(新高考)高考数学一轮总复习练案2第一章第二讲充分条件与必要条件

第二讲 充分条件与必要条件

A 组基础巩固

一、单选题

1．(2021·南充市第一次适应性考试)“A ＝60°”是“cos A ＝12

”的( A ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 [解析] A ＝60°⇒cos A ＝12，cos A ＝12

⇒A ＝±60°＋k ×360°，k ∈Z ，所以“A ＝60°”是“cos A ＝12

”的充分不必要条件． 2．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( B )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”．

故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．

3．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a >b ”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．充要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 [解析] 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但是a <b 即a －b <0时，

有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2

<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A.

4．(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( C )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 [解析] 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，

∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0.

故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件．

5．“log 2(2x －3)<1”是“4x

>8”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[解析] 由log 2(2x －3)<1⇔0<2x －3<2⇔32<x <52，4x >8⇔2x >3⇔x >32

，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x

>8”的充分不必要条件，故选A.

6．(2021·开封市一模)若a ，b 是非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( B )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 [解析] 因为a ，b 为非零向量，a ·b >0，所以由向量数量积的定义知，a 与b 的夹角为锐角或a 与b 方向相同；反之，若a 与b 的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a ·b >0成立．故“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.

7．(2022·湖南雅礼中学月考)若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( D )

A ．(－∞，1]

B ．(－∞，1)

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

[解析] |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以

(0,4)⊆(1－a,1＋a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.

二、多选题

8．下列说法正确的是( BC )

A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件

B ．“1a >1b

”是“a >b ”的既不充分也不必要条件 C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B

D ．“a >b >0”是“a n >b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件

[解析] A 项，ac ＝bc 不能推出a ＝b ，比如a ＝1，b ＝2，c ＝0，而a ＝b 可以推出ac ＝bc ，所以“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故错误；

B 项，1a >1b 不能推出a <b ，比如12>－13，但是2>－3；a <b 不能推出1a >1b ，比如－2<3，－12<13

，所以“1a >1b

”是“a <b ”的既不充分也不必要条件，故正确； C 项，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以x ∈A 可以推出x ∈B ，即A ⊆B ，故正确；

D 项，a n >b n (n ∈N ，n ≥2)不能推出a >b >0，比如a ＝1，b ＝0,1n >0n

(n ∈N ，n ≥2)满足，但

是a >b >0不满足，所以必要性不满足，故错误．

9．若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( BCD )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] 由x 2－x －2<0，解得－1<x <2.

∵x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，

∴(－1,2)(－2，a )，∴a ≥2.

∴实数a 的值可以是2,3,4.

10．设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合，q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( BD )

[解析] 由题知，电路图A 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，而灯泡L 亮开关S 不一定闭合，故A 中p 是q 的充分不必要条件；电路图B 中，开关S 闭合，灯泡L 亮，且灯泡L 亮，则开关S 一定闭合，故B 中p 是q 的充要条件；电路图C 中，开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮则开关S 一定闭合，故C 中p 是q 的必要不充分条件；电路图D 中，开关S 闭合则灯泡L 亮，灯泡L 亮则一定有开关S 闭合，故D 中p 是q 的充要条件．故选B 、D.

三、填空题

11．“sin α＝sin β”是“α＝β”的 必要不充分 条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．

12．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2

＝2有两个不同交点的充要条件是 －1<k <3 .

[解析] 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2

<2，解得－1<k <3.

13．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的 充分不必要 条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

[解析] ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，既充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．

14．若x ∈{－1，m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范

围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 .