝－e.
答案：－e
13．曲线y＝alnx(a>0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.
答案：C
4．(2018·郑州市第二次质量检测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.
答案：B
6．(2018·河南适应性测试，6)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则 的值为()
A. B.
C．－ D．－
解析：由题意得y′＝3x2，当x＝1时，
y′|x＝1＝3×12＝3，
所以 ×3＝－1，即 ＝－ .
答案：D
7．(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝ ，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()