2020版高考数学大一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入课件理新人教A版
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实数（b_＝__0）， 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)虚数（b_≠__0）纯 非虚 纯数 虚（ 数（a_＝_a≠_0，0，b_b≠≠__00） ），.
(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔____a_＝___c_且___b_＝___d____ (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔___a_＝___c_且___b_＝___－___d__ (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作_|_z_| 或__|_a_＋__b_i|__，即 |z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．
复数代数形式的运算
[典例引领]
(1)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)已知 a 为实
数，若复数 z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数，则a＋1＋i2 i020＝(
)
A．1
B．0
C．1＋i
D．1－i
(2)(2019·武汉市武昌区调研)已知(－z －1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其
中 i 是虚数单位，－z 是 z 的共轭复数)，则 z 的虚部为( )
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
→ 平面向量_O__Z__．
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____(_a_－__c)_＋__(_b_－__d_)i__1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
解析：选 B.因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复 平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以 a1＋ －1a<>00， ，解得 a<－1，故选 B.
(教材习题改编)在复平面内，已知 6＋5i 对应的向量为O→A， A→B＝(4，5)，则O→B对应的复数为________． 解析：O→A＝(6，5)，A→B＝(4，5)， 则O→B＝O→A＋A→B＝(10，10)． 答案：10＋10i
【答案】 (1)A (2)2π
复数的几何意义及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a， b∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把 复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的 方法，使问题的解决更加直观．
【答案】 (1)C (2)－2
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出 实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确 定实部和虚部．
明与间 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反
接证明 证法的思考过程、特点．
数学归 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简
纳法 单的数学命题.
第十二章 复数、算法、推理与证明
第 1 讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是__a__，虚部是_b__． (2)复数的分类
复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题 实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运 算法则进行，除法则需分母实数化．
复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11－ ＋ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋ i4n＋3＝0，n∈N*.
复数的几何意义
[典例引领]
(1)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1
＝2＋i(i 为虚数单位)，则 z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
(2)若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对
应的图形的面积为________．
【解析】 (1)因为复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对 称，z1＝2＋i，所以 z2＝－2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝ －5. (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所 以 x2＋（y－1）2≤ 2，所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面 内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以 2为半径的圆及其内 部，它的面积为 2π.
A．1
B．－1
C．i
D．－i
【解析】 (1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数， 则有 a2－1＝0，a＋1≠0， 得 a＝1， 则有1＋1＋i2 i020＝11＋＋1i ＝（1＋2（i）1－（i1）－i）＝1－i. (2)因为－z ＝42＋－3ii＋1－3i＝（（42＋－3ii））（（22＋＋ii））＋1－3i＝1＋2i ＋1－3i＝2－i， 所以 z＝2＋i，z 的虚部为 1，故选 A. 【答案】 (1)D (2)A
复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含 有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项， 分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复 数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式．
计算下列各式的值： (1)12＋i i2；(2)（21＋＋4i）i 2；(3)11＋ －ii＋i3. 解：(1)12＋i i2＝（14＋i2i）2＝－2i4＝2i. (2)（21＋＋4i）i 2＝2＋2i4i＝2－i. (3)11－＋ii＋i3＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）＋i3＝22i＋i3＝i－i＝0.
第十二章 复数、算法、推理与证明
知识点
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了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简
合理推 单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
理与演 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模
绎推理 式，并能运用它们进行一些简单推理．
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
直接证 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
复数为12－32i，故选 B.
2．(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－a 2i＋ i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则 a＝( ) A．－5 B．－1 C．－13 D．－53 解析：选 D.z＝1－a 2i＋i＝（1－a（2i）1＋（21i）＋2i）＋i＝a5＋2a＋5 5i， 因为复数 z＝1－a 2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以 －a5＝2a＋5 5，解得 a＝－53.故选 D.
)
A．0
B．12
C．1
D． 2
(2)(2017·高考天津卷)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，
则 a 的值为________．
【解析】 (1)法一：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＋2i ＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选 C. 法二：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝1－i＋12＋i（i1＋i）＝－1＋1＋i i，所以|z| ＝－11＋＋i i＝|－|1＋1＋i|i|＝ 22＝1，故选 C. (2)由a2－ ＋ii＝（a－i）5（2－i）＝2a－5 1－2＋5 ai 是实数，得－2＋5 a ＝0，所以 a＝－2.
第十二章 复数、算法、推理与证明
知识点
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理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
复数
了解复数的代数表示法及其几何意义． 会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形
式的加、减运算的几何意义．
了解算法的含义，了解算法的思想． 算法与
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分 程序框
图 支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
(教材习题改编)已知(1＋2i) －z ＝4＋3i，则 z＝________．
解析：因为－z ＝14＋＋23ii＝（（41＋＋32ii））（（11－－22ii）） ＝10－5 5i＝2－i，所以 z＝2＋i. 答案：2＋i
复数的有关概念
[典例引领]
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设 z＝11－ ＋ii＋2i，则|z|＝(
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内
对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3，1)
B．(－1，3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选 A.由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为
(m＋3，m－1)，所以mm＋ －31＞ ＜00， ，解得－3＜m＜1，故选 A.
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(_a_c－__b_d_)_＋__(_a_d_＋__b_c_)i___； ④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝ ____a_cc_2＋ ＋__bd_d2_＋__b_cc2_－ ＋__ad_d2_i_____ (c＋di≠0)．
[通关练习]
1．(2019·合肥市第一次教学质量检测)已知复数 z＝21＋ －ii(i 为虚
数单位)，那么 z 的共轭复数为( )
A.32＋32i
B.12－32i
C.12＋32i
D.32－32i
解析：选 B.z＝12－＋ii＝（（21＋－ii））（（11＋＋ii））＝12＋32i，所以 z 的共轭
(2017·高考全国卷Ⅱ)31＋ ＋ii＝(
)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
解析：选 D.31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i，选择 D.
(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
2. (2019·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复 数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，O→B，则复数 z1·z2 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选 D.由已知O→A＝(－2，－1)，O→B＝(0，1)， 所以 z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i， 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝__z_2＋__z_1__，(z1＋z2)＋z3＝___z_1_＋__(_z2_＋__z_3)___．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a∈C，则 a2≥0.( ) (2)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时，复数 z 为纯虚数．( ) (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( ) (4)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．( ) (5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而 在复数范围内两个数也能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
(3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔____a_＝___c_且___b_＝___d____ (a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔___a_＝___c_且___b_＝___－___d__ (a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作_|_z_| 或__|_a_＋__b_i|__，即 |z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0，a、b∈R)．
复数代数形式的运算
[典例引领]
(1)(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)已知 a 为实
数，若复数 z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数，则a＋1＋i2 i020＝(
)
A．1
B．0
C．1＋i
D．1－i
(2)(2019·武汉市武昌区调研)已知(－z －1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其
中 i 是虚数单位，－z 是 z 的共轭复数)，则 z 的虚部为( )
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)
→ 平面向量_O__Z__．
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝___(_a_＋__c_)_＋__(b_＋__d_)_i___； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____(_a_－__c)_＋__(_b_－__d_)i__1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
解析：选 B.因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复 平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以 a1＋ －1a<>00， ，解得 a<－1，故选 B.
(教材习题改编)在复平面内，已知 6＋5i 对应的向量为O→A， A→B＝(4，5)，则O→B对应的复数为________． 解析：O→A＝(6，5)，A→B＝(4，5)， 则O→B＝O→A＋A→B＝(10，10)． 答案：10＋10i
【答案】 (1)A (2)2π
复数的几何意义及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a， b∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把 复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的 方法，使问题的解决更加直观．
【答案】 (1)C (2)－2
解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出 实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为 a＋bi(a，b∈R)的形式，以确 定实部和虚部．
明与间 了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反
接证明 证法的思考过程、特点．
数学归 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简
纳法 单的数学命题.
第十二章 复数、算法、推理与证明
第 1 讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是__a__，虚部是_b__． (2)复数的分类
复数的运算技巧 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题 实数化是解决复数问题的常用方法． (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运 算法则进行，除法则需分母实数化．
复数代数运算中常用的几个结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11－ ＋ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋ i4n＋3＝0，n∈N*.
复数的几何意义
[典例引领]
(1)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1
＝2＋i(i 为虚数单位)，则 z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
(2)若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对
应的图形的面积为________．
【解析】 (1)因为复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对 称，z1＝2＋i，所以 z2＝－2＋i，所以 z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝ －5. (2)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所 以 x2＋（y－1）2≤ 2，所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面 内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以 2为半径的圆及其内 部，它的面积为 2π.
A．1
B．－1
C．i
D．－i
【解析】 (1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i 为纯虚数， 则有 a2－1＝0，a＋1≠0， 得 a＝1， 则有1＋1＋i2 i020＝11＋＋1i ＝（1＋2（i）1－（i1）－i）＝1－i. (2)因为－z ＝42＋－3ii＋1－3i＝（（42＋－3ii））（（22＋＋ii））＋1－3i＝1＋2i ＋1－3i＝2－i， 所以 z＝2＋i，z 的虚部为 1，故选 A. 【答案】 (1)D (2)A
复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含 有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项， 分别合并即可． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复 数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式．
计算下列各式的值： (1)12＋i i2；(2)（21＋＋4i）i 2；(3)11＋ －ii＋i3. 解：(1)12＋i i2＝（14＋i2i）2＝－2i4＝2i. (2)（21＋＋4i）i 2＝2＋2i4i＝2－i. (3)11－＋ii＋i3＝（1－（i1）＋（i）1＋2 i）＋i3＝22i＋i3＝i－i＝0.
第十二章 复数、算法、推理与证明
知识点
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了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简
合理推 单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
理与演 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模
绎推理 式，并能运用它们进行一些简单推理．
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
直接证 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
复数为12－32i，故选 B.
2．(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－a 2i＋ i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则 a＝( ) A．－5 B．－1 C．－13 D．－53 解析：选 D.z＝1－a 2i＋i＝（1－a（2i）1＋（21i）＋2i）＋i＝a5＋2a＋5 5i， 因为复数 z＝1－a 2i＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以 －a5＝2a＋5 5，解得 a＝－53.故选 D.
)
A．0
B．12
C．1
D． 2
(2)(2017·高考天津卷)已知 a∈R，i 为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，
则 a 的值为________．
【解析】 (1)法一：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＋2i ＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选 C. 法二：因为 z＝11－ ＋ii＋2i＝1－i＋12＋i（i1＋i）＝－1＋1＋i i，所以|z| ＝－11＋＋i i＝|－|1＋1＋i|i|＝ 22＝1，故选 C. (2)由a2－ ＋ii＝（a－i）5（2－i）＝2a－5 1－2＋5 ai 是实数，得－2＋5 a ＝0，所以 a＝－2.
第十二章 复数、算法、推理与证明
知识点
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理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
复数
了解复数的代数表示法及其几何意义． 会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形
式的加、减运算的几何意义．
了解算法的含义，了解算法的思想． 算法与
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分 程序框
图 支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
(教材习题改编)已知(1＋2i) －z ＝4＋3i，则 z＝________．
解析：因为－z ＝14＋＋23ii＝（（41＋＋32ii））（（11－－22ii）） ＝10－5 5i＝2－i，所以 z＝2＋i. 答案：2＋i
复数的有关概念
[典例引领]
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设 z＝11－ ＋ii＋2i，则|z|＝(
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内
对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－3，1)
B．(－1，3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选 A.由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为
(m＋3，m－1)，所以mm＋ －31＞ ＜00， ，解得－3＜m＜1，故选 A.
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__(_a_c－__b_d_)_＋__(_a_d_＋__b_c_)i___； ④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝ ____a_cc_2＋ ＋__bd_d2_＋__b_cc2_－ ＋__ad_d2_i_____ (c＋di≠0)．
[通关练习]
1．(2019·合肥市第一次教学质量检测)已知复数 z＝21＋ －ii(i 为虚
数单位)，那么 z 的共轭复数为( )
A.32＋32i
B.12－32i
C.12＋32i
D.32－32i
解析：选 B.z＝12－＋ii＝（（21＋－ii））（（11＋＋ii））＝12＋32i，所以 z 的共轭
(2017·高考全国卷Ⅱ)31＋ ＋ii＝(
)
A．1＋2i
B．1－2i
C．2＋i
D．2－i
解析：选 D.31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i，选择 D.
(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
2. (2019·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复 数 z1，z2 对应的向量分别是O→A，O→B，则复数 z1·z2 对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：选 D.由已知O→A＝(－2，－1)，O→B＝(0，1)， 所以 z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i， 它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝__z_2＋__z_1__，(z1＋z2)＋z3＝___z_1_＋__(_z2_＋__z_3)___．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a∈C，则 a2≥0.( ) (2)已知 z＝a＋bi(a，b∈R)，当 a＝0 时，复数 z 为纯虚数．( ) (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( ) (4)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．( ) (5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而 在复数范围内两个数也能比较大小．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×