高二下学期第一次月考数学(理科)试卷
2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学(理科)
2012-2013学年下期第一次月考试卷高二数学（理科）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数0()f x x 在可导，则000()(3)limt f x t f x t t→+--=（ ）A ．'0()f x B ．'02()f x - C ．'04()f x D ．不能确定 2．一物体的运动方程为s ＝2t sin t ＋t ，则它的速度方程 s ′为( )A ．v ＝2sin t ＋2t cos t ＋1B ．v ＝2sin t ＋2t cos tC ．v ＝2sin tD ．v ＝2sin t ＋2cos t ＋13．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 4.设函数f （x ）={ EMBED Equation.DSMT4 |2x+lnx 则 （ ） A ．x=为f(x)的极大值点 B ．x=为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 5．函数的极大值是A. －B. 1C.D.6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．57．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x ) ＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)8．积分dxx421等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 9．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）10．已知三次函数f (x )＝13|x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长 为（ ）．Ａ． Ｂ． Ｃ． D ． 12.设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－ f (x )g ′(x )<0，则当 a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线在点处的切线方程为___________________xyO图xyOAxyOBxy OC yODx14.若函数f (x )＝ax 2－1x |的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是___.15．已知二次函数的图象如图所示,则它与x 轴所围成封 闭图形的面积为_______16.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则 a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)求函数的极大值和极小值。
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。
高二(下)数学月考一导数部分
中学2012-13学年第二学期高二年级第一次月考数 学(理科)考试时间：100分钟 出卷人:第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.)1．下列语句不是命题的有（ ）①x 2－3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗？ ③3+1=5 ④5x －3＞6． A ．①③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．②③④2.已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数）的图象是一条抛物线”．则下列四种形式的复合命题：中真命题是（ ） ①非p ； ②非q ； ③p 或q ； ④p 且q ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) A ．已知c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βB ．已知b ⊂β，c 是a 在β内的射影，若b ⊥c ，则b ⊥aC ．已知b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αD ．已知b ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c 5.下列说法正确的是 ( ) A.函数y ＝2sin(2x －π6)的图象的一条对称轴是直线x ＝π12 B.若x ≠0，则x ＋1x≥2 C.若命题p ：“存在x ∈R ，012<++x x ，则命题p 的否定为：“对任意x ∈R ，210x x ++≥” D.“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件 6.函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ） A.3(,)22ππB.(,)22ππ-C.(,2)ππD.(0,)π7.已知P ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，Q ＝{x |y ＝x ＋1＋3－x }，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 8.函数()f x 的定义域为开区间（a,b ），导函数()f x '在（a,b ）内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(a,b)内有极小值点A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个.x 'abxy)(f y =O9. 若函数32()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞10.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15- Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上11.已知曲线11x y x +=-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直，则a = .12.已知p ：a ＋b ≠5，q ：a ≠2或b ≠3，则p 是q 的________条件. 13.若xex f 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t→--=14.下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0.则命题“p ∧ q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.其中正确结论的序号为 .三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（10分）已知0ab ≠,求证1a b +=的充要条件是33220a b ab a b ++--=.16.（10分）已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围.⌝17.(12分）已知函数().)(),0,(ln 212的单调区间求x f a R a x a x x f ≠∈+=18.(12分）已知二次函数2()f x ax x =+.对于[0,1]x ∀∈,()1f x ≤成立,试求实数a 的取值范围.。
宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】【答案】DFra bibliotek【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】A
【12题答案】
【答案】A
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】36
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
A.6种B.11种C.12种D.16种
10.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
A.100B.200C.300D.400
11.为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（）
A. 3B. 9C. 12D. 15
2.某邮局有4个不同的信箱，现有5封不同的信需要邮寄，则不同的投递方法共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()
A. B. C. D.
4.随机变量X 分布列为P(X＝k)＝ ，c为常数，k＝1,2,3,4，则 的值为()
17.已知向量 ， ．
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 的概率；
（2）若x，y在连续区间 上取值，求满足 的概率．
福建省莆田市第二十五中学2024_2025学年高二数学下学期第一次月考试题理
莆田其次十五中学2024-2025学年下学期月考一试卷高二理科数学考试时间：120分钟；留意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1．已知命题，. 则为（）A．， B．， C．， D．，2．椭圆的离心率为（）A． B． C． D．3．若函数，则（）A． B． C．1 D．04．一质点沿直线运动，假如由始点起经过秒后的位移与时间的关系是，那么速度为零的时刻是A．0秒 B．1秒末 C．4秒末 D．1秒末和4秒末5．椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为A． B．C． D．6．已知函数，则（）A．0 B．-1 C．1 D．-27．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（）A． B．C． D．8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件C ．命题“在△ABC 中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题；D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥10．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）A ．2B ．C ．D ．11．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是A ．B ．C ．D ．12．已知点，，则，两点的距离的最小值为A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题13．命题“若，则”的逆否命题是______．14．焦点为()0,2的抛物线标准方程是__________．15．已知长轴长为2a ，短轴长为2b 椭圆的面积为ab π，则dx x ⎰--332912=___________。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
安徽省高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
淮北高二下第一次月考 数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|1?1,|20?A x x B x x x =-<<=--<,则()RA B =A. (]1,0-B. [)1,2-C. [)1,2D. (]1,2【答案】C 【解析】【分析】求出与,B 中不等式的解集确定出,B ，求出A 的补集，找出补集与,B 的公共部分，能求出结果． 【详解】{}{}{}2|11,|20|12,A x x B x x x x x =-<<=--<=-<<{}|1,1,RA x x x 或=≤-≥则(){}|12,RA B x x ⋂=≤<故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（ ） A. ,ln x R x x ∀∈≤ B. ,ln x R x x ∀∈< C. 000,ln x R x x ∃∈≤ D. 000,ln x R x x ∃∈>【答案】C 【解析】【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为“000,ln x R x x ∃∈≤”，故选C.3. 复数z 满足()12i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A.32B.12C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】【详解】依题意()()()()12i 1i 12i 13i 1i 1i 1i 2z -----===++-，故虚部为32-. 4. 如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A. 2B. 1C. 2-D. 3-【答案】B 【解析】【详解】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B5. 已知平面向量,a b 满足||3a =，23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】 【详解】a b+与a垂直，()0,9,9a b a a a b a b a ∴+⋅=∴⋅=-⋅=⋅=-，3cos ,323a b a b a b ⋅-∴===⨯，a ∴与b的夹角为56π，故选D. 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【详解】执行程序框图，输入20,1s i == ，第一次循环20,2s i ==；第二次循环10,3s i ==；第三次循环10,43s i ==；第四次循环51,56s i =<=，退出循环，输出5i = ，故选A. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）A.2B.3 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【详解】由双曲线方程221124x y -=，可得323,2,1244b a b c a ====+= ，所以渐近线方程为33y x = ，焦点坐标为()4,0 4332113=+ ，故选C.8. 若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是（ ） A. 16 B. 9C. 12D. 8【答案】B 【解析】【详解】直线220(0,0)ax by a b -+=>>平分圆222410x y x y ++-+=， 所以直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆心(-1,2). 即2220a b --+=，即1a b +=.()14144414529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当4b a a b =，即12b 33a ==，时14a b+取得最小值9. 故选B.9. 函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.10. 若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A. 1(,]4-∞ B. 1(0,]4C. 1[0,]4D. 1[,)4+∞【答案】C 【解析】 【分析】先考虑a是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑.【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a=-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C.【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.11. 椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（ ） A. 6 B.32C.92D. 3【答案】D 【解析】 【详解】2ABF ∆的内切圆面积为π1r ∴=，由题意得：3a =，b =2c =()2221114622ABF S AB BF AF a ∆=⨯++⨯=⨯=又2121262ABF S c y y ∆=⨯⨯-=123y y ∴-=故选D点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出2ABF ∆的面积，易知2ABF ∆的内切圆的半径长1r =，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题．12. 直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，则||AB 的最小值为( )B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】【详解】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ， 设()()12,,,A x m B x m .有：()()12221,?ln 1x m x x m +=++=， 所以()221ln 111,22x x mx ++=-=- 所以()()2222122ln 1ln 12122x x x x AB x x x +++--=-=--=.令()()()1ln 12,1,1,11xf x x x x f x x x -=+-->-=-=++' 当()1,0x ∈-时，()0f x '>,()f x 单调递增； 当()0,x ∞∈+时，()0f x '<,() f x 单调递减； ()()()02,12f x f x f AB ≤=-=≥.即AB 的最小值为1. 故选B.点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+，则n a =______．【答案】14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】【详解】试题分析：当n=1时，111314a S ==+=；当n>1时，()()111313123nn n n n n a S S ---=-=+-+=⋅．所以14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩． 考点：数列通项公式的求法． 点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法．公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩．此题的第一问求数列的通项公式就是用公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩，用此公式要注意讨论=12n n ≥和的情况．14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin A B =，c =且5cos 6C =，则a =__________．【答案】3 【解析】 【详解】sin 3sin ,A B =所以根据正弦定理可得3,a b =222221055cos ,266a b c b C ab b +--∴===1,3b a ∴==，故答案为3. 15. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点为,,,A B C D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是__________．【答案】12【解析】【详解】由题意,不妨设点()(),0,0,A a B b ,则直线AB 的方程为：1x ya b+= 即0bx ay ab +-=.∵菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点 ∴原点到直线AB 的距离为22ab c a b=+∴()22222a b c a b =+∴()()2222222aac c a c -=-∴422430a a c c -+= ∴42310e e -+= ∴2352e ±= ∵0<e<1∴512e =51-. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 16. 设函数()ln ,m f x x m R x =+∈，若任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a-<-恒成立，则m 的取值范围：__________． 【答案】14m ≥ 【解析】【详解】任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a -<-恒成立，即为()()0f b b f a a b a⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦<-恒成立，则()y f x x =-在()0,+∞上为减函数. 则有()21110my f x x x=-='--≤'在()0,+∞上恒成立， 即2m x x ≥-在()0,+∞上恒成立， 令()2211(x ),024g x x x x =-=--+>，()1124max g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以14m ≥. 故答案为14m ≥. 三、解答题 （第17题10分，其余5题每题12分）17. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin a B =. （1）求A 的大小；（2）若3,4a b c =+=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）12ABC S ∆=【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理得到sin sin sin A B B =，即sin A =；（2）由余弦定理得到229b c bc +-=，又因为4b c +=，可解出未知量73bc =，进而求得面积． 解析：（1）∵2sin a B =，∴sin a B b =， 由正弦定理得sin sin sin A B B =，即sin A =∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=.（2）∵2222cos ,3,3a b c bc A a A π=+-==，∴229b c bc +-= 又4b c +=，∴()239b c bc +-=，73bc =，∴117sin 223ABC S bc A ∆==⨯=. 18. 已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)见解析(2) 4n n + 【解析】【详解】试题分析：⑴由122n n n a a a +=+得到1212n n n a a a ++=，进而得到11112n n a a +-=； ⑵求出n a ，推出n b ，利用裂项法求解数列的和即可；解析：（1）∵122n n n a a a +=+，∴1212n n n a a a ++=，∴11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）由（1）知()11113122n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+，∴()()41143434n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭19. 已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)52a =-；(2)11732m -<<-. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由()f x 在2x =取极值，可得()'20f =，解方程可求出52a =-；（2）由（1）得()f x 的解析式，关于x 的方程()0f x m +=在[]1,2有两个不同的根，等价于函数()f x 的图象与直线y m =-有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数()f x 在区间[]1,2的范围，结合图象可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()321613f x x ax x =++-，则()226f x x ax =++' 因在2x =时，()f x 取到极值所以()204460f a =⇒++=' 解得，52a =- （2）由（1）得()32156132f x x x x =-+-且13x ≤≤ 则()()()25623f x x x x x =-+=--'由()0f x '=，解得2x =或3x =；()0f x '>，解得3x >或2x <；()0f x '<，解得23x <<∴()f x 的递增区间为：(),2-∞和()3,+∞；()f x 递减区间为：()2,3又()1123f =，()732f = 故答案为11732m -<<-20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .122F F =，椭圆离心率e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于,A B 两点，若1AF B △的面积为3，求直线l 的方程.【答案】(1) 2212x y += (2) 210x y --=或210x y +-= 【解析】【详解】试题分析：(1)由122F F =可得1c = ，由e =a =，利用222abc =+可得21b =，从而可得椭圆C 的方程；(2) 设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=，根据韦达定理、弦长公式结合三角形面积公式可得223m =+，解得2m =±，从而可求出直线l 的方程.试题解析：(1)222222221,2,112c c a b c e a =⎧⎪⇒===⎨==⎪⎩， ∴椭圆方程为2212x y +=. (2)∵()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，11212221222AF B S F F y y m m =-===++，=2m =±. 故直线l 的方程为210x y --=或210x y +-=.21. 如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点.（1）求点M 到其准线的距离；（2）求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】(1)134；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）由点(),3M a 在抛物线24y x =上得2934,4a a ==，可得准线方程为1x =-，由此能求出点M 到其准线的距离；（2）设直线MA 的方程为934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得241290y y k k -+-=，由已知条件推导出443,3A B y y k k=-=--，根据斜率公式，化简可消去参数k ，从而证明直线AB 的斜率为定值.【详解】（1）解：∵(),3M a 是抛物线24y x =上一定点 ∴234a =，94a =∵抛物线24y x =的准线方程为1x =-∴点M 到其准线的距离为：134. （2）证明：由题知直线MA MB 、的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩ 241290y y k k ⇒-+-=43A y k +=，∴43A y k=- ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数∴直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，同理@可得：43B y k=-- ∴2244A B A B AB B A B A y y y y k y y x x --==-- 423A B y y ==-+ 22. 已知函数()ln(1)(1)1(R)f x x k x k =---+∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()2*ln 2ln 3ln 4ln 2,N 34514n n n n n n -+++⋯+<≥∈+. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1(1,)k k +，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；（2）1k ；（3）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导得1()1k kx f x x +-'=-，对k 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k ≤时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，而(2)0f >，()0f x ≤不成立，故0k >，由（1）可得max 1()(1)f x f k=+，即可求出k 的取值范围；（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在(1)+∞，恒成立，即ln(1)2x x -<-，进而换元可得22ln 1n n <-，所以ln 112n n n -<+，即可得证. 试题解析：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-=-='-- 若0k ≤，()101f x k x =-≥-'，()f x 在()1,+∞上单调递增 若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-， 所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增；若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减 （2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立；若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥ 综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<-令()2*1N ,1x n n n -=∈>，得22ln 1n n <-，即ln 112n n n -<+ ln2ln3ln4ln 3451n n +++++ ()1123122224n n n --<++++=，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。
安徽省亳州市涡阳县育萃高级中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题
育萃高中高二年级第二学期第一次月考数学（理科）试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且()13i i 42z =--，则2z =（ ） A. 2i - B. 2i + C. 2i -+ D. 2i --C根据复数的乘法运算、复数模的运算以及复数的几何意义即可求解.()()()143i 52i 2i 2i2i 2i z -+===+-+-，又复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以22z i =-+.故选：C. 2. 已知命题:p x R ∀∈，2104x x -+，则p ⌝（ ） A. 21,04x x x ∃∈-+R B. 21,04x x x ∃∈-+>RC. 21,04x x x ∀∈-+>R D. 21,04x x x ∀∈-+<R B根据全称命题的否定直接写出答案.命题p 为全称命题，根据全称命题的否定为特称命题，可得：p ⌝： 21,04x x x ∃∈-+>R 故选：B全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题． 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()()135810,2360n S a a a a a ++++=，则11S 的值为（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66C根据等差数列求和与通项公式求解即可.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，()()1358102360a a a a a ++++=，()()1111122437960a a d a d a d a d ∴++++++++=，解得1655,5a d a +=∴=，()111116611112115522S a a a a ∴=+=⨯==，故选：C. 4. 已知1a b >>，给出下列不等式：①11b ba a +>+；②11ab a b+>+；③3322a b a b +>；④11a b b a+>+；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C利用作差法，结合题干条件，可判断①②④的正误，代入特殊值，可判断③的正误，即可得答案. 对于①：1(1)(1)1(1)(1)(1)b b a b b a ab a ab b a ba a a a a a a a++-++----===++++， 因为1a b >>，所以0,10a b a ->+>，所以101(1)b b a b a a a a+--=>++，即11b b a a +>+，故①正确； 对于②：11111(1)()1()b a ab a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab --⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=--=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>， 所以110a b a b ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b a b+>+，故②正确； 对于③：当3,2a b ==时，33333235a b +=+=，22223236a b =⨯⨯=， 所以3322a b a b +<，故③错误；对于④：11111()1a b a b a b a b a b b a b a ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1a b >>，所以0,1a b ab ->>，所以110a b b a ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，即11a b b a+>+，故④正确.所以正确的有①②④.故选：C 5. 若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =（ ）A. -4B. -2C.2e D. eA设切点()00,2ln x x ，写出切线方程0022ln 2xy x x =+-，从而可得01x e=，代入切线方程即可求解.设l ：2y ex b =+与曲线2ln y x =相切于点()00,2ln x x ， 则()002f x x '=， 所以的方程为()00022ln y x x x x -=-，则0022ln 2x y x x =+-，故022e x =，解得01x e=，则直线l ：24y ex =-，所以4b =-，故选：A.6. 双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>，圆22:(2)3M x y ++=与双曲线C 的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率等于（ ）A.B.C.D.A由题意先计算出圆心到渐近线的距离，然后再运用点到直线的距离公式计算出b c 、数量关系，即可求出离心率由题意可知圆心()2,0-，又因为渐近线与圆相交所得弦长为2，则圆心到渐近线双曲线的一条渐近线为0bx ay -=，运用点到直线的距离公式计算2b c ==2b c=，所以a=，故ce a == A. 7. 对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，则2a =（ ）A. 6B. 9C. 12D. 21A根据题意，将3x 进行变形，变形成3[(2)2]x -+，通过二项式定理可得30031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x C x C x C x C x -+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，由题意，可知21232326a C ==⨯=.∵3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-，而330031122213303333[(2)2](2)2(2)2(2)2(2)2x x C x C x C x C x =-+=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-，又3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+⋅-+⋅-+⋅-， 由对应相等得：21232326a C ==⨯=.故选：A.本题考查二项式定理的应用，关键点在于将3x 变形成3[(2)2]x -+，进而用二项式定理解题. 8. 在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ） A. 72B.47C. 3D. 23B利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+.故选：B. 方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 9. 已知直线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =相交于A ，B 两点，点F 为C 的焦点，4FA FB =，则k =（ ）A. 34B.54C. 3D.2A设()()1122,,,A x y B x y ，进而联立方程得28160x kx --=，再结合韦达定理得21284y y k +=+，124y y ，又因为抛物线焦点在y 轴正半轴且4FA FB =，故1246y y =+，进而解得1218,2y y ==，34k =.解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知抛物线的焦点坐标为()0,2F ， 直线线2(0)=+>y kx k 与抛物线2:8C x y =联立方程得：28160x kx --=， 所以12128,16x x k x x +==-，所以()21212484y y k x x k +=++=+，()()1212224y y kx kx =++=，又因为4FA FB =，所以()12242y y +=+，即1246y y =+， 所以由1246y y =+和124y y 解得1218,2y y ==（负的舍去） 所以21218482y y k +=+=+，解得2916k =，所以34k =故选：A本题考查直线与抛物线的位置关系问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于联立方程并结合韦达定理得12128,16x x k x x +==-，进而得21284y y k +=+，124y y ，再根据焦半径公式得1246y y =+，联立方程即可得答案.10. 已知函数22()21f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ）A. (3,2)--B. [3,2]--C. (,2)-∞D. (,2]-∞-D求出()1f x ≥-，令()f x t =，解()0<f t 得11a t a -<<+，然后得1()1a f x a -<<+无解，结合()f x 的值域可得结论．2()()11f x x a =--≥-，设()t f x =，则(())0f f x <化为()0<f t ，2()()10f t t a =--<，11a t a -<<+，1()1a f x a -<<+，由题意此不等式无解，则11a ≤-+，∴2a ≤-．故选：D ．11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4B利用特殊位置可判断①②的正误，可证明//EF 平面ABCD ，据此可判断③的正误，利用向量的数量积可求,AF CE 夹角的余弦值，从而可求其最大值．如图1，当F 与1A 重合时，E 与1D 重合时，直线EF 与直线AC 是异面直线，故①错误．如图2，当F 与1A 重合时，E 与1C 重合时，四边形ACEF 为矩形， 故直线AF 与直线CE 平行，故②错误．因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，而EF ⊂平面1111D C B A ，故//EF 平面ABCD ， 所以直线EF 到平面ABCD 的距离为定值（正方体的棱长），故③正确． 建立如图3所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()0,,1F a ，(),1,1E b ，其中01,01a b ≤≤≤≤， 而()1,1,0C ，故()0,,1AF a =，()1,0,1CE b =- ，设直线AF 与直线CE 所成角为θ， 则1cos cos ,2AF CE θ==≥=， 若直线AF 与直线CE 不平行，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故0,3πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故直线AF 与直线CE 所成角的最大值是，所以④正确．故选：B ．方法点睛：空间中与直线与直线的位置关系有关的判断，应该让几何对象动态变化，在变化过程中确定位置关系，而角的最值判断，则需构建平面角，也可以通过直线的方向向量的夹角来处理．12. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭） A. ()6063,e +∞B. ()20210,e C. ()2021,e +∞ D. ()60630,eD由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 由题可设()()xf x F x e =，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e --==>，所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==， 将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=<， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 有1ln 20213x<，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e=、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最大值是___________.1-根据约束条件作出可行域以及直线3z x y =-过点A 时在y 轴上的截距最小，z 有最大值，得出答案.根据约束条件02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图所示，由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得()2,1A 将目标函数3z x y =-化为133zy x =-，z 表示直线133z y x =-在y 轴上的截距的相反数的13故当直线133zy x =-在y 轴上的截距最小时，z 有最大值.当直线133z y x =-过点（2,1）时在y 轴上的截距最小，z 最大，由A (2,1)知z 的最小值为2311-⨯=- 故答案为：1-方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有__________种.(用数字作答)24首先为“爸”、“爸”的两张卡片选一个信封，再将剩下三个字放进三个不同信封进行全排列，分步相乘即得结果.5张卡片放入4个不同信封，分两步进行：第一步：“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封，先为其选信封，有14C 种选法； 第二步：“去”、“哪”、“儿”三个字放入剩下的三个不同信封，有33A 种放法，故写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有134324C A =种.故答案为：24.15. 函数()sin co (0)s 2f x x x x x π=+≤≤的最大值为________.2π 先求导，根据单调性求函数最大值即可.【详解】解：()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减， 当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增， ∵,(2)122f f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()f x 的最大值为2π.故答案为：2π. 易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论，基础题.16. 已知圆1C ：()2223x y a ++=（7a >）和2C ：()2231x y -+=，动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切，P 是12MC C 的内心，且12123PMC PMC PC C S SS+=，则a 的值为__________.17首先根据题意得到M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，设为2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =，根据12123PMC PMC PC C S S S +=△△△△得到18a =，再代入121a a =+即可得到答案.因为126C C =，17r a =>，21r =，所以121C C a <-， 又因为动圆M 与圆1C ，圆2C 均相切， 所以动圆M 与圆1C 内切，与圆2C 外切. 设动圆(),M x y ，半径为R ，所以1MC a R =-，21MC R =+，即121216MC MC a C C +=+>=， 所以M 的轨迹为以1C ，2C 为焦点的椭圆，如图所示：设椭圆为：2222111x y a b +=，且121a a =+，126c =，13c =.因为P 是12MC C 内心，所以P 到1MC ，2MC ，12C C 的距离相等，设为h .又因为12123PMC PMC PC C SS S+=，所以1211316222MC h MC h h +⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，即119a +=，18a =， 又121a a =+，所以17a =. 故答案为：17三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知a R ∈，命题p :函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ;命题q ;关于α的不等式210x ax -+≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. （1）若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围;（2）若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. （1）04a ≤<；（2）[)[)0,24,⋃+∞.（1）若命题p 是真命题，等价于210ax ax ++>在R 上恒成立，分别由0a =和00a >⎧⎨∆<⎩即可求解；（2）由题意可知命题p 和命题q 一真一假，分别讨论p 真q 假、p 假q 真两种情况即可求解. （1）.当p 为真时，210ax ax ++>在R 上恒成立， ①当0a =，不等式化为20010x x ++>，符合题意. ②当0a ≠时，则0a >，且240a a ∆=-<故04a <<， 即当p 真时有04a ≤<. （2）[)[)0,24,⋃+∞. 由题意知:当q 为真时，1a x x ≥+在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 令()1g x x x =+，则()y g x =在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增， 所以()()min 12a g x g ≥== 所以当q 假时，2a < ，由（1）知当p 假时0a <或4a ≥，又因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以命题p 和命题q 一真一假， 当p 真q 假时，所以042a a ≤<⎧⎨<⎩解得02a ≤<，当p 假q 真时，0a <或4a ≥且2a ≥，所以4a ≥综上所述：a 的取值范围是[)[)0,24,⋃+∞. 方法点睛：不等式有解求参数常用分离参数法若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()min g x λ≥或()()max g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.18. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c CB A b a-=-+.（1）求A ； （2）若2a =，求11tan tan B C+的最小值.（1）3π；（2）3. （1）根据题设条件和正弦定理，化简得到222b c a bc +-=，再利用余弦定理，求得cos A 的值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得2bc a ≤，在结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得22sin 22si 11tan tan n 2sin R R A R a R B R C B bcC ⋅⋅==⋅+，即可解. （1）由()sin sin sin b c CB A b a-=-+，可得()()()sin sin sin b c C B A b a -=-+，由正弦定理得()()()b c c b a b a -=-+，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， 因为0A π<<，可得3A π=.（2）由（1）知3A π=，设三角形的外接圆的半径为R ，可得2sin 3a R A ==， 又由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥， 即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号， 又由11cos cos cos sin sin cos tan tan sin sin sin sin B C B C B CB C B C B C++=+=()sin sin sin sin sin sin B C AB CB C +==22sin 2sin 2sin R R A R B R C ⋅=⋅2R a bc ⋅==≥=， 其中R 是ABC 外接圆的半径，所以11tan tan B C +的最小值为3. 19. 已知等差数列的首项为2，前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的首项为1，且满足，前n 项和为a 3＝2b 2，S 5＝b 2＋b 4． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设()331log log nn n n c S b =-+，求数列{c n }的前26项和．（1）2n a n =，13n n b -=；（2）328.（1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式. （2）利用裂项相消法和分组求和可求{}n c 的前26项和.（1）由题意得：113111225452a d b q a d b q b q +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩即32221010d q d q q +=⎧⎨+=+⎩， ∴390q q -=，∵{}n b 是正项等比数列，∴3q =，则2d =， ∴()2212n a n n =+-=，11133n n n b --==.（2）()()12212nS n n n n =+=+， 则()()()()()13331log 1log 31log 1log 11n n n n n c n n n n n -⎡⎤=-++=-+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴{}n c 的前26项和为：()()()26333333log 1log 20log 2log 31log 3log 42T =--+++++--++()()3333log 25log 2624log 26log 2725+--++++()3326025log 1log 2733253282⨯+=-++=+=.思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20. 如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得PB 2.（1）求证：面PCE⊥面ABCE；（2）求PC与面ABP所成角的正弦值.（1）证明见解析；（2）222 11.（1）连结BE，可得BE EC⊥，结合两图，可得BE EC⊥，BE PE⊥，又EC PE E⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE⊥面PEC，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A为原点，分别以,AB AE直线为x轴，y 轴，以经过点A且垂直于平面ABCE的直线为z轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE，由图1可得BE EC⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE===∴⊥又EC PE E BE⋂=∴⊥面PEC BE∴⊂面ABCE∴面PCE⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛ ⎝⎭()132,,,1,0,022AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =- 112,,22PC ⎛=- ⎝⎭222sin cos ,11PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角正弦值为2211. 方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直；（2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点到左顶点的距离是2 （1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值.（1）2214x y +=；（2）证明见解析.（1）由题意可得2c a =、2a c +=222a b c =+即可求出,a b 得值，进而可得椭圆C 的方程；（2）由椭圆的方程可得,A B 两点的坐标，设(,)(0,0)M m n m n >>，即可求出直线BM 、AM 的方程，进而可得点C 、D 的坐标，结合2214m n +=，计算1||||2ABCD S AC BD =⋅⋅即可求解. （1）由已知可得：22222c a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪=+⎪⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.（2）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以(2,0)A -，(0,1)B -，设(,)(0,0)M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=. 则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1c mx n =+； 同理：直线AM 的方程为(2)2n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+. 所以21121(22)||||2122122(2)(1)ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++. 即四边形ABCD 的面积为定值2.关键点点睛：本题解题的关键点是设出点(,)(0,0)M m n m n >>，求出直线BM 、AM 的方程以及点C 、D 的坐标，直接计算ABCD S ，需要注意点(,)M m n 在椭圆上可得2214m n +=.求定值的问题往往设而不求整体消参.22. 已知函数()()1ln a f x x a x x =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()()22ln g x x f x x ax '=+-(其中()f x '是()f x 的导函数)，若函数()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<，求()()12g x g x -的取值范围.（1）答案见解析；（2）2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（1）写出定义域，求出导函数，对a 进行分类讨论，判断单调性； （2）利用()g x 有两个极值点1x ，2x ，得到 12=x x a +，可得 ()()212112114ln g x g x x x x -=-+， 构造新函数()22114ln (1)h t t t t t e =-+<<，讨论故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调性，求最值即可， 解：（1）()f x 的定义域为()0,∞，而()222111a x ax f x x x x-+'=+-=， 令()210h x x ax =-+=，则①当0a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；②当2400a a ⎧∆=-≤⎨>⎩，即02a <≤时()f x 在()0,∞单调递增；③当2a >时，210x ax -+=有两根12a x -=，22a x +=所以()f x增区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；减区间⎝⎭. 综上述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞单调递增；当2a >时，()f x在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （2）()()222ln 22ln 1g x x f x x ax x ax x '=+-=-++，则()g x 的定义域为()0,∞+，()()221222x ax g x x a x x -+'=-+=， 若()g x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x e <<， 则方程210x ax -+=的判别式240a ∆=->， 且120x x a +=>，122111x x x e x =⇒=< 得2a >，且111x e<<.所以()()221211122222ln 22ln g x g x x ax x x ax x -=-+-+-()()()()()12121211212124ln 4ln x x x x a x x x x x x x x =+---+=-+-+211121114ln 1x x x x e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭设()22114ln 1h t t t t t e ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，则在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 故()h t 在1,1t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减， 从而()()10h t h >=，()22114h t h e e e ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭，所以()()12g x g x -的取值范围是2210,4e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 研究含参数的函数的单调性：（1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；（2）利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；（3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；（4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.。
人教版高二下数学第一次月考试卷(理科)
高二下学期理科数学第一次月考试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点)2,1(y x ∆+∆+，则x y ∆∆为（ ） A.21+∆+∆x x B.21-∆-∆x x C.2+∆x D.xx ∆-∆+12 2．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A. 2 B .－2 C. 3 D.－33．dx x ⎰--1121等于（ ）A.4πB.2π C.π D. π2 4．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）A.导数为0的点一定是函数的极值点；B.函数的极小值一定小于它的极大值；C.)(x f 在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值；D.若)(x f 在),(b a 内有极值，那么)(x f 在),(b a 内不是单调函数.5．函数x x x f -=33)(的极大值、极小值分别是 （ ）A 1，－1B 132，612-C 1，－17D 29，29- 6．函数x x y 2cos 2=的导数为（ ）A.x x x x y 2sin 2cos 22'-=B.xx x x y 2sin 22cos 22'-= C.x x x x y 2sin 22cos 2'-= D.xx x x y 2sin 22cos 22'+= 7．设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线平行062=--y x ，则=a （ ） A. B. C. D.8．设P 是正弦曲线x y sin =上一点，以P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A.]4,4[ππ-B.]4,0[πC.),43[ππD.]4,0[π ),43[ππ 9． 以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度21040t v -=，则此物体达到最高时的高度为（ ）A.m 320B.m 340C.m 380D.m 3160 10．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．)3,0(C ．)4,1(D ．),2(+∞11．由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ）A.316B.38C.34D.3212下列函数中，在),0(+∞内为增函数是（ ） A.x x f sin )(= B.x xe x f =)( C.x x x f -=3)( D.x x x f -=ln )(二.填空题（每题5分，共20分）13. 若曲线4x y =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程是_ ____． 14．函数m x x x f +-=2362)((m 为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的最小值为15. 220(3)10,x k d x k +==⎰则_______________, 8-=⎰_____________.16.若函数k x x x f --=3)(3在R 上只有一个零点，则常数k 的取值范围是 . 三、解答题（共70分）17．计算下列函数的定积分：（1）dx xx x ⎰-20sin cos 2cos π; (2) ⎰-+242x dx 18. 已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）点A 处的切线的方程；（3) 过点A 的切线斜率AT k .19. 计算由直线4-=x y ，曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积。
高二数学第一次月考试卷理科 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年地区高二数学第一次月考试卷(理科)说明：本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。
试卷总分值是150，考试时间是是120分钟。
第Ⅰ卷(选择题一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将所选答案填在指定的答题栏内。
1．函数f(x)=2x+5，当x 从2变化到4时，函数的平均变化率是〔〕A2B4 C2D-2 2．以下求导运算正确的选项是〔〕 A 、3211)1(x x x -='+B 、2ln 1)(log '2x x =C 、'2)cos (x x =-2xsinxD 、e xx 3'log 3)3(= 3．一个物体的运动方程为21s tt 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是〔〕A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒4．设f(x)在[a,b]上连续，将[a,b]n 等分，在每个小区间上任取i ξ，那么dx x f b a)(⎰是〔〕A 、∑=∞→ni i n f 1)(lim ξB 、∑=∞→-•ni i n n ab f 1)(lim ξC 、∑=∞→•n i i i n f 1)(lim ξξD 、∑=∞→ni i n f 1)(lim ξ•-i ξ()1-i ξ 5．函数2mnymx 的导数为3'4x y =，那么〔〕A 、m=－1,n=－2B 、m=－1,n=2C 、m=1,n=－2D 、m=1,n=2 6．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的〔〕A 、充要条件B 、即不充分又不必要条件C 、充分非必要条件D 、必要非充分条件7．函数1ln 1ln xyx的导数为〔〕A 、2')ln 1(2x y +-=B 、2')ln 1(2x x y +=C 、2')ln 1(1x x y +-=D 、2')ln 1(2x x y +-=8、以下积分不正确的选项是〔〕A 、3ln 131=⎰dx x B 、xdx sin 0⎰π=-2 C 、31210=⎰dx x D 、23ln 29)1(232+=+⎰dx xx9．函数5224+-=x x y 的单调减区间是〔〕A 、[-1,1]B 、[-1，0]，[1，+∞]C 、〔-∞，-1〕，〔0，1〕D 、(-∞,-1),[1,+∞] 10．曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短间隔是〔〕 A 、5B 、25C 、35D 、011．方程076223=+-x x在〔0，2〕内根的个数有〔〕A ．0B ．1C ．2D ．312、设P 点是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，那么角α的取值范围是 A ．2[0,)[,)23πππ⋃B ．5[0,)[,)26πππ⋃C ．),32[ππD ．)65,2(ππ第二卷(非选择题一共90分)二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中的横线上． 13、定积分cdx b a⎰〔c 为常数〕的几何意义是：。
宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理科)试题Word版含答案
宁夏育才中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理科）试题(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 3. 不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞b C. 1b ＜1a ＜0 D.1a ＞1b＞04. 下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1=a,a n =3n-1,求出S 1,S 2,S 3,猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2,猜想出椭圆的面积S=πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇5. 用反证法证明命题时，对结论：“自然数中至少有一个是偶数”正确的假设为( )A ．都是奇数B ．都是偶数C ．中至少有两个偶数D ．中至少有两个偶数或都是奇数6. 4. 若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( )A ．f ′(x 0)＜0B ．f ′(x 0)＞0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在7. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 8. 函数y ＝x e －x，x ∈[0,4]的最小值为( )．22221x y a b+=a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，a b c ，，A ．0 B. 1e C. 4e4 D.2e 29. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是( )11. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－212. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．14. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 。
2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省米脂中学高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．2．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：==…．按照以上规律，若“穿墙术”，则n=（）A．25 B．48 C．63 D．80【答案】C【分析】根据====…，归纳规律求解.【详解】因为====…，则按照以上规律： 得28163n =-=. 故选：C.3．在技术工程中，常用到双曲正弦函数e e sh 2x x x --=和双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦和余弦函数相似，比如关于正、余弦函数有()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-成立，而关于双曲正、余弦函数满足()ch ch ch sh sh x y x y x y +=-．请你类比关系式，下列得出关于双曲正弦、双曲余弦函数的关系中不正确的是（ ） A ．()sh sh ch ch sh x y x y x y +=+ B ．sh22sh ch x x x = C ．2ch22sh 1x x =- D ．22ch sh 1x x -=【答案】C【分析】根据定义逐项验证即可.【详解】因为e e sh 2x x x --=，e e ch 2x xx -+=，所以()e e sh 2x y x yx y +---+=，e e e +e e e e e sh ch ch sh 2222x x y y x x y y x y x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以e +e e e e e +e e sh ch ch sh 44x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y +--+--+--+------+=+，所以e e sh ch ch sh 2x y x yx y x y +---+=，故()sh sh ch ch sh x y x y x y +=+，A 正确；22e e sh22x xx --=，22e e e +e e e 2sh ch 2222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫--==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 2222e e e e ch sh 122x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确；22e e ch22x x x -+=，2222e e e e 4s +22h x x x x x --⎛⎫-==⎝-⎪⎭， 2ch22sh 1x x =+，C 错误；故选：C.4．用数学归纳法证明等式()()()22222222211211213n n n n n +++-++-+++=，当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上（ ）A ．()2212k k ++ B ．()221k k ++C ．()21k +D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 【答案】B【解析】写出n k =和1n k =+时的两式，然后比较可得． 【详解】n k =时等式为()()()22222222211211213k k k k k +++-++-+++=，1n k =+时等式为22222222(1)[2(1)1]12(1)213k k k k k +++++++++++=， 当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上22(1)k k ++， 故选：B ．【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用n k =的假设结论证明1n k =+的的结论，因此观察出1n k =+与n k =之间式子的关系至关重要．5．利用反证法证明“若20x y +=，则0x y ==”时，应假设为（ ）A ．0x ≠且0y ≠B ．x y ≠且x ，y 都不为0C ．x y ≠且x ，y 不都为0D ．0x ≠或0y ≠【答案】D【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设0x ≠或0y ≠.【详解】利用反证法证明, 应先假设结论不成立，本题应假设0x ≠或0y ≠ 故选：D6．利用分析法证明是从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．必要条件或充要条件【答案】B【分析】利用分析法证明的原理即可得到正确选项. 【详解】利用分析法证明是从求证的结论出发， 一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件， 直到最后一个充分条件成立即可证明原式正确. 故选：B7．函数32()31f x x x =-+的单调减区间为 A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(,0)-∞D ．(0,2)【答案】D【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间.【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键. 8．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C9．函数ln y x x =-在(0,]x e ∈上的最大值为（ ） A ．e B ．1C ．e -D ．1-【答案】D【分析】先求导函数11y x'=-，令导函数0y '=，得1x =．讨论在()0,1x ∈与(]1,e x ∈内的单调性，进而求得最大值．【详解】对函数求导，得11y x'=- 令110y x'=-=，得1x = 当()0,1x ∈ 时，0y >'，函数单调递增，当(]1,e x ∈时，0'<y ，函数单调递减所以在1x =处取得极大值，也是最大值，为ln111y =-=- 故选：D10．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为A ．1B ．12CD 【答案】D【详解】由题2ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x =-，令'()0h x =解得2x =，因x ∈时，'()0h x <，当)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当x =时，||MN 达到最小．即t =．11．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－3，6] B ．(－3，6)C ．(－∞，－3]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 【答案】D【分析】先求出导数f′（x ），由f （x ）有极大值、极小值可知f′（x ）=0有两个不等实根． 【详解】函数f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x+1，所以f′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）， 因为函数有极大值和极小值，所以方程f′（x ）=0有两个不相等的实数根， 即3x 2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2a ）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a ＜﹣3或a ＞6． 故选D ．【点睛】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f′（x ）=0有两个不相等的实数根是解题的关键．12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x =.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13．设函数()f x 可导且()f x 在0x 处的导数值为1，则()()0002lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆__________．【答案】23【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】依题意，0()1f x '=， 所以()()()()0000002022222limlim ()33233x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故答案为：2314．已知曲线y =y x =--24垂直的曲线的切线方程为_________． 【答案】2250x y -+=【分析】求导数，利用切线与直线垂直，求出切点坐标，即可求解 【详解】设切点为(),m n ，因为y =y '=，因为曲线的切线与直线y x =--24垂直，()21-=-， 解得25m =，又点(),m n在曲线y =25n =， 所以切点坐标为()25,25，所以曲线y =y x =--24垂直的切线方程为： ()125252y x -=-， 即2250x y -+=故答案为：2250x y -+=.15．曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴、直线x a =所围成的三角形的面积为16，则=a ________.【答案】1±【分析】求出函数的导数，求出切线方程，利用三角形的面积列出方程，求解即可． 【详解】解：3y x =，23y x '∴=， ∴2|3x a y a ='=，∴曲线在点3(,)a a 处的切线方程为323()y a a x a -=-，即23320a x y a --=，令0y =，得23a x =， ∴切线与x 轴，直线x a =所围成的三角形的面积为3121236S a a a =⨯-⨯=，解得1a =±．故答案为：1±． 16．已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是____ 【答案】3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围． 【详解】由已知函数41x y e =+的导数为'2441(1)2x x x x e y e e e=-=-+++12x x e e +≥，124x x e e ∴++≥，[1,0)y ∴∈-' 即tan [1,0)∈-α，0απ<<，34αππ∴≤<，即答案为：3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题三、解答题17．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=- 【答案】(1)()241y x -'=-(2)()()521e 182x y x x -+'=--【分析】（1）利用导数运算规则即可求得该式的导数； （2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数. 【详解】（1）2211221x y x ++=+==- ()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭- ()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--18．（1）求曲线21xy x =-，在点()1,1处的切线方程； （2）求过点()2,3的抛物线2yx 的切线方程．【答案】（1）20x y +-=；（2）210x y --=或690x y --=． 【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程；（2）先设出切点坐标为()200,x x ，再利用导数几何意义即可求得过点()2,3的抛物线2yx 的切线方程．【详解】（1）()2121y x '=--，可知所求切线的斜率1k =-故所求切线的方程为()11y x -=--，即20x y +-=．（2）设切点坐标为()200,x x ，2y x '=，可知所求切线的斜率022k x =∵切线过点()2,3和点()200,x x ，∴2000322x x x -=-， 解得01x =或03x =，∴切线的斜率为2或6故所求切线的方程为()322y x -=-或()362y x -=-， 即210x y --=或690x y --=． 19．（12>；（2）若方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）(][),21,-∞--+∞．【分析】（12>；（2）先求得两个方程均有实根时实数a 的取值范围，进而利用补集思想求得至少有一个方程有实数根时实数a 的取值范围.【详解】（122>只需证)222>，即证>>只需证12>10，这显然成立故原不等式得证.（2）当方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=都没有实数根时， 有()()()2221402420a a a a ⎧--<⎪⎨--<⎪⎩，解得21a -<<-， 故当方程()2210x a x a +-+=和2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数根时，实数a 的取值范围为(][),21,-∞--+∞．20．用数学归纳法证明：22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++． 【答案】见解析【分析】利用数学归纳法，先证明当1n =时，等式成立，假设当n k =时成立，证明当1n k =+时等式成立即可.【详解】解：（1）当1n =时，左边=211133=⨯，右边=213213⨯⨯=，等式成立， （2）假设当n k =时，等式成立，即22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -+＝()()1221k k k ++， 当1n k =+时，22121335+⨯⨯＋…＋()()22121k k k -++()()()221123k k k +++ ()()()()()2121212123k k k k k k ++++=++1121223k k k k k ++⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()()221121223k k k k k +++=⋅++ ()()()1112211k k k +++⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何*n ∈N 都成立， 故22212(1)1335(21)(21)2(21)n n n n n n ++++=⨯⨯-++. 21．已知函数32()23f x x ax bx =+++在=1x -和2x =处取得极值. （1）求f （x ）的表达式和极值．（2）若f （x ）在区间[m ，m +4]上是单调函数，试求m 的取值范围．【答案】（1）f （x ）=2x 3-3x 2-12x +3,当x =-1时，有极大值10；当x =2时，有极小值-17（2）m ≤-5或m ≥2【分析】（1）由题意得1-和2为导函数两个零点，根据韦达定理可求3{12a b =-=-，列表分析导函数符号变化规律，确定极值；（2）由（1）可得函数单调区间，根据[],4m m +为单调区间一个子集可得不等式41m +≤-或1{42m m ≥-+≤或2m ≥，解不等式即可.【详解】解：（1）()2620f x x ax b =++='的两根为1-和2，∴123{126a b -=-+=-⨯，得3{12a b =-=-， ∴()3223123f x x x x =--+，∴()()()26612612f x x x x x '=--=+-，令0f x ，得1x <-或2x >；令()0f x '<，得12x -<<，所以()f x 的极大值是()110f -=，极小值是()217f =-.（2）由（1）知，()f x 在(],1-∞-和[)2,+∞上单调递增，在[]1,2-上单调递减，∴41m +≤-或1{42m m ≥-+≤或2m ≥，∴5m ≤-或2m ≥，则m 的取值范围是][(),52,-∞-⋃+∞. 【点睛】方法点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略：(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求()f x '→求方程()0f x '=的根→列表检验()f x '在()0f x '=的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数()f x 在点00(,)x y 处取得极值，则0()0f x '=，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.22．已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-．【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用导数和单调性的关系分类求解；（Ⅱ）借助题设条件构造函数运用导数的知识推证.试题解析：（Ⅰ）解：()f x 的定义域为 0,，()()222111212a x a ax a f x ax x x x +++++='=+=． 当0a ≥时， 0f x ，故()f x 在 0,单调递增； 当1a ≤-时， 0f x ，故()f x 在 0,单调递减； 当10a -<<时，令 0f x ，解得x = f x 在0,上单调递减，故当10,2a x a ⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭时， 0f x ，故()f x 在 10,2a a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递增；当 1,2a x a ⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时， 0f x ，故()f x 在 1,2a a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减． （Ⅱ）证明：不妨假设12x x ≥．由于 2a ≤-，故 ()f x 在 0,单调递减．∴()()12124f x f x x x -≥-等价于 ()()211244f x f x x x -≥-．即()()221144f x x f x x +≥+．令()()4g x f x x =+，则()2124124a ax x a g x ax x x++++=+='+． 于是()()22214410x x x g x x x --≤='-+-<． 从而()g x 在 0,单调递减，故，即()()221144f x x f x x +≥+，故对任意 ()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∈+∞-≥-．【解析】导数在研究函数的单调性和极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．本题的第一问求解时借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性；第二问的求解中则先构造函数()()4g x f x x =+，然后再对函数()()4g x f x x =+求导，运用导数的知识研究函数的单调性，然后运用函数的单调性，从而使得问题简捷巧妙获证．。
广东省东莞市松山湖莞美学校高二数学下学期第一次月考
广东省东莞市松山湖莞美学校2 014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在曲线y=x2+x上取点P（2，6）及邻近点Q（2+△x，6+△y），那么为 ( ) A．△x+2B．2△x+（△x）2C．△x+5D．3△x+（△x）2考点：变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：转化成函数值的变化量与自变量的变化量的比值进行求解，化简变形即可求出所求，求解时需细心．解答：解：△y=f（2+△x）﹣f（2）=（2+△x）2+（2+△x）﹣4﹣2=△x2+5△x，∴==△x+5，故选：C．点评：本题考查导数的基本概念和运算，结合题中条件分析即可，同时考查了计算能力，属于基础题．2．函数y=x2cosx的导数为( )A．y′=2xcosx﹣x2sinx B．y′=2xcosx+x2sinxC．y′=x2cosx﹣2xsinx D．y′=xcosx﹣x2sinx考点：导数的乘法与除法法则．专题：计算题．分析：利用两个函数的积的导数法则，求出函数的导函数．解答：解：y′=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选A点评：求函数的导函数，关键是判断出函数的形式，然后据函数的形式选择合适的求导法则．3．已知曲线y=2x2上一点A（1，2），则A处的切线斜率为( )A．16 B．8 C．4 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，将x换成1，即可得到所求A处的切线的斜率．解答：解：y=2x2的导数为y′=4x，则在A处的切线斜率为k=4×1=4．故选：C．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，属于基础题．4．已知，则f′（1）等于( )A．0 B．﹣1 C．2 D．1考点：导数的运算．专题：计算题．分析：求出f（x）导函数，令导函数中的x=0得到关于f′（0）的方程求出f′（0），将其值代入f′（x），令其中的x=1求出f′（1）．解答：解：f′（x）=x2+3f′（0）∴f′（0）=3f′（0）∴f′（0）=0∴f′（x）=x2∴f′（1）=1故选D点评：求函数在某点处的导数值，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再令导函数中的x取自变量的值即得到导函数值．5．函数f（x）=x3﹣x2+1是减函数的区间为( )A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．解答：解：f′（x）=x2﹣2x=x（x﹣2），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故选：D．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．6．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是( )A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．7．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f（f1（n）），f k+1（n）=f（f k（n））k∈N*则f2012（8）=( ) A．3 B．5 C．8 D．11考点：函数的值．专题：计算题．分析：通过计算f1（8）、f2（8）和f3（8），得到f n+2（8）=f n（8）对任意n∈N*成立，由此可得f2012（8）=f2（8）=5，得到本题答案．解答：解：根据题意，可得∵82+1=64+1=65，∴f1（8）=6+5=11又∵112+1=122，f2（8）=f（f1（8））∴f2（8）=f（11）=1+2+2=5∵52+1=26，f3（8）=f（f2（8））∴f3（8）=f（5）=2+6=8=f1（8）因此，可得f n+2（8）=f n（8）对任意n∈N*成立，∴f2012（8）=f2+1005×2（8）=f2（8）=5故选B点评：本题给出“f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和”的模型，求f2012（8）的值，着重考查了函数的对应法则、数列的周期和进行简单的合情推理等知识，属于基础题．8．曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是( )A．e﹣e﹣1B．e+e﹣1C．e﹣e﹣1﹣2 D．e+e﹣1﹣2考点：定积分在求面积中的应用．分析：由题意可知曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是e x﹣e﹣x积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：曲线y=e x，y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积，就是：∫01（e x﹣e﹣x）dx=（e x+e﹣x）|01=e+e﹣1﹣2．故选D．点评：本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分．9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是( )A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解答：解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．10．设f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）＞g′（x），则当a＜x＜b时有( ) A．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）B．f（x）＜g（x）C．f（x）＞g（x）D．f （x）+g（b）＞g（x）+f（b）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题．分析：比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F（x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．解答：解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＞g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＞0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数．∴当x＞a时，F（x）＞F（a），即f（x）﹣g（x）＞f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）故选A．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据已知条件构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），进而判断其单调性是解答本题的关键．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．解答：解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0故答案为：3x+y﹣4=0点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．12．计算：=．考点：定积分．专题：计算题．分析：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y≥0）的面积．据此可算出答案．解答：解：由该定积分的几何意义可知为半圆：x2+y2=1（y≥0）的面积．所以==．故答案为．点评：本题不是直接计算，而是利用该该定积分的几何意义计算是解决此问题的捷径，否则直接计算有一定的难度．13．一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v（t）=﹣t2+4，（0≤t≤2）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的路程是km．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据积分的物理意义求函数的积分即可．解答：解：由积分的物理意义得这辆车行驶的路程S=（﹣t2+4）dt=（）|=，故答案为：．点评：本题主要考查积分的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式，比较基础．14．直线y=kx（k＞o）与曲线y=x2围成图形的面积为，则k的值为2．考点：定积分在求面积中的应用；定积分．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为k，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义建立等式，即可求出k的值．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为k，积分下限为0直线y=kx与曲线y=x2所围图形的面积S=∫0k（kx﹣x2）dx而∫0k（kx﹣x2）dx=（﹣）|0k=k3﹣k3=k3=∴解得k=2故答案为：2．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于中档题．15．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．已知直角三角形具有性质：斜边长等于斜边的中线长的2倍．类比上述性质，直角三棱锥具有性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：故对于“直角三棱锥”，类比直角三角形的性质，可得斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．解答：解：由于直角三角形具有以下性质：斜边的中线长等于斜边边长的一半，故对于“直角三棱锥”，具有以下性质：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．故答案为：斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一．点评：本题主要考查的知识点是类比推理，由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，属于基础题．三．解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x+11（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣4，3]上的最值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间；（2）求出函数的极值点和端点的函数值，从而求出函数闭区间上的最值．解答：解：（1）因为f（x）=x3+3x2﹣9x+11，所以f′（x）=3x2+6x﹣9，令f′（x）=0得x=﹣3和1当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞）f'（x） + 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗由上表可知，f（x）在（﹣∞，﹣3）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣3，1）上单调递减；（2）因为f（﹣4）=31，f（﹣3）=38，f（1）=6，f（3）=38，所以最大值为38，最小值为6．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．17．已知f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=±1时取得极值，且f（1）=﹣1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（3，9）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；直线与圆．分析：（1）求出f（x）的导数，由极值的定义可得x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．运用韦达定理，可得a，b，c的关系，结合条件f（1）=﹣1，可得方程，解方程可得a，b，c 的值，进而得到函数的解析式，求出单调区间，可得极值点；（2）设出切点，求得切线的斜率和切线方程，代入点（3，9），解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程．解答：解：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x=±1是函数的极值点，∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根．由根与系数的关系知，又f（1）=﹣1，∴a+b+c=﹣1．解得a=，b=0，c=﹣．即有f（x）=x3﹣x，∴f′（x）= x2﹣=（x﹣1）（x+1）．当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0．∴x=﹣1时，f（x）有极大值；x=1时，f（x）有极小值．（2）曲线方程为f（x）=x3﹣x，点A（3，9）在曲线上．设切点为（m，n），则切线的斜率为k=（m2﹣1），切线的方程为y﹣n=（m2﹣1）（x﹣m），代入（3，9）和n=m3﹣m，可得9﹣m3+m=（m2﹣1）（3﹣m），化简可得2m3﹣9m2+27=0，解得m=3或m=﹣，则切线方程为y﹣9=12（x﹣3）或y﹣9=（x﹣3），即为12x﹣y﹣27=0或15x﹣8y+27=0．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，注意在某点处的切线和过某点的切线的区别，属于中档题和易错题．18．（1）设f（x）=试求f（x）dx．（2）求函数y=x与y=x﹣x2围成封闭图形的面积．考点：定积分；定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：（1）分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成dx=，再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．（2）先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出函数y=x 与y=x﹣x2围成封闭图形的面积．即可求得结论解答：解：（1）f（x）dx===+ =+1﹣=．（2）由x=x﹣x2得x=0，x=，则=﹣=，故函数y=x与y=x﹣x2围成封闭图形的面积为点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、利用定积分求封闭图形的面积是求面积的通法，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．19．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．解答：解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx3，由6=k×103可得，k=，∴Q=，∴总费用y==，∴，令y′=0得x=20，当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈时，y′＞0，此时函数单调递增，∴当x=20时，y取得最小值．答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．20．设a＞0，函数．（I）若f（x）在区间（0，1]上是增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）求f（x）在区间（0，1]上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；（2）欲求f（x）在区间（0，1]上的最大值，即研究函数f（x）在区间（0，1]上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值．解答：解：（I）对函数．要使f（x）在区间（0，1]上是增函数，只要上恒成立，即上恒成立因为上单调递减，所以上的最小值是，注意到a＞0，所以a的取值范围是．（II）解：①当时，由（I）知，f（x）在区间（0，1]上是增函数，此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．②当，解得．因为，所以上单调递减，此时f（x）在区间（0，1]上的最大值是．综上，当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是；当时，f（x）在区间（0，1]上的最大值是．点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．。
2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]
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2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是 （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 （5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝ （A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________． （14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________． （15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数； （3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分） 已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试 高二年级理科数学试题参考答案一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． （7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+． 令1313a =+，解得31a =-，符合题意． 综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >， 则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<， 所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >， 所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题 （13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=， 得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+； 当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-， 令()0f x '=，得122,13x x =-=， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数； 当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数． 所以()g x 的最小值是(1)1g =， 从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增； 当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥， 也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立， 构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
2021-2022年高二数学下学期第一次月考(4月)试题 理
2021-2022年高二数学下学期第一次月考（4月）试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从2,4中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为A．6 B．12 C．18 D．242.已知随机变量服从正态分布,则A.0.21B. 0.58C. 0.42D. 0.293.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中最多命中一次的概率为，则该队员的每次罚球命中率为A. B. C. D.4.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为A．B．C．D．5.某公共汽车上有10名乘客，沿途有5 个车站，乘客下车的可能方式有A：种 B：种 C：50 种 D：以上都不对6.在(｜x ｜+-2)3的展开式中的常数项是( ) A.12 B.-12 C.-20 D.207.在(1-x)11的展开式中，x 的奇次幂的项的系数之和是( )A.-211B.-210C.211D.210-18.从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任ABCDE 五种不同的职务，规定女生不担任B 职务，不同的分配方案有( )A.A 102A 403B.C 102A 31A 44C 403C.C 152C 403A 55D.C 102C 4039.某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）A. B. C. D.10.在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步， 程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）A ． 种B ．种C ．种D ．种11. 以平行六面体的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．12.设a,b ∈｛1,2,3,4,5,6｝，则有不同离心率的椭圆，(a ＞b)的个数为（ ）Ａ．30 Ｂ．15 Ｃ．11Ｄ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量满足=2,则___________14.设函数则导函数的展开式项的系数为______________15．4个男生，3个女生排成一排，其中有且只有两个女生相邻排在一起的排法总数___________.16．已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.连续6次射击，把每次命中与否按顺序记录下来。